Medidas de ángulos

Un ángulo está formado por dos semirrectas que parten de un mismo punto. Ese punto es el vértice del ángulo y las semirrectas son sus lados. La medida (o amplitud) de un ángulo indica cuánto hay que girar uno de los lados alrededor del vértice hasta que coincida con el otro.

Los ángulos se miden en grados o en radianes. En esta lección se explican las dos unidades y la forma de pasar de una a otra, y se muestra qué significan los ángulos mayores que $360^\circ$ y los ángulos negativos. Las respuestas se pueden comprobar con el convertidor que está al principio de la página.

En esta página: Grados · Minutos y segundos · Ángulos mayores que 360° · Ángulos positivos y negativos · Radianes · Grados y radianes · Arco y sector circular · Negativos y mayores que 2π · Errores frecuentes · Ejercicios

Grados

Una vuelta completa se divide en 360 partes iguales. Cada una de esas partes es un grado (grado sexagesimal), que se escribe $1^\circ.$ Así, $1^\circ$ es $\frac{1}{360}$ de una vuelta completa, y una vuelta completa equivale a $360^\circ.$

Un cuarto de vuelta son $90^\circ,$ media vuelta son $180^\circ$ y tres cuartos de vuelta son $270^\circ.$ Según su medida, un ángulo es:

• agudo si mide entre $0^\circ$ y $90^\circ;$
• recto si mide exactamente $90^\circ;$
• obtuso si mide entre $90^\circ$ y $180^\circ;$
• llano si mide exactamente $180^\circ;$
• cóncavo si mide entre $180^\circ$ y $360^\circ.$

Más sobre los tipos de ángulos: Clasificación de los ángulos.

Cómo medir un ángulo con el transportador

1. Se coloca el centro del transportador sobre el vértice del ángulo.
2. Se gira el transportador hasta que su línea del cero quede sobre uno de los lados del ángulo.
3. Se lee el número de la escala por el que pasa el otro lado. El transportador tiene dos escalas: se usa la que empieza en 0 sobre el primer lado.

En la figura el ángulo mide $50^\circ,$ no $130^\circ\text{:}$ el primer lado señala el 0 de la escala exterior, así que hay que leer la escala exterior. También ayuda una comprobación rápida: el ángulo es agudo, de modo que su medida tiene que ser menor que $90^\circ.$

Minutos y segundos

Las fracciones de grado se escriben con decimales, por ejemplo $37{,}5^\circ,$ o con unidades más pequeñas, llamadas minutos y segundos.

Un grado tiene 60 minutos y un minuto tiene 60 segundos: ${1^\circ=60'},$ ${1'=60''},$ de modo que ${1^\circ=3600''}.$

Ejemplo 1. Expresar $37{,}42^\circ$ en grados, minutos y segundos.

Solución. La parte entera es $37^\circ.$ La parte decimal es ${0{,}42^\circ}={0{,}42\cdot60'}={25{,}2'},$ es decir, $25'$ y $0{,}2'$ más. A su vez, ${0{,}2'}={0{,}2\cdot60''}={12''}.$ Por lo tanto, ${37{,}42^\circ=37^\circ25'12''}.$

Ejemplo 2. Expresar $12^\circ45'36''$ en grados, como número decimal.

Solución. ${12^\circ45'36''}={12^\circ+\frac{45^\circ}{60}+\frac{36^\circ}{3600}}$ $={12^\circ+0{,}75^\circ+0{,}01^\circ}={12{,}76^\circ}.$

Ejemplo 3. Calcular ${48^\circ35'+27^\circ50'}$ y ${90^\circ-34^\circ27'}.$

Solución. Se suman los grados con los grados y los minutos con los minutos: ${48^\circ35'+27^\circ50'}={75^\circ85'}.$ Como ${85'=1^\circ25'},$ la suma es $76^\circ25'.$ Para restar, primero se escribe $90^\circ$ como $89^\circ60'$ y se obtiene ${89^\circ60'-34^\circ27'}={55^\circ33'}.$

