Medianas de un triángulo

Una mediana de un triángulo es el segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto.

En la figura, $A_1$ es el punto medio de $BC$ (${BA_1=A_1C}$), y $AA_1$ es la mediana desde el vértice $A.$ Su longitud se escribe $m_a,$ la mediana sobre el lado $a.$ Todo triángulo tiene tres medianas, $AA_1,$ $BB_1$ y $CC_1,$ de longitudes $m_a,$ $m_b$ y $m_c.$ A diferencia de las alturas, las medianas siempre están dentro del triángulo.

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El baricentro

Dicho de otro modo, el baricentro está a dos tercios del camino desde cada vértice hasta el punto medio del lado opuesto:

${AG=\frac23\,m_a},\qquad{GA_1=\frac13\,m_a}.$

Si se recorta un triángulo de cartón, queda en equilibrio sobre la punta de un lápiz colocada en el baricentro. Por eso el baricentro también se llama centro de gravedad del triángulo.

¿Por qué las medianas se cortan en un punto y por qué la razón es ${2:1}?$

Sea $G$ el punto de corte de las medianas $BB_1$ y $CC_1.$ El segmento $B_1C_1$ une los puntos medios de $AC$ y $AB,$ así que es un segmento medio (base media): ${B_1C_1\parallel BC}$ y ${B_1C_1=\frac12\,BC}.$

Los triángulos $GB_1C_1$ y $GBC$ tienen ángulos iguales (alternos internos entre las paralelas $B_1C_1$ y $BC,$ y opuestos por el vértice en $G$), así que son semejantes con razón ${\frac{B_1C_1}{BC}=\frac12}.$ Por tanto ${GB_1=\frac12\,GB}$ y ${GC_1=\frac12\,GC}:$ el punto $G$ divide cada una de las medianas $BB_1$ y $CC_1$ en la razón ${2:1}.$

El mismo razonamiento con las medianas $AA_1$ y $BB_1$ muestra que se cortan en el punto de $BB_1$ que la divide en la razón ${2:1}$ desde $B.$ Es el mismo punto $G,$ así que las tres medianas pasan por $G.$

El baricentro en coordenadas. Si los vértices son ${A(x_1,\ y_1)},$ ${B(x_2,\ y_2)}$ y ${C(x_3,\ y_3)},$ el baricentro es el punto

${G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)}.$

Medianas y área

Una mediana divide el triángulo en dos triángulos de igual área.

Los triángulos $ABA_1$ y $AA_1C$ tienen bases iguales, ${BA_1=A_1C},$ y la misma altura desde $A,$ así que sus áreas son iguales.

Las tres medianas dividen el triángulo en seis triángulos pequeños de igual área. Cada uno tiene ${\frac16}$ del área de $ABC,$ y, por ejemplo, ${S_{ABG}=\frac13\,S_{ABC}}.$

¿Por qué las seis áreas son iguales?

Los triángulos $GBA_1$ y $GA_1C$ tienen bases iguales y la misma altura desde $G,$ así que sus áreas son iguales; llamemos $x$ a esa área. La mediana $AA_1$ divide $ABC$ en dos mitades de igual área, así que ${S_{ABG}}={\frac12\,S_{ABC}-x}={S_{ACG}}.$ Del mismo modo ${S_{ABG}=S_{BCG}}.$ Por tanto los triángulos $ABG,$ $BCG$ y $CAG$ tienen la misma área, ${\frac13\,S_{ABC}}$ cada uno, y una mediana divide a cada uno en dos partes iguales de ${\frac16\,S_{ABC}}.$

La longitud de una mediana

En cada fórmula el lado sobre el que se traza la mediana aparece con signo menos.

Demostración con un paralelogramo

Prolonguemos la mediana $AA_1$ más allá de $A_1,$ en una longitud igual a la suya, hasta un punto $D,$ de modo que ${A_1D=AA_1=m_a}.$ Las diagonales $AD$ y $BC$ del cuadrilátero $ABDC$ se cortan en $A_1,$ que es el punto medio de ambas, así que $ABDC$ es un paralelogramo de lados $b$ y $c$ y diagonales ${AD=2m_a}$ y ${BC=a}.$

En todo paralelogramo la suma de los cuadrados de las diagonales es igual a la suma de los cuadrados de los cuatro lados:

${(2m_a)^2+a^2=2b^2+2c^2}.$

Así que ${4m_a^2=2b^2+2c^2-a^2},$ que es la fórmula. Esta propiedad del paralelogramo (la ley del paralelogramo) se deduce del teorema del coseno aplicado a las dos diagonales.

