Inequaciones trigonometricás - problemas y soluciones

Solución:
En cada uno de los cuadrantes trazamos las gráficas

En el Cuadrante I se observa que

$SenxCosx>tgx$ equivale a

(decimal (+)menor que1) × (decimal (+)menor que1) < (decimal (+)),

de modo que el producto $Senx \cdot Cosx$ es (+) pero menor que $tgx$
que también es (+) debido al criterio de comparación de números decimales positivos.

Conclusión: No se cumple $Senx.Cosx>tgx$

En el Cuadrante II se observa que $SenxCosx>\tan x$ equivale a
(decimal (+)menor que1) × (decimal (-)menor que1) > (decimal (-)),

de modo que el producto $SenxCosx$ es (-) pero más grande que $tgx$ que también es (-) debido al criterio de comparación de números negativos.

Conclusión: Se cumple $SenxCosx>tgx$



En el Cuadrante III se observa que

$SenxCosx>tgx$ equivale a
(decimal (-)menor que 0) × (decimal (+)menor que1) < (decimal (+)),

de modo que el producto $SenxCosx$ es (-) y $tgx$ es (+).

Conclusión: No se cumple $SenxCosx>\tan x$
En el Cuadrante IV se observa que
$SenxCosx>tgx$ equivale a

(decimal (-)menor que 0).(decimal (+)menor que1) > (decimal (-)),
de modo que el producto $SenxCosx$ es (-) pero más grande que $tgx$
que también es (-) debido al criterio de comparación de números negativos.

Conclusión: Se cumple $Senx Cosx>\tan x$

La respuesta es:
La expresion $SenxCosx>\tan x$ se cumple en los cuadrantes II y IV.

Solución:
Para resolver esta inecuación bastará con analizar el comportamiento de las expresiones según los cuadrantes del círculo trigonométrico.
$\frac{Cosx-1}{\tan x}>0$ $\Longrightarrow Cosx-1<0$ y $\tan x$

puesto que $Cosx-1<0$ si $Cosx<0$

esto solo ocurre en el cuadrante II es decir cuando $x\in \left( \frac{\pi}{2},\pi \right)$

Observamos que $Cosx-1<0$ es decir Cos x es (+) pero
Cos x < 1 (por definición del coseno) y que tan x es (-)
precisamente en el cuadrante IV. Es decir cuando $x\in \left( \frac{3\pi }{2},2\pi \right) $

Luego el conjunto solución es: $x\in \left( \frac{\pi }{2},\pi \right)\cup \left( \frac{3\pi}{2},2\pi \right) $

Solución:
$Senx-\frac{1}{2}>0\Longrightarrow Senx>\frac{1}{2}$ hacemos las gráficas de $y_{1}=Senx\qquad y_{2}=\frac{1}{2}$



La intersección ocurre cuando $x=\frac{\pi }{6}$ y $x=\frac{5\pi }{6}$

Así que la solución posible a la inecuación dada es $\frac{\pi }{6} < x < \frac{5\pi }{6}$

Solución:
Hacemos las gráficas de $y_{1}=Cosx\qquad y_{2}=-\frac{1}{3}$



Para intersecar $y_{1}$ y $y_{2}$ se tiene que $Cosx=-\frac{1}{3}\Longrightarrow x=ar\cos \left( -\frac{1}{3}\right)$

y como coseno es una función par tenemos que $x=\pm ar\cos \left( \frac{1}{3}\right) $

De modo que el intervalo que representa la solución principal de la inecuación $Cosx+\frac{1}{3}\geq 0$ es $-ar\cos \left( \frac{1}{3}\right) \leq x\leq ar\cos \left( \frac{1}{3}\right) $con $0\leq x\leq 2\pi $

Solución:
Puesto que $8\left\vert \tan x\right\vert -1<0\Longrightarrow \left\vert \tan x\right\vert <\frac{1}{8}$y por definición del valor absoluto tenemos

$-\frac{1}{8}<\tan x<\frac{1}{8}$ observemos en la gráfica las funciones $y_{1}=\left\vert \tan x\right\vert $ $y_{2}=\frac{1}{8}$





puesto que $\left\vert \tan x\right\vert =\frac{1}{8}\Longrightarrow x=\pm \arctan \frac{1}{8}$

entonces el inetrvalo solución para la inecuación dada es

$\arctan \left( -\frac{1}{8}\right) < x < \arctan \frac{1}{8}$ y dado que la función $\arctan x$ es impar tenemos

$-\arctan \left( \frac{1}{8}\right) < x < \arctan \frac{1}{8}$ y Como el periodo de la función tangente es $\pi $ entonces el periodo generalizado será $k\pi $ donde $k=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,....$

Así que la solución generalizada es

$-\arctan \left( \frac{1}{8}\right) +k\pi < x < \arctan \frac{1}{8}+k\pi \qquad k=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,....$

Solución:
Conocemos que $-1\leq sen2x\leq 1\Longrightarrow 1\geq -sen2x\geq -1$ entonces $2\geq 1-sen2x\geq 0$ así que decir $\frac{\cos x}{1-sen2x}<0\Longrightarrow $ $cosx<0$

y $1-sen2x\neq 0\Longrightarrow x\in \left( \frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2} \right) $ y tambien $1\neq sen2x\Longrightarrow 2x\neq \left\{ \frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{2},...\right\} $

así que $x\neq \left\{ \frac{\pi }{4},\frac{5\pi }{4},...\right\} \Longrightarrow x\in \left( \frac{\pi}{2},\frac{3\pi }{2}\right) -\left\{ \frac{5\pi }{4}\right\} $