Ángulos mayores que 360°

Un ángulo también puede describir un giro (o rotación). Una rueda, la manecilla de un reloj o un patinador artístico pueden dar más de una vuelta completa, y entonces el ángulo de giro es mayor que $360^\circ.$ Por ejemplo, una rueda que da dos vueltas completas gira ${2\cdot360^\circ=720^\circ}.$

Ejemplo 4. ¿Cuántas vueltas da un objeto cuando gira un ángulo de a) $380^\circ;$ b) $770^\circ;$ c) $1000^\circ?$

Solución.

a) ${380^\circ=1\cdot360^\circ+20^\circ}\text{:}$ una vuelta completa y $20^\circ$ más. Como $20^\circ$ son ${\frac{20}{360}=\frac{1}{18}}$ de vuelta, el objeto da $1\frac{1}{18}$ vueltas.

b) ${770^\circ=2\cdot360^\circ+50^\circ}\text{:}$ dos vueltas completas y $50^\circ$ más, como en la figura anterior, es decir, ${2\frac{50}{360}=2\frac{5}{36}}$ vueltas.

c) ${{1000^\circ=2\cdot360^\circ+280^\circ}\text{:}}$ dos vueltas completas y $280^\circ$ más, es decir, ${2\frac{280}{360}=2\frac{7}{9}}$ vueltas.

Ángulos positivos y negativos

Un giro tiene un sentido. El lado desde el que empieza el giro se llama lado inicial del ángulo, y el lado en el que termina, lado terminal.

Un giro en sentido antihorario (contrario al de las agujas del reloj) se mide con un ángulo positivo, y un giro en sentido horario (el de las agujas del reloj), con un ángulo negativo.

En un sistema de coordenadas, un ángulo se suele dibujar en posición normal (o estándar): el vértice está en el origen y el lado inicial coincide con la parte positiva del eje $x.$ Entonces el lado terminal de $90^\circ$ apunta hacia arriba, el de $180^\circ$ apunta hacia la izquierda y el de $270^\circ,$ hacia abajo. El lado terminal de $-90^\circ$ también apunta hacia abajo.

Ángulos coterminales

Los ángulos $270^\circ$ y $-90^\circ$ son giros distintos, pero parten del mismo lado inicial y terminan en el mismo lado terminal. Los ángulos de este tipo se llaman coterminales. Una vuelta completa devuelve el lado terminal a la posición que tenía, por lo tanto:

Al sumar o restar $360^\circ$ cualquier número de veces se obtiene un ángulo coterminal, y todos los ángulos coterminales se obtienen de esta manera: los ángulos coterminales con $\alpha$ son ${\alpha+k\cdot360^\circ},$ donde $k$ es un número entero.

• Para hallar un ángulo positivo coterminal con uno negativo, se suman $360^\circ$ hasta que el resultado sea positivo.
• Para hallar un ángulo negativo coterminal con uno positivo, se restan $360^\circ$ hasta que el resultado sea negativo.
• Todo ángulo es coterminal con un único ángulo mayor o igual que $0^\circ$ y menor que $360^\circ.$ Para un ángulo positivo, es el resto de dividirlo entre $360^\circ.$

Ejemplo 5. Hallar el menor ángulo positivo coterminal con a) $-35^\circ;$ b) $-60^\circ;$ c) $-180^\circ;$ d) $-670^\circ.$

Solución. Se suman $360^\circ$ hasta que el ángulo sea positivo.

a) ${-35^\circ+360^\circ=325^\circ}$

b) ${-60^\circ+360^\circ=300^\circ}$

c) ${-180^\circ+360^\circ=180^\circ}$

d) ${-670^\circ+360^\circ=-310^\circ}$ sigue siendo negativo, así que se suman $360^\circ$ una vez más: ${-310^\circ+360^\circ=50^\circ}.$ En un solo paso, ${-670^\circ+2\cdot360^\circ=50^\circ}.$

