Inequaciones trigonométricas - problemas y soluciones

Solución:
En cada cuadrante observamos la circunferencia unitaria y comparamos los signos y los tamaños de las tres funciones.



Siempre que [tex]\tan x[/tex] esté definida,
[tex]\sen x\cdot\cos x=\dfrac{\sen x}{\cos x}\cdot\cos^{2}x=\tan x\cdot\cos^{2}x[/tex],
y dentro de cualquier cuadrante [tex]0\lt \cos^{2}x<1[/tex].

Cuadrante I: [tex]\tan x>0[/tex]. Un número positivo multiplicado por [tex]\cos^{2}x<1[/tex] se hace más pequeño, así que [tex]\sen x\cdot\cos x\lt \tan x[/tex]. No se cumple.

Cuadrante II: [tex]\sen x>0[/tex] y [tex]\cos x<0[/tex], luego [tex]\tan x<0[/tex]. Un número negativo multiplicado por [tex]\cos^{2}x<1[/tex] se acerca a 0, es decir, se hace mayor, así que [tex]\sen x\cdot\cos x>\tan x[/tex]. Se cumple.



Cuadrante III: [tex]\sen x<0[/tex] y [tex]\cos x<0[/tex], luego [tex]\tan x>0[/tex] y, como en el cuadrante I, [tex]\sen x\cdot\cos x\lt \tan x[/tex]. No se cumple.

Cuadrante IV: [tex]\sen x<0[/tex] y [tex]\cos x>0[/tex], luego [tex]\tan x<0[/tex] y, como en el cuadrante II, [tex]\sen x\cdot\cos x>\tan x[/tex]. Se cumple.

Respuesta: en los cuadrantes II y IV.

Solución:
La fracción solo está definida donde [tex]\tan x[/tex] existe y no es 0, es decir, [tex]x\neq 0,\ \dfrac{\pi}{2},\ \pi,\ \dfrac{3\pi}{2},\ 2\pi[/tex].

Como [tex]\cos x\le 1[/tex], el numerador nunca es positivo: [tex]\cos x-1\le 0[/tex], y vale 0 solo para [tex]x=0[/tex] y [tex]x=2\pi[/tex], que ya están excluidos. Por lo tanto, en el dominio el numerador es negativo.

Una fracción con numerador negativo es positiva exactamente cuando su denominador es negativo:
[tex]\dfrac{\cos x-1}{\tan x}>0\Longleftrightarrow \tan x<0[/tex]

La tangente es negativa en los cuadrantes II y IV (ver la figura debajo):
[tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)[/tex] o [tex]x\in\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)[/tex]

Respuesta: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)\cup\left(\dfrac{3\pi}{2},2\pi\right)[/tex]

Solución:
[tex]\sen x-\dfrac{1}{2}>0\Longleftrightarrow \sen x>\dfrac{1}{2}[/tex]

Trazamos las gráficas de [tex]y_{1}=\sen x[/tex] y [tex]y_{2}=\dfrac{1}{2}[/tex] (ver la figura debajo).

Las gráficas se cortan donde [tex]\sen x=\dfrac{1}{2}[/tex], es decir, en [tex]x=\dfrac{\pi}{6}[/tex] y [tex]x=\dfrac{5\pi}{6}[/tex].

Entre estos dos puntos la sinusoide está por encima de la recta [tex]y=\dfrac{1}{2}[/tex]; para [tex]x\in\left[0,\dfrac{\pi}{6}\right]\cup\left[\dfrac{5\pi}{6},2\pi\right][/tex] no lo está.

Respuesta: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{5\pi}{6}\right)[/tex]

Solución:
[tex]\cos x+\dfrac{1}{3}\ge 0\Longleftrightarrow \cos x\ge -\dfrac{1}{3}[/tex]

Trazamos las gráficas de [tex]y_{1}=\cos x[/tex] y [tex]y_{2}=-\dfrac{1}{3}[/tex] en [tex]\left[0,2\pi\right][/tex] (ver la figura debajo).