Solución:
$Sen\left( x-\frac{\pi }{3}\right) >Senx\Longrightarrow \left[ \sen x\cos \frac{\pi }{3}-\sen\frac{\pi }{3}\cos x\right] >\sen x$
entonces $\frac{1}{2}Senx-\frac{\sqrt{3}}{2}Cosx>Senx\Longrightarrow Senx-\sqrt{3}Cosx>2Senx$

así $0>Senx+\sqrt{3}Cosx\Longrightarrow 0>2Sen\left( x+\frac{\pi }{3}\right) \Longrightarrow 2Sen\left( x+\frac{\pi }{3}\right) < 0$

de esta forma tenemos $\left( x+\frac{\pi }{3}\right) \in \left( \pi ,2\pi \right) \Longrightarrow x\in \left( \frac{2\pi }{3},\frac{5\pi }{3}\right) $

Solución:
$pSenx-qCosx>\frac{r}{2}$ $\Longrightarrow \frac{p}{r}Senx-\frac{q}{r}Cosx > \frac{1}{2}$

y puesto que $\left( p,q\right) $ es un punto que pertenece a la circunferencia

entonces $\frac{p}{r}=Cos\theta $ y $\frac{q}{r}=Sen\theta $ así, $Cos\theta Senx-Sen\theta Cosx > \frac{1}{2}$ esto dice que $Sen\left( x-\theta \right) > \frac{1}{2}$

entonces $2n\pi +\frac{\pi }{6} < x-\theta < \frac{5\pi }{6}+2n\pi $ con $n\in Z$

dado $\frac{\pi }{3} < x < \pi $ entonces $\theta -\frac{\pi }{6}-2n\pi \Longrightarrow \cot \theta -\frac{p}{q}-\cot \frac{\pi }{6}-\sqrt{3}$

así $\frac{p}{q}=\sqrt{3}$

Solución:
Si usamos la circunferencia trigonométrica, ubicamos los puntos
$M_{0}$ y $M_{1}$, si tomamos la solución de $Senx=\frac{1}{2}$ tendíamos que

$x=\frac{\pi }{6}+2n\pi $ o $x=\frac{5\pi }{6}+2n\pi $ donde $n\in Z$



Entonces la solución de la inecuación propuesta son los valores de $x$ comprendidos en el intervalo $\frac{\pi }{6}+2n\pi \leq x\leq \frac{5\pi }{6}+2n\pi $

Solución:
Si graficamos las funciones $f(x)=\cos x\qquad g(x)=\frac{\sqrt{2}}{2}$
en el intervalo $0\leq x\leq 2\pi $



haciendo la intersección de $f$ y $g$ tenemos que $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ esto ocurre si $x=\frac{\pi }{4}$ o $x=\frac{7\pi }{4}$

Observamos en la gráfica que $f(x)\geq g(x)$ cuando
$x\in \left[ 0,\frac{\pi }{4}\right] \cup \left[ \frac{7\pi }{4},2\pi \right]$

Solución:
Definimos las funciones $f(x)=sen2x\qquad g(x)=6\cos x$

y hacemos la gráfica en el intervalo $\left[ 0,2\pi \right] $



Y observamos en la gráfica que $f(x)>g(x)$ en el intervalo

$\frac{\pi }{2} < x < \frac{3\pi }{2}$ y generalizando en cualquiera de los periodos de definición de las funciones tenemos que $x\in \left( 2n\pi +\frac{\pi }{2};2n\pi +\frac{3\pi }{2}\right) $ donde $n\in Z$

Solución:
Graficando en una circunferencia la ecuación, recordamos que el dominio de la tangente es $\left( -\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right) \cup \left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right) $



la tangente es mayor que el valor $1$ cuando $x$ está en el intervalo $\frac{\pi }{4} < x < \frac{\pi }{2}$ y también en $\frac{5\pi }{4} < x < \frac{5\pi }{2}$

y generalizando en cualquier periodo tenemos que

$\tan x\geq 1\Leftrightarrow x\in \left[ \frac{\pi }{4}+n\pi ;\frac{5\pi }{2}+n\pi \right] $

Solución:
Observamos las gráficas de las funciones $f(x)=sen(x)$ y $g(x)=\cos x$

y hallamos los puntos de intersección $sen(x)$ $=\cos x\Longrightarrow \tan x=1$

$x=\arctan x$ entonces $x_{1}=\frac{\pi }{4}\qquad x_{2}=\frac{5\pi }{4}$ y si graficamos en $\left[ 0;2\pi \right] $



Observamos en la imagen que $f(x)>g(x)$ si $\frac{\pi }{4} < x < \frac{5\pi }{4}$

Solución:
hacemos $f(x)=\sqrt{3}Cosx\qquad g(x)=1+Senx$ y graficamos en el intervalo $\left[ 0,2\pi \right] $



Obtenemos los puntos $x_{1}=x_{2}$ de intersección de las funciones

entonces $f(x)=g(x)\Longrightarrow \sqrt{3}Cosx=1+Senx$

así que $-1=senx-\sqrt{3}Cosx=2sen\left( x-\frac{\pi }{3}\right) \Longrightarrow sen\left( x-\frac{\pi }{3}\right) =-\frac{1}{2}$

y obteniendo la inversa tenemos $x-\frac{\pi }{3}=arcsen(-\frac{1}{2})$

entonces $x-\frac{\pi }{3}=-\frac{\pi }{6}\qquad $and $x-\frac{\pi }{3}=\frac{7\pi }{6}$

y despejando tenemos $x_{1}=\frac{\pi }{6}\qquad x_{2}=\frac{3\pi }{2}$

la solución es $x\in \left( \frac{\pi }{6};\frac{3\pi }{2}\right) $