Clasificación de triángulos

Los triángulos se clasifican de dos maneras: según sus lados y según sus ángulos. El nombre completo de un triángulo usa las dos, por ejemplo «triángulo rectángulo isósceles» o «triángulo obtusángulo escaleno».

En los dibujos, los lados iguales se marcan con el mismo número de rayitas y los ángulos iguales con el mismo número de arcos. Un cuadradito marca un ángulo recto.

En el triángulo $ABC$ las marcas indican que ${AC=BC}$ y ${\angle A=\angle B}.$ En el triángulo $DEF$ el ángulo en $D$ es recto.

En esta página: Según los lados · Según los ángulos · Combinaciones posibles · Tipo a partir de las longitudes · Ejemplos · Errores frecuentes · Ejercicios

Clasificación según los lados

• Triángulo escaleno: los tres lados tienen longitudes distintas. Entonces sus tres ángulos también son distintos.
• Triángulo isósceles: dos lados son iguales. Los lados iguales se llaman lados laterales y el tercer lado es la base. Los ángulos junto a la base, los ángulos de la base, son iguales.
• Triángulo equilátero: los tres lados son iguales. Entonces los tres ángulos también son iguales, de ${60^\circ}$ cada uno.

Un triángulo equilátero es un caso particular de triángulo isósceles: tiene dos lados iguales, y su tercer lado también es igual a ellos. Por eso todo lo que vale para cualquier triángulo isósceles vale también para el equilátero.

Clasificación según los ángulos

• Triángulo acutángulo: los tres ángulos son agudos (menores que ${90^\circ}$).
• Triángulo rectángulo: un ángulo es recto (${90^\circ}$). El lado opuesto a él es la hipotenusa y los otros dos lados son los catetos.
• Triángulo obtusángulo: un ángulo es obtuso (mayor que ${90^\circ}$).

Todo triángulo tiene al menos dos ángulos agudos, porque sus tres ángulos suman ${180^\circ}.$ Los triángulos rectángulos y obtusángulos también tienen dos ángulos agudos, pero eso no los hace acutángulos. Fíjese en el ángulo mayor. Si es agudo, el triángulo es acutángulo; si es recto, es rectángulo; si es obtuso, es obtusángulo.

¿Qué combinaciones son posibles?

Asignemos a cada triángulo su tipo más específico según los lados, de modo que un triángulo equilátero no se cuente también como isósceles. Entonces cada triángulo tiene un tipo según sus lados y uno según sus ángulos, y existen siete de las nueve combinaciones. La tabla da un ejemplo de ángulos para cada una.

	Acutángulo	Rectángulo	Obtusángulo
Escaleno	${50^\circ},$ ${60^\circ},$ ${70^\circ}$	${30^\circ},$ ${60^\circ},$ ${90^\circ}$	${20^\circ},$ ${40^\circ},$ ${120^\circ}$
Isósceles	${70^\circ},$ ${70^\circ},$ ${40^\circ}$	${45^\circ},$ ${45^\circ},$ ${90^\circ}$	${30^\circ},$ ${30^\circ},$ ${120^\circ}$
Equilátero	${60^\circ},$ ${60^\circ},$ ${60^\circ}$	—	—

Un guion indica que la combinación es imposible. Un triángulo equilátero siempre es acutángulo, porque todos sus ángulos miden ${60^\circ}.$ En un triángulo isósceles rectángulo u obtusángulo, el ángulo recto u obtuso tiene que ser el ángulo del vértice: dos ángulos de la base de ${90^\circ}$ o más ya sumarían al menos ${180^\circ}.$

Cómo hallar el tipo a partir de las longitudes de los lados

Según los lados es fácil: se cuentan los lados iguales. Para los ángulos, llame $c$ al lado mayor (sea cual sea) y $a$ y $b$ a los otros dos, y compare ${c^2}$ con ${a^2+b^2}.$

¿Por qué funciona? Por el teorema del coseno, ${c^2=a^2+b^2-2ab\cos\gamma},$ donde $\gamma$ es el ángulo opuesto al lado mayor, es decir, el ángulo mayor. El número ${\cos\gamma}$ es positivo, cero o negativo según que $\gamma$ sea agudo, recto u obtuso, respectivamente.

Antes de clasificar, compruebe que el triángulo existe: el lado mayor debe ser menor que la suma de los otros dos.

• Lados $5,$ $6$ y $7.$ Como ${7^2=49\lt 5^2+6^2=61},$ el triángulo es acutángulo; los lados son distintos, así que es un triángulo acutángulo escaleno.
• Lados $6,$ $8$ y $10.$ Como ${10^2=100=6^2+8^2},$ es un triángulo rectángulo escaleno.
• Lados $5,$ $5$ y $8.$ Como ${8^2=64\gt 5^2+5^2=50},$ es un triángulo obtusángulo isósceles.

Ejemplos

Ejemplo 1. Clasifique este triángulo según sus lados y según sus ángulos.

