Altura de un triángulo
La distancia entre un vértice de un triángulo y el lado opuesto es una altura. Formalmente, el segmento de línea más corto entre un vértice de un triángulo y el lado opuesto (posiblemente extendido).
Nota: Todo triángulo tiene 3 alturas que se cruzan en un punto llamado ortocentro.
Alturas de un triángulo agudo
El ortocentro es un punto interior del triángulo.
∠ AHB = 180 - γ = α + β
∠ BHC = 180 - α = β + γ
∠ AHC = 180 - β = α + γ
∠ AHHc = β, ∠ BHHc = α, ∠ BHHa = γ
Alturas de un triángulo obtuso
El ortocentro se encuentra fuera del triángulo.
Además dos de las alturas siempre se encuentran fuera del triángulo.
∠ AHHc = ∠ CBA = β
∠ HcHB = ∠ CAB = α
Triángulo rectángulo
La altura AHa coincide con AC.
La altura BHb coincide con BC.
El ortocentro H coincide con C.
∠ ACHc = β, ∠ BCHc =α
Fórmulas
$AH_a:BH_b:CH_c=\frac{1}{a}:\frac{1}{b}:\frac{1}{c}$
$\frac{a}{AH_a}=\frac{b}{BH_b}=\frac{c}{\frac{AH_aBH_b}{CH_c}}$
R - el radio de la circunferencia circunscrita
r - el radio de la circunferencia inscrita
p - es la mitad del perímetro: (a + b + c)/2
$AH_a=b \sen\gamma=c \sen\beta=\frac{a \sen\beta \sen\gamma}{\sen\alpha}=$
$=2R \sen\beta\ \sen\gamma=\frac{bc}{2R}=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}$
$BH_b=a\ \sen\gamma=c\ \sen\alpha=\frac{b\ \sen\alpha\ \sen\gamma}{\sen\beta}=$
$=2R\ \sen\alpha \sen \gamma=\frac{ac}{2R}=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{b}$
$CH_c=a\ \sen\beta=b\ \sen\alpha=\frac{c\ \sen\alpha\ \sen\beta}{\sen\gamma}=$
$=2R\ \sen\alpha \sen \beta=\frac{ab}{2R}=\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{c}$
$\frac{1}{AH_a}+\frac{1}{BH_b}+\frac{1}{CH_c}=\frac{1}{r}$