Ejemplo 6. Hallar el ángulo negativo más cercano a cero que es coterminal con a) $80^\circ;$ b) $167^\circ;$ c) $330^\circ;$ d) $1300^\circ.$

Solución. Se restan $360^\circ$ hasta que el ángulo sea negativo.

a) ${80^\circ-360^\circ=-280^\circ}$

b) ${167^\circ-360^\circ=-193^\circ}$

c) ${330^\circ-360^\circ=-30^\circ}$

d) ${1300^\circ-360^\circ=940^\circ},$ ${940^\circ-360^\circ=580^\circ},$ ${580^\circ-360^\circ=220^\circ},$ ${220^\circ-360^\circ=-140^\circ}.$ En un solo paso, ${1300^\circ-4\cdot360^\circ}={-140^\circ}.$ La tercera resta muestra además que ${{1300^\circ=3\cdot360^\circ+220^\circ}\text{:}}$ tres vueltas completas y $220^\circ$ más.

Coterminal no significa igual. Los ángulos $1300^\circ$ y $-140^\circ$ son giros distintos: más de tres vueltas y media en un sentido y menos de media vuelta en el otro. Solo terminan en la misma posición, por lo que es incorrecto escribir ${1300^\circ=-140^\circ}.$ Sin embargo, las funciones trigonométricas toman los mismos valores en ambos ángulos; por ejemplo, ${\operatorname{sen}1300^\circ}={\operatorname{sen}(-140^\circ)}.$

Radianes

El grado es una unidad cómoda, pero el número 360 es una convención. El radián, en cambio, nace de la propia circunferencia.

Un radián (1 rad) es el ángulo central que abarca un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. (Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia.)

En la figura, el arco $AB$ mide lo mismo que el radio $r,$ por lo que ${\angle AOB=1\text{ rad}}.$ A un arco el doble de largo le corresponde un ángulo de 2 rad, y así sucesivamente. En general, la medida en radianes de un ángulo central que abarca un arco de longitud $s$ en una circunferencia de radio $r$ es

$$\theta=\frac{s}{r}.$$

Aquí $s$ y $r$ deben estar expresados en la misma unidad de longitud. Al dividir, las unidades se simplifican, de modo que una medida en radianes es solo un número.

La circunferencia entera es un arco de longitud $2\pi r,$ así que una vuelta completa equivale a ${\frac{2\pi r}{r}=2\pi}$ radianes.

Una vuelta completa son $2\pi$ radianes y media vuelta son $\pi$ radianes: ${360^\circ=2\pi\text{ rad}},$ ${180^\circ=\pi\text{ rad}}.$

De aquí se deduce que ${1\text{ rad}=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57{,}3^\circ}$ y ${1^\circ}={\frac{\pi}{180}\text{ rad}}\approx{0{,}01745\text{ rad}}.$

Los ángulos en radianes se suelen escribir como múltiplos de $\pi,$ porque así los ángulos más habituales se expresan de forma exacta y breve: $\frac{\pi}{2}$ en lugar de $1{,}570796\ldots$ La abreviatura «rad» normalmente se omite. Un ángulo escrito sin unidad, como $\frac{\pi}{3}$ o $2,$ está en radianes; un ángulo en grados siempre lleva el símbolo de grado.

Conversión entre grados y radianes

Basta recordar que $\pi$ radianes son $180^\circ.$ Cuando un ángulo está expresado como múltiplo de $\pi,$ solo hay que sustituir $\pi$ por $180^\circ\text{:}$ por ejemplo, ${\frac{\pi}{6}=\frac{180^\circ}{6}=30^\circ}.$