Solución. Las marcas indican dos lados iguales, ${AB=BC},$ así que según los lados el triángulo es isósceles. El cuadradito en $B$ marca un ángulo recto, así que según los ángulos es rectángulo. Es un triángulo rectángulo isósceles. Sus ángulos agudos son iguales: ${\angle A=\angle C=45^\circ}.$

Ejemplo 2. En el triángulo $ABC$ el ángulo en $A$ mide ${40^\circ}$ y el ángulo en $B$ mide ${110^\circ}.$ Clasifique el triángulo.

Solución. El tercer ángulo mide ${180^\circ-40^\circ-110^\circ=30^\circ}.$ Los tres ángulos son distintos, así que los tres lados también lo son: el triángulo es escaleno. El ángulo en $B$ es mayor que ${90^\circ},$ así que el triángulo es obtusángulo. Es un triángulo obtusángulo escaleno.

Ejemplo 3. Dos ángulos de un triángulo miden ${35^\circ}$ y ${55^\circ}.$ Clasifique el triángulo.

Solución. El tercer ángulo mide ${180^\circ-35^\circ-55^\circ=90^\circ}.$ Los tres ángulos son distintos, así que es un triángulo rectángulo escaleno.

Ejemplo 4. Los ángulos de un triángulo están en la razón ${2:3:4}.$ Clasifique el triángulo.

Solución. ${2k+3k+4k=180^\circ},$ así que ${k=20^\circ}$ y los ángulos miden ${40^\circ},$ ${60^\circ}$ y ${80^\circ}.$ Todos son agudos y distintos: un triángulo acutángulo escaleno.

Ejemplo 5. Clasifique el triángulo de lados 8 cm, 8 cm y 13 cm.

Solución. El triángulo existe, porque ${13\lt 8+8}.$ Dos lados son iguales, así que es isósceles. El lado mayor es 13 y ${13^2}={169}\gt{8^2+8^2}={128},$ así que el ángulo opuesto es obtuso. Es un triángulo obtusángulo isósceles.

Errores frecuentes

Error	Incorrecto	Correcto
Clasificar por un ángulo agudo	Los ángulos son ${30^\circ},$ ${60^\circ},$ ${90^\circ}.$ Hay ángulos agudos, así que es acutángulo	El ángulo mayor mide ${90^\circ},$ así que el triángulo es rectángulo
Creer que un triángulo rectángulo no puede ser isósceles	Un triángulo rectángulo siempre tiene tres lados distintos	Los ángulos ${45^\circ},$ ${45^\circ},$ ${90^\circ}$ dan un triángulo rectángulo isósceles
Comparar los cuadrados con el lado equivocado	Lados 5, 12, 13. Como ${5^2\lt 12^2+13^2},$ el triángulo es acutángulo	Se usa el lado mayor: ${13^2=5^2+12^2},$ así que el triángulo es rectángulo
No comprobar que el triángulo existe	Lados 2, 3, 6. Como ${6^2\gt 2^2+3^2},$ el triángulo es obtusángulo	${6\gt 2+3},$ así que ese triángulo no existe
Un ángulo obtuso en la base	Un triángulo isósceles con ángulos de la base de ${100^\circ}$	Imposible: en un triángulo isósceles solo el ángulo del vértice puede ser obtuso

Ejercicios

Clasifique cada triángulo según sus lados y según sus ángulos, y después abra la respuesta.

1. Los ángulos miden ${30^\circ},$ ${60^\circ}$ y ${90^\circ}.$

Un triángulo rectángulo escaleno.

2. Dos ángulos miden ${50^\circ}$ y ${65^\circ}.$

El tercer ángulo mide ${65^\circ}.$ Hay dos ángulos iguales, así que hay dos lados iguales: un triángulo acutángulo isósceles.

3. Los lados miden 9, 12 y 15.

${15^2=225=9^2+12^2},$ así que es un triángulo rectángulo escaleno.

4. Los lados miden 5, 5 y 8.

${8^2=64\gt 5^2+5^2=50},$ así que es un triángulo obtusángulo isósceles.

5. Los lados miden 6, 7 y 8.

${8^2=64\lt 6^2+7^2=85},$ así que es un triángulo acutángulo escaleno.

6. Los lados miden 7, 7 y 7.

Un triángulo equilátero; sus ángulos miden ${60^\circ},$ así que es acutángulo.

7. Los lados miden 2, 3 y 6.

Ese triángulo no existe, porque ${6\gt 2+3}.$

8. ¿Puede un triángulo rectángulo ser equilátero?

No. Todos los ángulos de un triángulo equilátero miden ${60^\circ},$ así que ninguno es recto.

9. Un ángulo de un triángulo isósceles mide ${100^\circ}.$ Halle los otros ángulos y clasifique el triángulo.

${100^\circ}$ tiene que ser el ángulo del vértice, así que cada ángulo de la base mide ${40^\circ}.$ Es un triángulo obtusángulo isósceles.

10. Los ángulos están en la razón ${1:1:2}.$

${k+k+2k=180^\circ},$ así que los ángulos miden ${45^\circ},$ ${45^\circ}$ y ${90^\circ}:$ un triángulo rectángulo isósceles.

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