Los lados a partir de las medianas. Si se conocen las tres medianas, los lados son

Sumando los cuadrados de las tres fórmulas de las medianas se obtiene otra relación sencilla:

${m_a^2+m_b^2+m_c^2}={\frac34\left(a^2+b^2+c^2\right)}.$

Medianas de triángulos especiales

• Triángulo isósceles. La mediana sobre la base es también la altura sobre la base y la bisectriz del ángulo del vértice. Las medianas sobre los lados iguales son iguales.
• Triángulo equilátero. Las medianas son iguales a las alturas, ${m=\frac{a\sqrt3}{2}},$ y el baricentro es el centro del triángulo.
• Triángulo rectángulo. La mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa: ${m_c=\frac{c}{2}}.$ El punto medio de la hipotenusa está a la misma distancia de los tres vértices, así que es el centro de la circunferencia circunscrita.

Recíprocamente, si una mediana mide la mitad del lado sobre el que se traza, el ángulo opuesto a ese lado es recto.

¿Por qué?

Sea ${CC_1=\frac12\,AB}.$ Entonces ${C_1A=C_1C=C_1B},$ así que los triángulos $AC_1C$ y $BC_1C$ son isósceles, y ${\angle C_1CA=\alpha},$ ${\angle C_1CB=\beta}.$ Por tanto ${\gamma=\alpha+\beta},$ y de ${\alpha+\beta+\gamma=180^\circ}$ se obtiene ${\gamma=90^\circ}.$

Problemas resueltos

Problema 1. En el triángulo $ABC$ los lados son ${a=10}$ y ${b=c=13}.$ Halle las medianas $m_a$ y $m_b.$

Solución.

${m_a}={\frac12\sqrt{2\cdot 169+2\cdot 169-100}}={\frac12\sqrt{576}}={12},$

${m_b}={\frac12\sqrt{2\cdot 100+2\cdot 169-169}}={\frac12\sqrt{369}}={\frac{3\sqrt{41}}{2}}\approx{9{,}60}.$

Comprobemos $m_a$ de otra forma: el triángulo es isósceles de base $a,$ así que $m_a$ es también la altura sobre la base, ${\sqrt{13^2-5^2}=12}.$

Problema 2. Los catetos de un triángulo rectángulo son ${a=6}$ y ${b=8}.$ Halle la mediana sobre la hipotenusa y la mediana sobre el cateto $a.$

Solución. La hipotenusa mide ${c=10},$ así que ${m_c=5}.$ La mediana sobre el cateto $a$ une $A$ con el punto medio de $BC.$ Es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos $b$ y ${\frac a2},$ así que

${m_a}={\sqrt{b^2+\left(\frac a2\right)^2}}={\sqrt{64+9}}={\sqrt{73}}\approx{8{,}54}.$

La fórmula da lo mismo: ${\frac12\sqrt{2\cdot 64+2\cdot 100-36}}={\frac12\sqrt{292}}={\sqrt{73}}.$

Problema 3. La mediana $AA_1$ mide 15 cm. Halle $AG$ y $GA_1.$

Solución. ${AG=\frac23\cdot 15=10}$ cm y ${GA_1=\frac13\cdot 15=5}$ cm.

Problema 4. Halle el baricentro del triángulo de vértices ${A(1,\ 2)},$ ${B(5,\ 0)}$ y ${C(3,\ 7)}.$

Solución. ${G\left(\frac{1+5+3}{3},\ \frac{2+0+7}{3}\right)}={G(3,\ 3)}.$

Problema 5. El área del triángulo $ABC$ es 36 cm². Halle las áreas de los triángulos $ABA_1,$ $ABG$ y $GBA_1.$

Solución. ${S_{ABA_1}=\frac12\cdot 36=18},$ ${S_{ABG}=\frac13\cdot 36=12}$ y ${S_{GBA_1}=\frac16\cdot 36=6}$ (en cm²).

