Triángulos semejantes

Definición

Dos triángulos similares

En general, se dice que dos triángulos son similares si tienen la misma forma, incluso si están escalados, girados o incluso volteados.

La presentación matemática de dos triángulos semejantes A1B1C1 y A2B2C2 como se muestra en la figura es:

ΔA1B1C1 ~ ΔA2B2C2

Dos triángulos son similares si:

1. Cada ángulo en un triángulo es congruente con (igual a) su ángulo correspondiente en el otro triángulo, es decir:
∠A1 = ∠A2, ∠B1 = ∠B2∠C1 = ∠C2

2. La relación entre la longitud de un lado de un triángulo y el lado correspondiente en el otro triángulo es la misma, es decir:
$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}$

3. La proporción de longitud de dos lados de un triángulo a los lados correspondientes en el otro triángulo es el mismo y
los ángulos entre estos lados son iguales, es decir:
$\frac{B_1A_1}{B_2A_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}$ y $\angle A_1 = \angle A_2$
o
$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}$ y $\angle B_1 = \angle B_2$
o
$\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=\frac{C_1A_1}{C_2A_2}$ y $\angle C_1 = \angle C_2$

Tenga cuidado de no confundir triángulos similares con triángulos idénticos. Los triángulos idénticos son aquellos que tienen las mismas longitudes de lados correspondientes. Por lo tanto, para triángulos idénticos:

$\frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{A_1C_1}{A_2C_2}=\frac{B_1C_1}{B_2C_2}=1$

Por lo tanto, todos los triángulos idénticos son similares. Sin embargo, no todos los triángulos semejantes son idénticos.

Aunque lo anterior muestra que necesitamos saber las medidas de los tres ángulos o las longitudes de los tres lados de cada triángulo para decidir si los dos triángulos son similares o no, sería suficiente, para resolver problemas que involucren triángulos similares. saber solo tres de las medidas anteriores para cada triángulo. Estas medidas pueden ser cualquiera de las siguientes combinaciones:

1) los tres ángulos de cada triángulo (sin necesidad de conocer la longitud de sus lados).

O al menos 2 ángulos del primer triángulo son iguales a 2 ángulos del segundo triángulo.
Porque si 2 ángulos son iguales, los terceros ángulos son iguales también (los terceros ángulos son 180 - ángulo1 - ángulo2)

2) las longitudes de los lados de cada triángulo (sin necesidad de conocer las medidas de sus ángulos);

3) las longitudes de dos lados y la medida de un ángulo de cada triángulo. Este ángulo debe ser el formado por los dos lados conocidos.

En lo que sigue explicaremos la solución de algunos problemas con triángulos similares. Comenzaremos con los problemas que se pueden resolver con la aplicación directa de las reglas anteriores, y luego actualizaremos nuestra discusión para explicar algunos problemas prácticos que utilizan el principio de los triángulos similares para ser resueltos.

Aplicación directa de problemas con triángulos similares

Ejemplo 1: Demuestre que los dos triángulos dados en la figura de abajo son similares.
2 triángulos similares con lados conocidos

Solución:
Dado que las longitudes de los lados de ambos triángulos son conocidas, la segunda condición se puede verificar:

$\frac{PQ}{AB}=\frac{6}{2}=3$ $\frac{QR}{CB}=\frac{12}{4}=3$ $\frac{PR}{AC}=\frac{15}{5}=3$

Ejemplo 2: Demuestra que los dos triángulos que se dan al lado son similares y calcula las longitudes de los lados PQ y PR.

Solución:
∠A = ∠P y ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R (porque ∠C = 180 - ∠A - ∠B y ∠R = 180 - ∠P - ∠Q)

Por lo tanto, los dos triángulos ΔABC y ΔPQR son similares. Por consiguiente:
$\frac{AB}{PQ}=\frac{BC}{QR}=\frac{AC}{PR}$

$\frac{BC}{QR}=\frac{6}{12}=\frac{AB}{PQ}=\frac{4}{PQ} \Rightarrow PQ=\frac{4\times12}{6} = 8$ y
$\frac{BC}{QR}=\frac{6}{12}=\frac{AC}{PR}=\frac{7}{PR} \Rightarrow PR=\frac{7\times12}{6} = 14$

Ejemplo 3: Encuentre la longitud de AB en el triángulo que se muestra abajo.

Solución:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED y ∠A es común => los dos triángulos ΔABC y ΔADE son similares.

$\frac{BC}{DE} = \frac{3}{6} = \frac{AB}{AD} = \frac{AB}{AB + BD} = \frac{AB}{AB + 4} = \frac{1}{2} \Rightarrow 2\times AB = AB + 4 \Rightarrow AB = 4$

Ejemplo 4: Dada la forma mostrada por la figura. Encontrar la longitud de AD (x).

Los dos triángulos ΔABC y ΔCDE parecen ser similares dado que AB || DE y tienen el mismo ángulo del vértice C.
Parece que un triángulo es una versión escalada del otro. Sin embargo, tenemos que demostrar esto matemáticamente.

AB || DE, CD || AC y BC || EC
∠BAC = ∠EDC y ∠ABC = ∠DEC

Considerando lo anterior y el ángulo común C, podemos concluir que los dos triángulos ΔABC y ΔCDE son similares.