Grados	Radianes	Grados	Radianes
$30^\circ$	$\frac{\pi}{6}$	$210^\circ$	$\frac{7\pi}{6}$
$45^\circ$	$\frac{\pi}{4}$	$225^\circ$	$\frac{5\pi}{4}$
$60^\circ$	$\frac{\pi}{3}$	$240^\circ$	$\frac{4\pi}{3}$
$90^\circ$	$\frac{\pi}{2}$	$270^\circ$	$\frac{3\pi}{2}$
$120^\circ$	$\frac{2\pi}{3}$	$300^\circ$	$\frac{5\pi}{3}$
$135^\circ$	$\frac{3\pi}{4}$	$315^\circ$	$\frac{7\pi}{4}$
$150^\circ$	$\frac{5\pi}{6}$	$330^\circ$	$\frac{11\pi}{6}$
$180^\circ$	$\pi$	$360^\circ$	$2\pi$

Ejemplo 7. Convertir $240^\circ,$ $45^\circ,$ $270^\circ,$ $750^\circ$ y $390^\circ$ a radianes.

Solución. Se multiplica cada ángulo por $\frac{\pi}{180^\circ}$ y se simplifica la fracción.

${240^\circ}={240^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}}={\frac{4\pi}{3}}$

${45^\circ=45^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{4}}$

${270^\circ}={270^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}}={\frac{3\pi}{2}}$

${750^\circ}={750^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}}={\frac{25\pi}{6}}$

${390^\circ}={390^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}}={\frac{13\pi}{6}}$

Ejemplo 8. Convertir a grados: a) $\frac{5\pi}{4};$ b) $3{,}12\pi;$ c) $2{,}4\text{ rad}.$

Solución.

a) ${\frac{5\pi}{4}=\frac{5\cdot180^\circ}{4}=225^\circ}$

b) ${3{,}12\pi}={3{,}12\cdot180^\circ}={561{,}6^\circ}$

c) En este ángulo no aparece $\pi,$ así que se multiplica por $\frac{180^\circ}{\pi}$ y se obtiene ${2{,}4\cdot\frac{180^\circ}{\pi}}={\frac{432^\circ}{\pi}}\approx{137{,}5^\circ}.$

Longitud de arco y área del sector circular

Con los radianes, las fórmulas de la circunferencia y del círculo resultan muy sencillas. De ${\theta=\frac{s}{r}}$ se deduce que la longitud de un arco es el producto del radio por el ángulo. Un sector circular de ángulo central $\theta$ es la fracción $\frac{\theta}{2\pi}$ del círculo, por lo que su área es ${\frac{\theta}{2\pi}\cdot\pi r^2=\frac{1}{2}r^2\theta}.$

Para un ángulo central de $n^\circ,$ las mismas fórmulas se escriben ${s=\frac{\pi rn}{180}}$ y ${A=\frac{\pi r^2n}{360}}.$

Ejemplo 9. Un círculo tiene $6\text{ cm}$ de radio. Hallar la longitud del arco y el área del sector que corresponden a un ángulo central de $120^\circ.$

Solución. En radianes, ${120^\circ=\frac{2\pi}{3}}.$ Entonces ${s}={6\cdot\frac{2\pi}{3}}={4\pi}\approx{12{,}57\text{ cm}}$ y ${A}={\frac{1}{2}\cdot6^2\cdot\frac{2\pi}{3}}={12\pi}\approx{37{,}70\text{ cm}^2}.$

Ángulos negativos y ángulos mayores que $2\pi$ radianes

Todo lo dicho sobre las vueltas y los ángulos coterminales sigue siendo válido en radianes, con $2\pi$ en lugar de $360^\circ.$ Una vuelta completa es $2\pi,$ los ángulos $\theta$ y ${\theta+2\pi k}$ son coterminales para cualquier número entero $k,$ y un giro de ángulo $\theta$ equivale a $\frac{\theta}{2\pi}$ vueltas.

