Congruencia de triángulos

Dos triángulos son congruentes si uno de ellos se puede mover (desplazar, girar o voltear) de modo que cubra exactamente al otro.

Los triángulos congruentes tienen la misma forma y el mismo tamaño; solo puede cambiar su posición. Cuando uno cubre al otro, cada vértice cae sobre un vértice, cada lado sobre un lado y cada ángulo sobre un ángulo. Esos son los vértices, lados y ángulos correspondientes, y los lados y ángulos correspondientes son iguales.

Escribimos ${\triangle ABC\cong\triangle DEF}$ y leemos «el triángulo $ABC$ es congruente con el triángulo $DEF$». El orden de las letras importa: indica qué vértices se corresponden, $A$ con $D,$ $B$ con $E$ y $C$ con $F.$ Así, esta breve notación contiene seis igualdades:

$$AB=DE,\qquad BC=EF,\qquad CA=FD,$$ $$\angle A=\angle D,\qquad \angle B=\angle E,\qquad \angle C=\angle F.$$

En las demostraciones esto se usa como la regla «los elementos correspondientes de triángulos congruentes son iguales».

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Criterios de congruencia

Para demostrar que dos triángulos son congruentes no hace falta comprobar las seis igualdades: bastan tres bien elegidas. Las reglas que dicen qué tres bastan son los criterios de congruencia. En las figuras, los elementos iguales dados están en rojo.

Lado-ángulo-lado (LAL)

Si dos lados y el ángulo comprendido entre ellos en un triángulo son iguales a dos lados y al ángulo comprendido entre ellos en otro triángulo, los triángulos son congruentes.

Si ${AB=A_1B_1},$ ${AC=A_1C_1}$ y ${\angle A=\angle A_1},$ entonces ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$ El ángulo debe ser el que está entre los dos lados. Problemas resueltos: Problemas de congruencia: LAL.

Lado-lado-lado (LLL)

Si los tres lados de un triángulo son iguales a los tres lados de otro triángulo, los triángulos son congruentes.

Es decir, tres lados determinan por completo un triángulo. Por eso un armazón de tres varillas es rígido, mientras que uno de cuatro varillas se puede deformar. Por esta razón los puentes, los tejados y las grúas se construyen con triángulos.

Ángulo-lado-ángulo (ALA)

Si un lado y los dos ángulos adyacentes a él en un triángulo son iguales a un lado y a los dos ángulos adyacentes a él en otro triángulo, los triángulos son congruentes.

Si ${AB=A_1B_1},$ ${\angle A=\angle A_1}$ y ${\angle B=\angle B_1},$ entonces ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$ Problemas resueltos: Problemas de congruencia: ALA, LAA y LLL.

Lado-ángulo-ángulo (LAA)

Si dos ángulos y un lado que no está entre ellos en un triángulo son iguales a los dos ángulos y al lado correspondientes de otro triángulo, los triángulos son congruentes.

Esto se deduce de ALA. Si dos ángulos de un triángulo son iguales a dos ángulos del otro, los terceros también lo son, porque cada uno es ${180^\circ}$ menos los otros dos. En la figura ${\angle C=\angle C_1},$ así que el lado $BC$ con los ángulos $B$ y $C$ en sus extremos da ALA. Hay que cuidar que los lados se correspondan: los lados iguales deben estar frente a ángulos iguales.

Dos lados y el ángulo opuesto al mayor (LLA)

Dos lados y un ángulo que no está entre ellos, en general, no bastan.

En la figura, los triángulos $ABC$ y $ABC'$ tienen el lado común $AB,$ el ángulo común en $A$ y ${BC=BC'}.$ Sin embargo, no son congruentes: la circunferencia de centro $B$ y radio $BC$ corta la semirrecta que sale de $A$ en dos puntos.

Si dos lados y el ángulo opuesto al mayor de ellos en un triángulo son iguales a dos lados y al ángulo opuesto al mayor de ellos en otro triángulo, los triángulos son congruentes. El criterio vale también cuando los dos lados son iguales.

Es decir, si ${AB=A_1B_1},$ ${BC=B_1C_1},$ ${\angle A=\angle A_1}$ y ${BC\ge AB},$ entonces ${\triangle ABC\cong\triangle A_1B_1C_1}.$

En la figura el ángulo en $A$ está frente al lado menor, ${BC\lt AB}.$ Si $BC$ fuera al menos tan largo como $AB,$ la circunferencia cortaría la semirrecta desde $A$ en un solo punto, y el triángulo quedaría determinado.

Congruencia de triángulos rectángulos

En los triángulos rectángulos los ángulos rectos ya son iguales, así que bastan dos pares más de elementos iguales:

los dos catetos (LAL);
un cateto y un ángulo agudo (ALA o LAA);
la hipotenusa y un ángulo agudo (LAA);
la hipotenusa y un cateto (LLA, porque el ángulo recto está frente a la hipotenusa, el lado mayor).

Lo que no basta

Tres ángulos iguales. Los triángulos con ángulos iguales tienen la misma forma, pero pueden tener tamaños distintos. Son semejantes, no necesariamente congruentes.
Dos lados y el ángulo opuesto al menor, como en la figura de arriba.
Solo dos pares de elementos iguales. Por ejemplo, con dos lados iguales el ángulo entre ellos puede ser cualquiera.

