Altura de un triángulo

Una altura de un triángulo es el segmento perpendicular trazado desde un vértice hasta la recta que contiene el lado opuesto. El punto donde corta esa recta es el pie de la altura.

En la figura, $CC_1$ es la altura desde el vértice $C.$ Es perpendicular a $AB,$ y $C_1$ es su pie. Su longitud se escribe $h_c,$ la altura sobre el lado $c.$ Del mismo modo, $h_a$ y $h_b$ son las alturas sobre los lados $a$ y $b.$ Todo triángulo tiene tres alturas.

La altura es la distancia del vértice a la recta del lado opuesto: es el más corto de todos los segmentos que unen el vértice con esa recta. Por eso aparece en la fórmula del área

${S=\frac12\,a\,h_a=\frac12\,b\,h_b=\frac12\,c\,h_c}.$

En un triángulo acutángulo los tres pies están sobre los lados. En un triángulo obtusángulo dos de los pies están sobre las prolongaciones de los lados. Por eso la definición habla de la recta que contiene el lado.

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¿Dónde se cortan las alturas? El ortocentro

Las tres alturas de un triángulo, o las rectas que las contienen, se cortan en un punto. Ese punto es el ortocentro del triángulo y suele designarse con $H.$

La posición del ortocentro depende del tipo de triángulo.

Alturas de un triángulo acutángulo

Las tres alturas están dentro del triángulo, y el ortocentro $H$ es un punto interior. Dos hechos útiles sobre los ángulos:

• ${\angle BAA_1=90^\circ-\beta},$ porque el triángulo $ABA_1$ tiene un ángulo recto en $A_1.$ Del mismo modo ${\angle CAA_1=90^\circ-\gamma},$ ${\angle ABB_1=90^\circ-\alpha},$ etc.
• ${\angle AHB=180^\circ-\gamma},$ ${\angle BHC=180^\circ-\alpha}$ y ${\angle CHA=180^\circ-\beta}.$ En efecto, el cuadrilátero $CB_1HA_1$ tiene ángulos rectos en $A_1$ y $B_1,$ así que ${\angle A_1HB_1}={360^\circ-90^\circ-90^\circ-\gamma}={180^\circ-\gamma},$ y ${\angle AHB=\angle A_1HB_1}$ por ser opuestos por el vértice.

Alturas de un triángulo rectángulo

Sea ${\gamma=90^\circ}.$ Los catetos son perpendiculares, así que la altura desde $A$ es el cateto $AC$ y la altura desde $B$ es el cateto $BC.$ Ambas pasan por $C,$ de modo que el ortocentro es el vértice del ángulo recto: ${H=C}.$ Solo hay que trazar la tercera altura, $CC_1$ sobre la hipotenusa. Su longitud es ${h_c=\frac{ab}{c}}.$

Alturas de un triángulo obtusángulo

Sea obtuso el ángulo en $C.$ La altura desde $C$ está dentro del triángulo, pero las alturas desde $A$ y $B$ quedan fuera de él: sus pies $A_1$ y $B_1$ están sobre las prolongaciones de los lados $BC$ y $AC$ más allá de $C.$ Las alturas mismas no se cortan. Se cortan sus rectas, en el ortocentro $H,$ que queda fuera del triángulo, más allá del vértice del ángulo obtuso.

Un dato curioso: en esta figura $C$ es el ortocentro del triángulo $ABH.$ De los cuatro puntos $A,$ $B,$ $C$ y $H,$ cada uno es el ortocentro del triángulo formado por los otros tres.

Fórmulas de las alturas

Usamos la notación habitual: los lados $a,$ $b,$ $c,$ los ángulos $\alpha,$ $\beta,$ $\gamma,$ el área $S,$ el semiperímetro ${p=\frac{a+b+c}{2}},$ el radio $R$ de la circunferencia circunscrita y el radio $r$ de la inscrita.

