Problemas sobre progresiones - problemas y soluciones

Solución:
Sabemos que [tex]2b=1+c[/tex] y [tex]b^2=1.(c+1)=1+c=2b[/tex]. Por lo tanto o [tex]b=0[/tex] o [tex]b=2[/tex]. Pero 0 no puede ser un término de una progresión geométrica, por lo que la única opción que queda es [tex]b=2[/tex]. Entonces la progresión aritmética es [tex]1,2,c[/tex] o [tex]1+c=2\cdot 2[/tex] => [tex]c=3[/tex].

Solución:
La suma es [tex]a-1+b+2+c+13=(a+b+c)-1+2+13=341-1+15=355[/tex].

Solución:
Dado que [tex]a,1,b[/tex] es una progresión aritmética, [tex]a+b=2[/tex], por lo tanto [tex]b=2-a[/tex]. De acuerdo a las propiedades de una progresión geométrica, obtenemos [tex]a^2=b=2-a[/tex]
[tex]a^2+a-2=0[/tex]: [tex]a_1=1[/tex] o [tex]a_2=-2[/tex]. Pero la progresión aritmética no es constante, por lo tanto [tex]a \ne 1[/tex], o sea que a debe ser -2.
[tex]b=2-a=2-(-2)=4[/tex].

Solución:
Por la propiedad de la progresión geométrica, obtenemos
[tex]a.b=9.243=3^2.3^5=3^7[/tex]. También sabemos que [tex]\frac{a}{9}=\frac{b}{a}[/tex], o [tex]\frac{a^2}{9}=b[/tex] Substituyendo en la ecuación anterior, obtenemos [tex]\frac{a^3}{9}=3^7[/tex], o [tex]a^3=3^9[/tex], lo que quiere decir que [tex]a=3^3=27[/tex]. Entonces [tex]b=\frac{a^2}{9}=81[/tex] y su media aritmética es [tex]\frac{27+81}{2}=\frac{108}{2}=54[/tex].

Solución:
Por la propiedad media de la progresión aritmética, tenemos [tex] 3 + a = 2.9 [/tex], o [tex] a = 15 [/tex]. La progresión geométrica se convierte en [tex] 5,15, b [/tex]. Por su propiedad media, [tex] b.5 = 15 ^ 2 = 225 [/tex], o [tex] b = \frac{225}{5}=45 [/tex].

Solución:
Por la propiedad media de la progresión geométrica, tenemos [tex] 2x = 4^2 [/tex], o [tex] x = 8 [/tex]. Por la propiedad media de la progresión aritmética, tenemos [tex] 3 + y = 2x = 2.8 = 16 [/tex], así que [tex] y = 16-3 = 13 [/tex].