Por lo tanto:
$\frac{DE}{AB} = \frac{7}{11} = \frac{CD}{CA} = \frac{15}{CA} \Rightarrow CA = \frac{15 \times 11}{7} = 23,57$
x = AC - DC = 23,57 - 15 = 8,57

Ejemplos prácticos

Ejemplo 5: Una fábrica está utilizando una cinta transportadora inclinada para transportar sus productos desde el Nivel 1 al Nivel 2, que está 3 m por encima del nivel 1, como se muestra en la siguiente figura. La transportadora inclinada se apoya desde un extremo al nivel 1 y desde el otro extremo a un poste ubicado a 8 m de distancia del punto de soporte del nivel 1.

La fábrica desea extender su transportador para alcanzar un nuevo Nivel 2 que está a 9 m por encima del Nivel 1, manteniendo el ángulo de inclinación del transportador.

Encuentre la distancia a la cual se instalará un nuevo poste para soportar el transportador en su nuevo extremo en el Nivel 2. Además, calcule la distancia adicional que tiene que recorrer el producto para alcanzar el nuevo nivel.

Solución:

Primero, denotemos cada punto de intersección con una letra como se muestra en Rojo en la figura de arriba.

Siguiendo la misma explicación proporcionada en los ejemplos anteriores, podemos concluir que los dos triángulos ΔABC y ΔADE son similares. Por lo tanto,

$\frac{DE}{BC} = \frac{3}{9} = \frac{AD}{AB} = \frac{8}{AB} \Rightarrow AB = \frac{8 \times 9}{3} = 24m$
x = AB - 8 = 24 - 8 = 16m

Por lo tanto, el nuevo poste debe colocarse a una distancia de 16 m del puesto existente.

Dado que la construcción está formando triángulos en ángulo recto, podemos calcular la distancia de viaje del producto de la siguiente manera:

$AE = \sqrt{AD^2 + DE^2} = \sqrt{8^2 + 3^2} = 8.54m$

Igualmente, $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{24^2 + 9^2} = 25,63m$
que es la distancia que viaja actualmente el producto para alcanzar el nivel existente.

y = AC - AE = 25,63 - 8,54 = 17,09m
que es la distancia adicional que debe recorrer el producto para alcanzar el nuevo nivel.

Ejemplo 6: Steve quiere visitar a su amigo que recientemente se mudó a una nueva casa. El mapa de carreteras entre la casa de Steve y la de sus amigos, así como las distancias que conoce Steve son las que se muestran en la siguiente figura. Guíe a Steve para llegar a la casa de su amigo por el camino más corto.

Solución:

El mapa se puede expresar geométricamente como se muestra en la siguiente figura.

Puede notar que los dos triángulos ΔABC y ΔCDE son similares y por lo tanto:
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{CD} = \frac{AC}{CE}$

De la descripción del problema, tenemos:

AB = 15km, AC = 13,13km, CD = 4,41km y DE = 5km

A partir de lo anterior, podemos calcular las siguientes longitudes:

$BC = \frac{AB \times CD}{DE} = \frac{15 \times 4,41}{5} = 13,23km$

$CE = \frac{AC \times CD}{BC} = \frac{13,13 \times 4,41}{13,23} = 4,38km$

Para que Steve llegue a la casa de su amigo, puede seguir cualquiera de las siguientes rutas:

A -> B -> C -> E -> G la cual tiene una longitud total de 7,5+13,23+4,38+2,5=27,61km

F -> B -> C -> D -> G la cual tiene una longitud total de 7,5+13,23+4,41+2,5=27,64km

F -> A -> C -> E -> G la cual tiene una longitud total de 7,5+13,13+4,38+2,5=27,51km

F -> A -> C -> D -> G la cual tiene una longitud total de 7,5+13,13+4,41+2,5=27,54km

Por lo tanto, la ruta número 3 es la más corta que se recomienda a Steve.

Ejemplo 7:
Trisha quiere medir la altura de un edificio, pero no tiene las herramientas para hacerlo. Notó que hay un árbol ubicado frente al edificio, por lo que decidió usar su inteligencia y el conocimiento de geometría que obtuvo en la escuela para medir la altura del edificio. Ella midió la distancia entre el árbol y el edificio y encontró que es de 30 m. Se paró frente al árbol y comenzó a retroceder hasta que pudo ver el borde superior del edificio desde arriba de la parte superior del árbol. Ella marcó su lugar y lo midió desde el árbol. Eran 5m.

Sabiendo que la altura del árbol es de 2,8 my la altura de los ojos de Trisha es de 1,6 m, ayuda a Trisha a hacer los cálculos y determinar la altura del edificio.

Solución:

Este problema se puede representar geométricamente como en la figura a continuación.

Primero, hagamos uso de la similitud entre los triángulos ΔABC y ΔADE.

$\frac{BC}{DE} = \frac{1,6}{2,8} = \frac{AC}{AE} = \frac{AC}{5 + AC} \Rightarrow 2,8 \times AC = 1,6 \times (5 + AC) = 8 + 1,6 \times AC$

$(2,8 - 1,6) \times AC = 8 \Rightarrow AC = \frac{8}{1,2} = 6,67$

Entonces podemos usar la similitud entre triángulos ΔACB y ΔAFG o entre los triángulos ΔADE y ΔAFG. Tomemos la primera opción.

$\frac{BC}{FG} = \frac{1.6}{H} = \frac{AC}{AG} = \frac{6,67}{6,67 + 5 + 30} = 0,16 \Rightarrow H = \frac{1,6}{0,16} = 10m$


Email de contacto:

Copyright © 2005 - 2024