Datos	Fórmula	De dónde sale
El área y el lado	${h_a=\frac{2S}{a}}$	${S=\frac12\,a\,h_a}$
Los tres lados	${h_a}={\frac{2\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}}{a}}$	la fórmula de Herón para el área
Un lado y un ángulo	${h_a=b\operatorname{sen}\gamma=c\operatorname{sen}\beta}$	los triángulos rectángulos $AA_1C$ y $AA_1B$
Dos lados y $R$	${h_a=\frac{bc}{2R}}$	${S=\frac{abc}{4R}}$

Las fórmulas para $h_b$ y $h_c$ se obtienen cambiando las letras, por ejemplo ${h_c}={\frac{2S}{c}}={a\operatorname{sen}\beta}={b\operatorname{sen}\alpha}={\frac{ab}{2R}}.$

Alturas y lados

Otra relación une las alturas con el radio de la circunferencia inscrita:

${\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac1r}.$

En efecto, ${\frac{1}{h_a}=\frac{a}{2S}},$ así que la suma es ${\frac{a+b+c}{2S}=\frac{2p}{2S}=\frac{p}{S}=\frac1r},$ porque ${S=p\,r}.$

Alturas de triángulos especiales

• Triángulo equilátero de lado $a.$ Las tres alturas son iguales, ${h=\frac{a\sqrt3}{2}}.$
• Triángulo isósceles con lados iguales $b$ y base $c.$ La altura sobre la base es ${h_c=\sqrt{b^2-\frac{c^2}{4}}};$ también es mediana y bisectriz. Las alturas sobre los lados iguales son iguales.
• Triángulo rectángulo con catetos $a,$ $b$ e hipotenusa $c.$ Dos de las alturas son los catetos, y la altura sobre la hipotenusa es ${h_c=\frac{ab}{c}}.$ Divide la hipotenusa en los segmentos ${m=AC_1}$ y ${n=C_1B},$ y ${h_c^2=m\cdot n}$ (en la página Triángulos el pie $C_1$ se llama $H$).

Problemas resueltos

Problema 1. Halle las tres alturas del triángulo de lados 13, 14 y 15.

Solución. ${p=21}$ y, por la fórmula de Herón, ${S=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84}.$ Entonces

${h_{13}=\frac{168}{13}\approx 12{,}92},$ ${h_{14}=\frac{168}{14}=12},$ ${h_{15}=\frac{168}{15}=11{,}2}.$

Como era de esperar, la altura mayor corresponde al lado menor.

Problema 2. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 6 cm y 8 cm. Halle la altura sobre la hipotenusa.

Solución. ${c=\sqrt{36+64}=10}$ cm, así que ${h_c=\frac{6\cdot 8}{10}=4{,}8}$ cm.

Problema 3. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 10 cm y la base 12 cm. Halle la altura sobre la base y la altura sobre uno de los lados iguales.

Solución. La altura sobre la base mide ${\sqrt{10^2-6^2}=8}$ cm, así que el área es ${\frac12\cdot 12\cdot 8=48}$ cm². La altura sobre un lado igual mide ${\frac{2S}{10}=\frac{96}{10}=9{,}6}$ cm.

Problema 4. En un triángulo acutángulo ${\alpha=70^\circ}$ y ${\beta=60^\circ}.$ Las alturas $AA_1$ y $BB_1$ se cortan en $H.$ Halle ${\angle AHB}$ y ${\angle BAA_1}.$

Solución. ${\gamma}={180^\circ-70^\circ-60^\circ}={50^\circ},$ así que ${\angle AHB}={180^\circ-50^\circ}={130^\circ}.$ En el triángulo rectángulo $ABA_1$ se obtiene ${\angle BAA_1}={90^\circ-60^\circ}={30^\circ}.$

Problema 5. Dos lados de un triángulo miden 8 cm y 12 cm, y la altura sobre el lado de 8 cm mide 6 cm. Halle la altura sobre el lado de 12 cm.

Solución. ${2S=8\cdot 6=48},$ así que la altura sobre el lado de 12 cm mide ${\frac{48}{12}=4}$ cm.