Cómo escribir una demostración de congruencia

Nombre los dos triángulos con los vértices en el orden correspondiente.
Escriba tres pares de elementos iguales y justifique cada uno: dato, lado común, ángulos opuestos por el vértice, propiedad de la figura, etc.
Indique el criterio y compruebe que los elementos están en el lugar correcto; por ejemplo, que en LAL el ángulo está entre los lados.
Escriba la conclusión ${\triangle\ldots\cong\triangle\ldots}$ y después use los elementos correspondientes.

Ejemplo 1. Los segmentos $AB$ y $CD$ se cortan en el punto $O,$ que es el punto medio de ambos. Demuestre que ${AC=BD}.$

Solución. Consideremos los triángulos $AOC$ y $BOD.$

${AO=BO},$ porque $O$ es el punto medio de $AB.$
${\angle AOC=\angle BOD}$ por ser opuestos por el vértice.
${CO=DO},$ porque $O$ es el punto medio de $CD.$

El ángulo en $O$ está entre los dos lados, así que por LAL ${\triangle AOC\cong\triangle BOD}.$ Los lados $AC$ y $BD$ se corresponden, así que ${AC=BD}.$

Ejemplo 2. En los triángulos $ABC$ y $DEF$ se sabe que ${AB=DE=5},$ ${BC=EF=7}$ y ${\angle B=\angle E=40^\circ}.$ ¿Son congruentes? ¿Qué ángulo de $DEF$ es igual al ángulo $C?$

Solución. El ángulo $B$ está entre los lados $AB$ y $BC,$ y el ángulo $E$ entre $DE$ y $EF.$ Por LAL ${\triangle ABC\cong\triangle DEF},$ y al ángulo $C$ le corresponde el ángulo $F,$ así que ${\angle C=\angle F}.$

Ejemplo 3. En los triángulos $ABC$ y $DEF$ se sabe que ${\angle A=\angle D=50^\circ},$ ${\angle B=\angle E=60^\circ}$ y ${BC=DF}.$ ¿Son congruentes?

Solución. Con estos datos, no. El lado $BC$ está frente al ángulo de ${50^\circ},$ pero $DF$ está frente al ángulo $E,$ de ${60^\circ},$ así que esos lados no se corresponden. Al lado $BC$ le corresponde el lado $EF.$ Los triángulos tienen los mismos ángulos, así que son semejantes. Pero ${BC=DF\gt EF},$ porque en el triángulo $DEF$ el lado $DF$ está frente al ángulo de ${60^\circ}$ y $EF$ frente al de ${50^\circ}.$ Por tanto el triángulo $ABC$ es más grande que $DEF$ y no son congruentes.

Errores frecuentes

Error	Incorrecto	Correcto
El ángulo de LAL no está entre los lados	${AB=A_1B_1},$ ${BC=B_1C_1},$ ${\angle A=\angle A_1},$ así que LAL	El ángulo $A$ no está entre $AB$ y $BC;$ son dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos, lo que puede no bastar
Tres ángulos como criterio	Todos los ángulos son iguales, así que los triángulos son congruentes	Son semejantes; el tamaño puede ser distinto
Se ignora el orden de las letras	${\triangle ABC\cong\triangle DEF},$ así que ${AB=EF}$	A $AB$ le corresponde $DE,$ así que ${AB=DE}$
Lados que no se corresponden	Dos ángulos iguales y un lado igual en cualquier lugar dan congruencia	Los lados iguales deben estar frente a ángulos iguales

Ejercicios

Resuélvalos usted mismo y después abra la respuesta.

1. ${\triangle KLM\cong\triangle PQR}.$ Escriba los seis pares de lados y ángulos iguales.

${KL=PQ},$ ${LM=QR},$ ${MK=RP},$ ${\angle K=\angle P},$ ${\angle L=\angle Q},$ ${\angle M=\angle R}.$

2. ${AB=DE},$ ${\angle A=\angle D},$ ${AC=DF}.$ ¿Qué criterio muestra que ${\triangle ABC\cong\triangle DEF}?$

LAL: el ángulo $A$ está entre los lados $AB$ y $AC.$

3. ${\angle A=\angle D},$ ${AB=DE},$ ${\angle B=\angle E}.$ ¿Qué criterio?

ALA: el lado $AB$ está entre los ángulos $A$ y $B.$

4. ${\angle A=\angle D},$ ${\angle B=\angle E},$ ${BC=EF}.$ ¿Qué criterio?

LAA: $BC$ y $EF$ están frente a los ángulos iguales $A$ y $D.$

5. ${AB=DE},$ ${BC=EF},$ ${\angle A=\angle D}.$ ¿Son siempre congruentes los triángulos?

No siempre: es el caso LLA. Son congruentes si el ángulo está frente al lado mayor (o los dos lados son iguales), es decir, si ${BC\ge AB}.$

6. Dos triángulos rectángulos tienen las hipotenusas iguales y un par de catetos iguales. ¿Son congruentes?

Sí, por la hipotenusa y un cateto (LLA con el ángulo recto frente a la hipotenusa).

7. Los ángulos de dos triángulos miden ${40^\circ},$ ${60^\circ},$ ${80^\circ}.$ ¿Son congruentes?

No necesariamente: son semejantes, pero uno puede ser más grande que el otro.

8. $AB$ y $CD$ son diámetros de una circunferencia de centro $O.$ Demuestre que ${AC=BD}.$

${OA=OB=OC=OD}$ por ser radios, y ${\angle AOC=\angle BOD}$ por ser opuestos por el vértice. Por LAL ${\triangle AOC\cong\triangle BOD},$ así que ${AC=BD}.$

Más práctica: Problemas de congruencia de triángulos.

Más sobre triángulos: Triángulos · Clasificación · Altura · Mediana · Triángulos semejantes