Ejemplo 10. Hallar el menor ángulo positivo coterminal con a) $-\frac{3\pi}{4};$ b) $-\frac{5\pi}{7}.$

Solución. Se suma $2\pi$ a cada ángulo.

a) ${-\frac{3\pi}{4}+2\pi}={-\frac{3\pi}{4}+\frac{8\pi}{4}}={\frac{5\pi}{4}}$

b) ${-\frac{5\pi}{7}+2\pi}={-\frac{5\pi}{7}+\frac{14\pi}{7}}={\frac{9\pi}{7}}$

Ejemplo 11. ¿Cuántas vueltas da un objeto, y en qué sentido, cuando gira un ángulo de a) $-10\pi;$ b) $9\pi;$ c) $\frac{7\pi}{2}?$

Solución. Se divide cada ángulo entre $2\pi.$

a) ${\frac{-10\pi}{2\pi}=-5}\text{:}$ cinco vueltas completas en sentido horario.

b) ${\frac{9\pi}{2\pi}=4{,}5}\text{:}$ cuatro vueltas y media en sentido antihorario, porque ${9\pi=4\cdot2\pi+\pi}.$

c) ${\frac{7\pi}{2}\cdot\frac{1}{2\pi}=\frac{7}{4}=1\frac{3}{4}}\text{:}$ una vuelta y tres cuartos en sentido antihorario, porque ${\frac{7\pi}{2}=2\pi+\frac{3\pi}{2}}.$

Ejemplo 12. Hallar el ángulo $\theta,$ con ${0\le\theta\lt2\pi},$ que es coterminal con a) $\frac{25\pi}{6};$ b) $-\frac{8\pi}{3}.$

Solución.

a) ${\frac{25\pi}{6}}={\frac{24\pi}{6}+\frac{\pi}{6}}={2\cdot2\pi+\frac{\pi}{6}},$ así que el ángulo es $\frac{\pi}{6}.$

b) ${-\frac{8\pi}{3}+2\cdot2\pi}={-\frac{8\pi}{3}+\frac{12\pi}{3}}={\frac{4\pi}{3}}.$

Errores frecuentes

Error	Incorrecto	Correcto
Calculadora en el modo equivocado	${\operatorname{sen}30^\circ\approx-0{,}988}\text{:}$ la calculadora está en modo RAD y toma el 30 como 30 radianes	Pasar al modo DEG para trabajar en grados: ${\operatorname{sen}30^\circ=0{,}5}$
Leer los minutos como decimales	${2^\circ30'=2{,}30^\circ}$	${2^\circ30'=2{,}5^\circ},$ porque $30'$ son medio grado
Multiplicar por la fracción equivocada	${60^\circ=60\cdot\frac{180}{\pi}}$	${60^\circ=60^\circ\cdot\frac{\pi}{180^\circ}=\frac{\pi}{3}}\text{:}$ los grados deben simplificarse
Grados en la fórmula de la longitud de arco	${r=6},$ ángulo de $120^\circ\text{:}$ ${s=6\cdot120=720}$	Convertir primero a radianes: ${s=6\cdot\frac{2\pi}{3}=4\pi}$
Confundir los sentidos de giro	Un giro en sentido horario es positivo	El sentido antihorario es el positivo; el horario, el negativo
Signo igual entre ángulos coterminales	${-90^\circ=270^\circ}$	$-90^\circ$ y $270^\circ$ son coterminales: comparten el lado terminal, pero son ángulos distintos
Leer la escala equivocada del transportador	En un ángulo agudo se leen $130^\circ$	Leer la escala que empieza en 0 sobre el primer lado: $50^\circ$

Ejercicios

1. Convertir a radianes: $15^\circ,$ $72^\circ,$ $150^\circ,$ $315^\circ,$ $540^\circ.$

Respuesta

$\frac{\pi}{12},$ $\frac{2\pi}{5},$ $\frac{5\pi}{6},$ $\frac{7\pi}{4},$ $3\pi.$

2. Convertir a grados: $\frac{\pi}{5},$ $\frac{7\pi}{6},$ $\frac{11\pi}{12},$ $3\text{ rad}.$

Respuesta

$36^\circ,$ $210^\circ,$ $165^\circ,$ ${\frac{540^\circ}{\pi}\approx171{,}9^\circ}.$

3. a) Expresar $25{,}3^\circ$ en grados y minutos. b) Expresar $48^\circ21'36''$ en grados, como número decimal.