Problema 6. Las medianas de un triángulo miden ${m_a=9},$ ${m_b=12}$ y ${m_c=15}.$ Halle sus lados.

Solución.

${a}={\frac23\sqrt{2\cdot 144+2\cdot 225-81}}={\frac23\sqrt{657}}={2\sqrt{73}}\approx{17{,}09},$

${b}={\frac23\sqrt{2\cdot 81+2\cdot 225-144}}={\frac23\sqrt{468}}={4\sqrt{13}}\approx{14{,}42},$

${c}={\frac23\sqrt{2\cdot 81+2\cdot 144-225}}={\frac23\sqrt{225}}={10}.$

Problema 7. Demuestre que un triángulo con dos medianas iguales es isósceles.

Solución. Si ${m_a=m_b},$ entonces ${2b^2+2c^2-a^2}={2a^2+2c^2-b^2},$ de donde ${3b^2=3a^2}$ y ${a=b}.$

Errores frecuentes

Error	Incorrecto	Correcto
La razón contada desde el extremo equivocado	${AG:GA_1=1:2}$	${AG:GA_1=2:1};$ la parte mayor está junto al vértice
Confundir mediana y altura	La mediana es perpendicular al lado opuesto	Esa es la altura. Una mediana es perpendicular a su lado solo cuando se traza sobre la base de un triángulo isósceles
Confundir mediana y bisectriz	La mediana desde $A$ divide por la mitad el ángulo $A$	Esa es la bisectriz. En un triángulo escaleno la mediana, la bisectriz y la altura desde un vértice son tres segmentos distintos
Un signo equivocado en la fórmula	${m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2+a^2}}$	${m_a=\frac12\sqrt{2b^2+2c^2-a^2}}$
La mediana sobre un cateto	Catetos 6 y 8, así que la mediana sobre el cateto 6 es su mitad, 3	${\sqrt{8^2+3^2}=\sqrt{73}};$ solo la mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de su lado

Ejercicios

Resuélvalos usted mismo y después abra la respuesta.

1. La mediana $AA_1$ mide 12. Halle $AG$ y $GA_1.$

${AG=8}$ y ${GA_1=4}.$

2. ${GA_1=3}.$ Halle la mediana $AA_1.$

${AA_1=3\cdot 3=9}$

3. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide 17. Halle la mediana sobre la hipotenusa.

${\frac{17}{2}=8{,}5}$

4. Los lados de un triángulo son ${a=8}$ y ${b=c=5}.$ Halle $m_a.$

${m_a}={\frac12\sqrt{50+50-64}}={\frac12\cdot 6}={3}.$ También es la altura sobre la base: ${\sqrt{25-16}=3}.$

5. Los lados de un triángulo miden 5, 6 y 7. Halle la mediana sobre el lado 6.

${\frac12\sqrt{2\cdot 25+2\cdot 49-36}}={\frac12\sqrt{112}}={2\sqrt7}\approx{5{,}29}$

6. Halle el baricentro del triángulo de vértices ${(0,\ 0)},$ ${(6,\ 0)}$ y ${(3,\ 9)}.$

${G(3,\ 3)}$

7. El área de un triángulo es 30. Halle el área de cada uno de los seis triángulos pequeños formados por sus medianas.

${30:6=5}$

8. Halle la mediana de un triángulo equilátero de lado 6 y la distancia del baricentro a un vértice.

${m=\frac{6\sqrt3}{2}=3\sqrt3\approx 5{,}20}$ y ${AG}={\frac23\cdot 3\sqrt3}={2\sqrt3}\approx{3{,}46}.$

9. Los lados de un triángulo miden 4, 5 y 6. Halle ${m_a^2+m_b^2+m_c^2}.$

${\frac34\,(16+25+36)}={\frac34\cdot 77}={57{,}75}$

10. En el triángulo $ABC$ la mediana ${m_c=5},$ el lado ${c=10}$ y el lado ${a=6}.$ Halle el lado $b.$

${m_c=\frac c2},$ así que ${\gamma=90^\circ}$ y ${b=\sqrt{10^2-6^2}=8}.$

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