Medianas de un triángulo

En un triángulo, una mediana es una línea que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.
Todo triángulo tiene 3 medianas.

Las tres medianas se encuentran en un punto llamado centroide- punto G.

Aquí las medianas son AX, BY, CZ y se encuentran en G.

El punto G separa cada uno en segmentos en una relación 2 : 1 es decir:

$\frac{\overline{AG}}{\overline{GX}} = \frac{\overline{BG}}{\overline{GY}} = \frac{\overline{CG}}{\overline{GZ}} = \frac21$

$\frac{\overline{AG}}{\overline{AX}} = \frac{\overline{BG}}{\overline{BY}} = \frac{\overline{CG}}{\overline{CZ}} = \frac23$

$\frac{\overline{GX}}{\overline{AX}} = \frac{\overline{GY}}{\overline{BY}} = \frac{\overline{GZ}}{\overline{CZ}} = \frac13$

Denotemos las medianas como m_a, m_b, m_c y los lados del triángulo como a, b, c.

$m_a = \frac{1}{2}\sqrt{2c^2+2b^2-a^2}$

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2c^2+2a^2-b^2}$

$m_c = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2b^2-c^2}$

Aquí están las fórmulas para calcular los lados de un triángulo cuando tenemos las longitudes de las medianas.

$a = \frac{2}{3}\sqrt{2m_b^2+2m_c^2-m_a^2}$

$b = \frac{2}{3}\sqrt{2m_c^2+2m_a^2-m_b^2}$

$c = \frac{2}{3}\sqrt{2m_a^2+2m_b^2-m_c^2}$