Respuesta

a) ${0{,}3\cdot60'=18'},$ así que ${25{,}3^\circ=25^\circ18'}.$

b) ${48^\circ+\frac{21^\circ}{60}+\frac{36^\circ}{3600}}={48^\circ+0{,}35^\circ+0{,}01^\circ}={48{,}36^\circ}.$

4. Calcular ${37^\circ48'+25^\circ35'}.$ Hallar después el ángulo que hay que sumar a $37^\circ48'$ para obtener un ángulo recto.

Respuesta

${37^\circ48'+25^\circ35'}={62^\circ83'}={63^\circ23'}.$

${90^\circ-37^\circ48'}={89^\circ60'-37^\circ48'}={52^\circ12'}.$

5. Una rueda gira $1500^\circ.$ ¿Cuántas vueltas completas da y qué ángulo queda?

Respuesta

${{1500^\circ=4\cdot360^\circ+60^\circ}\text{:}}$ cuatro vueltas completas y $60^\circ$ más, es decir, $4\frac{1}{6}$ vueltas.

6. Hallar el ángulo $\beta,$ con ${0^\circ\le\beta\lt360^\circ},$ que es coterminal con a) $-1000^\circ;$ b) $2024^\circ.$

Respuesta

a) ${-1000^\circ+3\cdot360^\circ=80^\circ}.$

b) ${2024^\circ-5\cdot360^\circ=224^\circ}.$

7. Hallar el ángulo $\theta,$ con ${0\le\theta\lt2\pi},$ que es coterminal con a) $\frac{17\pi}{4};$ b) $-\frac{11\pi}{3}.$

Respuesta

a) ${\frac{17\pi}{4}-2\cdot2\pi}={\frac{17\pi}{4}-\frac{16\pi}{4}}={\frac{\pi}{4}}.$

b) ${-\frac{11\pi}{3}+2\cdot2\pi}={-\frac{11\pi}{3}+\frac{12\pi}{3}}={\frac{\pi}{3}}.$

8. ¿Qué ángulo gira el minutero de un reloj en 25 minutos? Expresar el resultado con su signo, en grados y en radianes.

Respuesta

El minutero da una vuelta completa en 60 minutos, así que en 25 minutos gira ${\frac{25}{60}\cdot360^\circ=150^\circ}.$ Se mueve en sentido horario, por lo que el ángulo es ${-150^\circ=-\frac{5\pi}{6}}.$

9. Una rueda da $2{,}5$ vueltas en sentido antihorario. Hallar el ángulo de giro en grados y en radianes.

Respuesta

${2{,}5\cdot360^\circ=900^\circ},$ que son ${2{,}5\cdot2\pi=5\pi}$ radianes.

10. La Tierra da una vuelta sobre su eje en unas 24 horas. ¿Qué ángulo gira en una hora? Expresar el resultado en grados y en radianes.

Respuesta

${\frac{360^\circ}{24}=15^\circ},$ que son $\frac{\pi}{12}$ radianes.

11. Un círculo tiene $10\text{ cm}$ de radio. Hallar la longitud del arco y el área del sector que corresponden a un ángulo central de $54^\circ.$

Respuesta

En radianes, ${54^\circ=\frac{54\pi}{180}=\frac{3\pi}{10}}.$ Entonces ${s}={10\cdot\frac{3\pi}{10}}={3\pi}\approx{9{,}42\text{ cm}}$ y ${A}={\frac{1}{2}\cdot10^2\cdot\frac{3\pi}{10}}={15\pi}\approx{47{,}12\text{ cm}^2}.$

12. Un arco de una circunferencia de $8\text{ cm}$ de radio mide $20\text{ cm}.$ Hallar su ángulo central en radianes y en grados.

Respuesta

${\theta=\frac{s}{r}=\frac{20}{8}=2{,}5\text{ rad}},$ que son ${2{,}5\cdot\frac{180^\circ}{\pi}\approx143{,}2^\circ}.$

Véase también: Clasificación de los ángulos · Tipos de pares de ángulos · Círculo · Trigonometría