Problemas sobre progresiones - problemas y soluciones

Solución:
Sabemos que [tex]2b=1+c[/tex] y [tex]b^2=1 \times (c+1)=1+c=2b[/tex]. Por lo tanto o [tex]b=0[/tex] o [tex]b=2[/tex]. Pero 0 no puede ser un término de una progresión geométrica, por lo que la única opción que queda es [tex]b=2[/tex]. Entonces la progresión aritmética es [tex]1,2,c[/tex] o [tex]1+c=2\cdot 2[/tex] => [tex]c=3[/tex].

Solución:
La suma es [tex]a-1+b+2+c+13=(a+b+c)-1+2+13=341-1+15=355[/tex].

Solución:
Dado que [tex]a,1,b[/tex] es una progresión aritmética, [tex]a+b=2[/tex], por lo tanto [tex]b=2-a[/tex]. De acuerdo a las propiedades de una progresión geométrica, obtenemos [tex]a^2=b=2-a[/tex]
[tex]a^2+a-2=0[/tex]: [tex]a_1=1[/tex] o [tex]a_2=-2[/tex]. Pero la progresión aritmética no es constante, por lo tanto [tex]a \ne 1[/tex], o sea que [tex]a[/tex] debe ser [tex]-2[/tex].
[tex]b=2-a=2-(-2)=4[/tex].

Solución:
Por la propiedad de la progresión geométrica, obtenemos
[tex]a \times b=9 \times 243=3^2 \times 3^5=3^7[/tex]. También sabemos que [tex]\frac{a}{9}=\frac{b}{a}[/tex], o [tex]\frac{a^2}{9}=b[/tex] Substituyendo en la ecuación anterior, obtenemos [tex]\frac{a^3}{9}=3^7[/tex], o [tex]a^3=3^9[/tex], lo que quiere decir que [tex]a=3^3=27[/tex]. Entonces [tex]b=\frac{a^2}{9}=81[/tex] y su media aritmética es [tex]\frac{27+81}{2}=\frac{108}{2}=54[/tex].

Solución:
Por la propiedad media de la progresión aritmética, tenemos [tex] 3 + a = 2 \times 9 [/tex], o [tex] a = 15 [/tex]. La progresión geométrica se convierte en [tex] 5,15, b [/tex]. Por su propiedad media, [tex] b \times 5 = 15^2 = 225 [/tex], o [tex] b = \frac{225}{5}=45 [/tex].

Solución:
Por la propiedad media de la progresión geométrica, tenemos [tex] 2x = 4^2 [/tex], o [tex] x = 8 [/tex]. Por la propiedad media de la progresión aritmética, tenemos [tex] 3 + y = 2x = 2 \times 8 = 16 [/tex], así que [tex] y = 16-3 = 13 [/tex].

Solución:
En una progresión aritmética [tex]a_{m}+a_{n}=a_{k}+a_{l}[/tex] siempre que [tex]m+n=k+l[/tex]. Aquí los índices se agrupan en parejas de suma [tex]10[/tex]:
[tex]a_{1}+a_{9}=a_{2}+a_{8}=a_{3}+a_{7}=a_{4}+a_{6}=21[/tex]
[tex]4\times 21=84[/tex]

Solución:
Sean los números [tex]a; b; c[/tex]. De la progresión aritmética, [tex]2b=a+c[/tex], así que
[tex]3b=9\Rightarrow b=3; a+c=6[/tex]
De la progresión geométrica, [tex]ac=b^{2}=9[/tex], así que [tex]a[/tex] y [tex]c[/tex] son las raíces de [tex]t^{2}-6t+9=0[/tex], es decir, [tex]a=c=3[/tex].

Solución:
De la progresión aritmética, [tex]a+c=2\times 4=8[/tex].
De la progresión geométrica, [tex]4^{2}=a(a+c)=8a\Rightarrow a=2[/tex].
Comprobación: [tex]2; 4; 6[/tex] es una progresión aritmética y [tex]2; 4; 8[/tex], una geométrica.

Solución:
Sean los números [tex]a; b; c[/tex] con [tex]a+b+c=35; b^{2}=ac[/tex]. La progresión aritmética da
[tex]2b=(a-1)+(c-4)=a+c-5=30-b\Rightarrow b=10[/tex]
Entonces [tex]a+c=25; ac=100[/tex], así que los números son [tex]5; 10; 20[/tex] (o [tex]20; 10; 5[/tex]) y la suma pedida es [tex]5+20=25[/tex].

Solución:
De [tex]1990[/tex] a [tex]2006[/tex] pasan [tex]16[/tex] años.
El modelo A es una progresión aritmética: la población aumenta [tex]8[/tex] veces en [tex]100[/tex] y llega a [tex]1000+8\times 100=1800[/tex].
El modelo B es una progresión geométrica de razón [tex]0{,} 95[/tex]: la población llega a [tex]1000\times 0{,} 95^{16}\approx 440{,} 13[/tex].
[tex]1800-440{,} 13=1359{,} 87\approx 1360[/tex]

Solución:
Sean los números [tex]a; a+d; a+2d; a+3d[/tex]. Si [tex]d=0[/tex], entonces [tex]q=1\ne d[/tex], así que [tex]d\ne 0[/tex].
La progresión geométrica da [tex](a+d)^{2}=a(a+3d)\iff d^{2}=ad\iff a=d[/tex].
[tex]q=\dfrac{a+d}{a}=2=d\Rightarrow a=d=2[/tex]
Los números son [tex]2; 4; 6; 8[/tex].

Solución:
Sea [tex]CD=a; BC=a+d; AD=a+2d; AB=a+3d[/tex]; como [tex]AB\ne CD[/tex], [tex]d\ne 0[/tex]. El perímetro da [tex]4a+6d=18[/tex].
La altura es [tex]BC[/tex] y la proyección de [tex]AD[/tex] sobre [tex]AB[/tex] es [tex]AB-CD=3d[/tex], así que
[tex](a+2d)^{2}=(a+d)^{2}+9d^{2}\iff 2ad=6d^{2}\iff a=3d[/tex]
[tex]18d=18\Rightarrow d=1; a=3[/tex]
Los lados son [tex]CD=3; BC=4; AD=5; AB=6[/tex].

Solución:
El cuarto término de la sucesión es [tex]S_{4}-S_{3}=15-7=8[/tex], así que [tex]b=8[/tex].
Una raíz es [tex]0[/tex]; las otras dos son raíces de [tex]x^{2}+ax+8=0[/tex]. Las raíces son no negativas y distintas, así que son [tex]0; r; 2r[/tex] con [tex]r\gt 0[/tex]. Por las fórmulas de Vieta,
[tex]r\times 2r=8\Rightarrow r=2; a=-(r+2r)=-6[/tex]