Las gráficas se cortan donde [tex]\cos x=-\dfrac{1}{3}[/tex]. Como [tex]\cos\left(\pi-t\right)=\cos\left(\pi+t\right)=-\cos t[/tex], las soluciones de esta ecuación en [tex]\left[0,2\pi\right][/tex] son
[tex]x_{1}=\pi-\arccos\dfrac{1}{3}\approx 1{,}91[/tex] y [tex]x_{2}=\pi+\arccos\dfrac{1}{3}\approx 4{,}37[/tex]

La cosenoide está sobre la recta [tex]y=-\dfrac{1}{3}[/tex] o por encima de ella desde [tex]0[/tex] hasta [tex]x_{1}[/tex] y desde [tex]x_{2}[/tex] hasta [tex]2\pi[/tex].

Respuesta: [tex]x\in\left[0,\ \pi-\arccos\dfrac{1}{3}\right]\cup\left[\pi+\arccos\dfrac{1}{3},\ 2\pi\right][/tex]

Solución:
[tex]8\left|\tan x\right|-1<0\Longleftrightarrow \left|\tan x\right|\lt \dfrac{1}{8}\Longleftrightarrow -\dfrac{1}{8}\lt \tan x\lt \dfrac{1}{8}[/tex]

Trazamos las gráficas de [tex]y_{1}=\left|\tan x\right|[/tex] y [tex]y_{2}=\dfrac{1}{8}[/tex] (ver la figura debajo).

En el intervalo [tex]\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)[/tex] la tangente es creciente, y [tex]\tan x=\pm\dfrac{1}{8}[/tex] para [tex]x=\pm\arctan\dfrac{1}{8}[/tex] (la arcotangente es una función impar, así que [tex]\arctan\left(-\dfrac{1}{8}\right)=-\arctan\dfrac{1}{8})[/tex].

Por lo tanto, en este intervalo la solución es [tex]x\in\left(-\arctan\dfrac{1}{8},\arctan\dfrac{1}{8}\right)[/tex].

El periodo de la tangente es [tex]\pi[/tex], así que sumamos [tex]k\pi[/tex].

Respuesta: [tex]x\in\left(-\arctan\dfrac{1}{8}+k\pi,\ \arctan\dfrac{1}{8}+k\pi\right),\ k\in\mathbb{Z}[/tex]

Solución:
Como [tex]-1\le\sen 2x\le 1[/tex], el denominador cumple [tex]0\le 1-\sen 2x\le 2[/tex], así que nunca es negativo.

El denominador vale 0 cuando [tex]\sen 2x=1[/tex], es decir, [tex]2x=\dfrac{\pi}{2}+2k\pi[/tex], [tex]x=\dfrac{\pi}{4}+k\pi[/tex]. En [tex]\left(0,2\pi\right][/tex] son [tex]x=\dfrac{\pi}{4}[/tex] y [tex]x=\dfrac{5\pi}{4}[/tex], que hay que excluir.

En todos los demás puntos el denominador es positivo, así que la fracción es negativa exactamente cuando el numerador es negativo:
[tex]\cos x<0\Longleftrightarrow x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex]

De este intervalo quitamos [tex]x=\dfrac{5\pi}{4}[/tex] ([tex]\dfrac{\pi}{4}[/tex] de todos modos no está en él).

Respuesta: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)\setminus\left\{\dfrac{5\pi}{4}\right\}[/tex], es decir, [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex]

Solución:
Desarrollamos el lado izquierdo con la fórmula del seno de una diferencia:
[tex]\sen\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=\sen x\cos\dfrac{\pi}{3}-\cos x\,\sen\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}\sen x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x[/tex]

Así, la inecuación queda
[tex]\dfrac{1}{2}\sen x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x>\sen x[/tex]
Multiplicamos por 2:
[tex]\sen x-\sqrt{3}\cos x>2\sen x[/tex]
[tex]\sen x+\sqrt{3}\cos x<0[/tex]

Como [tex]\sen x+\sqrt{3}\cos x=2\left(\dfrac{1}{2}\sen x+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\sen\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex], obtenemos
[tex]\sen\left(x+\dfrac{\pi}{3}\right)<0[/tex]

Para [tex]x\in\left[0,2\pi\right][/tex] tenemos [tex]x+\dfrac{\pi}{3}\in\left[\dfrac{\pi}{3},\dfrac{7\pi}{3}\right][/tex], y en este rango el seno es negativo solo para [tex]x+\dfrac{\pi}{3}\in\left(\pi,2\pi\right)[/tex].