Problema 6. En el triángulo $ABC$ el lado ${b=10}$ cm y ${\gamma=30^\circ}.$ Halle la altura $h_a.$

Solución. ${h_a}={b\operatorname{sen}\gamma}={10\cdot\frac12}={5}$ cm.

Problema 7. Los lados de un triángulo están en la razón ${3:4:6}.$ Halle la razón de sus alturas.

Solución. ${h_a:h_b:h_c=\frac13:\frac14:\frac16}.$ Multiplicando por 12 se obtiene ${4:3:2}.$

Errores frecuentes

Error	Incorrecto	Correcto
La altura siempre está dentro del triángulo	El pie de toda altura está sobre un lado	En un triángulo obtusángulo dos de los pies están sobre las prolongaciones de los lados
Confundir altura y mediana	La altura va al punto medio del lado opuesto	Esa es la mediana. Solo coinciden para la altura sobre la base de un triángulo isósceles
La altura mayor sobre el lado mayor	Lados 5, 12, 13: la altura mayor es la del lado 13	${a\,h_a=2S}$ es igual para todos los lados, así que la altura mayor corresponde al lado menor, 5
La altura sobre la hipotenusa tomada como la mitad de la hipotenusa	Catetos 6 y 8, así que ${h_c=\frac{10}{2}=5}$	La mitad de la hipotenusa es la mediana. La altura es ${h_c=\frac{6\cdot 8}{10}=4{,}8}$
El ortocentro de un triángulo rectángulo	Es el punto medio de la hipotenusa	Es el vértice del ángulo recto. El punto medio de la hipotenusa es el centro de la circunferencia circunscrita

Ejercicios

Resuélvalos usted mismo y después abra la respuesta.

1. Un lado de un triángulo mide 10 cm y la altura sobre él 7 cm. Halle el área.

${S=\frac12\cdot 10\cdot 7=35}$ cm²

2. El área de un triángulo es 24 cm² y un lado mide 8 cm. Halle la altura sobre ese lado.

${h=\frac{2\cdot 24}{8}=6}$ cm

3. Halle la altura de un triángulo equilátero de lado 4 cm.

${h=\frac{4\sqrt3}{2}=2\sqrt3\approx 3{,}46}$ cm

4. Los catetos de un triángulo rectángulo miden 5 y 12. Halle la altura sobre la hipotenusa.

${c=13},$ así que ${h=\frac{5\cdot 12}{13}=\frac{60}{13}\approx 4{,}62}.$

5. Los lados iguales de un triángulo isósceles miden 5 cm y la base 8 cm. Halle la altura sobre la base y la altura sobre un lado igual.

La altura sobre la base mide ${\sqrt{25-16}=3}$ cm y ${S=\frac12\cdot 8\cdot 3=12}$ cm². La altura sobre un lado igual mide ${\frac{2\cdot 12}{5}=4{,}8}$ cm.

6. ¿Dónde está el ortocentro de un triángulo obtusángulo?

Fuera del triángulo, más allá del vértice del ángulo obtuso.

7. En un triángulo acutángulo ${\angle AHB=110^\circ},$ donde $H$ es el ortocentro. Halle el ángulo $\gamma.$

${\angle AHB=180^\circ-\gamma},$ así que ${\gamma=70^\circ}.$

8. Dos lados de un triángulo miden 6 y 8, y la altura sobre el lado 6 mide 4. Halle la altura sobre el lado 8.

${2S=6\cdot 4=24},$ así que la altura mide ${\frac{24}{8}=3}.$

9. Halle la altura menor del triángulo de lados 7, 8 y 9.

${p=12}$ y ${S}={\sqrt{12\cdot 5\cdot 4\cdot 3}}={12\sqrt5}.$ La altura menor corresponde al lado mayor: ${h=\frac{24\sqrt5}{9}=\frac{8\sqrt5}{3}\approx 5{,}96}.$

10. La altura sobre la hipotenusa la divide en segmentos de 4 y 9. Halle la altura.

${h^2=4\cdot 9=36},$ así que ${h=6}.$

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