Por lo tanto, [tex]x\in\left(\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right)[/tex].

Respuesta: [tex]x\in\left(\dfrac{2\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right)[/tex]

Solución:
Como el punto [tex]\left(p,q\right)[/tex] pertenece a la circunferencia, [tex]p^{2}+q^{2}=r^{2}[/tex], así que existe un ángulo [tex]\theta[/tex] tal que
[tex]p=r\cos\theta,\quad q=r\sen\theta[/tex] (ver la figura).



Dividimos la inecuación entre [tex]r>0[/tex]:
[tex]\cos\theta\,\sen x-\sen\theta\cos x>\dfrac{1}{2}\Longleftrightarrow \sen\left(x-\theta\right)>\dfrac{1}{2}[/tex]

Por lo tanto,
[tex]x-\theta\in\left(\dfrac{\pi}{6}+2n\pi,\ \dfrac{5\pi}{6}+2n\pi\right),\quad n\in\mathbb{Z}[/tex]
[tex]x\in\left(\theta+\dfrac{\pi}{6}+2n\pi,\ \theta+\dfrac{5\pi}{6}+2n\pi\right)[/tex]

Comparando con [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{3},\pi\right)[/tex]: [tex]\theta+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{3}[/tex] y [tex]\theta+\dfrac{5\pi}{6}=\pi[/tex], de donde [tex]\theta=\dfrac{\pi}{6}[/tex] (salvo un múltiplo de [tex]2\pi)[/tex].

Entonces
[tex]\dfrac{p}{q}=\dfrac{r\cos\theta}{r\sen\theta}=\cot\theta=\cot\dfrac{\pi}{6}=\sqrt{3}[/tex]

Respuesta: [tex]\dfrac{p}{q}=\sqrt{3}[/tex]

Solución:
En la circunferencia unitaria, [tex]\sen x[/tex] es la ordenada del punto que corresponde a [tex]x[/tex]. Trazamos la recta horizontal [tex]y=\dfrac{1}{2}[/tex]; corta la circunferencia en los puntos [tex]M_{0}[/tex] y [tex]M_{1}[/tex].



Estos puntos corresponden a las soluciones de [tex]\sen x=\dfrac{1}{2}[/tex]:
[tex]x=\dfrac{\pi}{6}+2n\pi[/tex] o [tex]x=\dfrac{5\pi}{6}+2n\pi,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

La inecuación se cumple en los puntos del arco [tex]M_{0}BM_{1}[/tex], que está sobre la recta o por encima de ella, recorriéndolo en sentido antihorario desde [tex]M_{0}[/tex] hasta [tex]M_{1}[/tex].

Respuesta: [tex]x\in\left[\dfrac{\pi}{6}+2n\pi,\ \dfrac{5\pi}{6}+2n\pi\right],\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Solución:
Trazamos las gráficas de [tex]f(x)=\cos x[/tex] y [tex]g(x)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex] en el intervalo [tex]\left[0,2\pi\right][/tex].



Las gráficas se cortan donde [tex]\cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}[/tex], es decir, en [tex]x=\dfrac{\pi}{4}[/tex] y [tex]x=\dfrac{7\pi}{4}[/tex].

En la gráfica se ve que [tex]f(x)\ge g(x)[/tex] (las partes sombreadas) para
[tex]x\in\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{4},2\pi\right][/tex]

Respuesta: [tex]x\in\left[0,\dfrac{\pi}{4}\right]\cup\left[\dfrac{7\pi}{4},2\pi\right][/tex]

Solución:
Usamos [tex]\sen 2x=2\sen x\cos x[/tex] y obtenemos
[tex]2\sen x\cos x-6\cos x>0[/tex]
[tex]2\cos x\left(\sen x-3\right)>0[/tex]

Como [tex]\sen x\le 1[/tex], el factor [tex]\sen x-3[/tex] siempre es negativo. Por eso el producto es positivo exactamente cuando [tex]\cos x<0[/tex].

Esto coincide con las gráficas de [tex]f(x)=\sen 2x[/tex] y [tex]g(x)=6\cos x[/tex] en [tex]\left[0,2\pi\right][/tex]: [tex]f(x)>g(x)[/tex] para [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2},\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex].



Ambas funciones se repiten cada [tex]2\pi[/tex], así que la solución también se repite cada [tex]2\pi[/tex].

Respuesta: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{2}+2n\pi,\ \dfrac{3\pi}{2}+2n\pi\right),\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Solución:
La tangente tiene periodo [tex]\pi[/tex], así que basta con resolver la inecuación en un periodo, [tex]\left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)[/tex], y después sumar [tex]n\pi[/tex].

En este intervalo la tangente es creciente, [tex]\tan\dfrac{\pi}{4}=1[/tex] y [tex]\tan x\to+\infty[/tex] cuando [tex]x\to\dfrac{\pi}{2}[/tex]. Por lo tanto, [tex]\tan x\ge 1[/tex] ⇔ [tex]x\in\left[\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{2}\right)[/tex]. El punto [tex]\dfrac{\pi}{2}[/tex] se excluye porque [tex]\tan\dfrac{\pi}{2}[/tex] no está definida.

En la circunferencia unitaria (ver la figura debajo) son los puntos del arco desde [tex]\dfrac{\pi}{4}[/tex] hasta [tex]\dfrac{\pi}{2}[/tex] y, un periodo después, desde [tex]\dfrac{5\pi}{4}[/tex] hasta [tex]\dfrac{3\pi}{2}[/tex].

Respuesta: [tex]x\in\left[\dfrac{\pi}{4}+n\pi,\ \dfrac{\pi}{2}+n\pi\right),\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Solución:
Observamos las gráficas de [tex]f(x)=\sen x[/tex] y [tex]g(x)=\cos x[/tex] y primero hallamos sus puntos de intersección:
[tex]\sen x=\cos x\Longleftrightarrow \tan x=1[/tex] (podemos dividir entre [tex]\cos x[/tex]: si [tex]\cos x=0[/tex], entonces [tex]\sen x=\pm 1\neq\cos x)[/tex].

En [tex]\left[0,2\pi\right][/tex] esto da [tex]x_{1}=\dfrac{\pi}{4}[/tex], [tex]x_{2}=\dfrac{5\pi}{4}[/tex].



En la figura se ve que [tex]f(x)>g(x)[/tex] (la región sombreada) para [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right)[/tex].

Respuesta: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{4}\right)[/tex]

Solución:
Trazamos las gráficas de [tex]f(x)=\sqrt{3}\cos x[/tex] y [tex]g(x)=1+\sen x[/tex] en [tex]\left[0,2\pi\right][/tex] y buscamos sus puntos de intersección [tex]x_{1}[/tex] y [tex]x_{2}[/tex].



[tex]f(x)=g(x)\Longleftrightarrow \sqrt{3}\cos x=1+\sen x\Longleftrightarrow \sen x-\sqrt{3}\cos x=-1[/tex]

Como [tex]\sen x-\sqrt{3}\cos x=2\left(\dfrac{1}{2}\sen x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos x\right)=2\sen\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)[/tex],
[tex]\sen\left(x-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{1}{2}[/tex]

Para [tex]x\in\left(0,2\pi\right)[/tex] tenemos [tex]x-\dfrac{\pi}{3}\in\left(-\dfrac{\pi}{3},\dfrac{5\pi}{3}\right)[/tex], así que
[tex]x-\dfrac{\pi}{3}=-\dfrac{\pi}{6}[/tex] o [tex]x-\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{7\pi}{6}[/tex]
[tex]x_{1}=\dfrac{\pi}{6},\quad x_{2}=\dfrac{3\pi}{2}[/tex]

En la figura se ve que [tex]f(x)\lt g(x)[/tex] entre [tex]x_{1}[/tex] y [tex]x_{2}[/tex] (comprobación: en [tex]x=\pi[/tex] se obtiene [tex]-\sqrt{3}<1)[/tex].

Respuesta: [tex]x\in\left(\dfrac{\pi}{6},\dfrac{3\pi}{2}\right)[/tex]