Ecuación de un círculo - problemas y soluciones

Solución:
Respuesta: Centro en $(0,3)\qquad r=7$

La forma canónica de la ecuación del círculo es

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, donde el centro está en $C:(h, k)$ y el radio $r$

Tenemos $x^{2}+(y-3)^{2}=49,$

$C:(0,3)\qquad r=7$

Solución:
La forma canónica de la ecuación del círculo es
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, donde el centro está en $(h,k)$, y $r$ es su radio.

Nuestra ecuación es
$(x+2)^{2}+y^{2}=36$

El centro está en $(-2,0)$ y el radio es 6.

Solución:
Respuesta: $C(-1,-4)$ y $r=\sqrt{\frac{33}{2}}$

$2x^{2}+2y^{2}+4x+16y+1=0\Longrightarrow x^{2}+y^{2}+2x+8y+\frac{1}{2}=0$ then

$\left( x+1\right)^{2}+\left( y+4\right)^{2}-1-16+\frac{1}{2}=0\Longrightarrow \left( x+1\right) ^{2}+\left( y+4\right) ^{2}=\frac{33}{2}$

Vemos que el centro está en $(−1,−4)$ y el radio es $\sqrt{\frac{33}{2}}$

Solución:
Respuesta: $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=16$

La forma canónica de la ecuación de un círculo es:
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, donde el centro está en el punto $(h,k)$ y el radio es $r$.

Entonces, la ecuación es $(x-2)^{2}+(y-3)^{2}=4^{2}\Longrightarrow (x-2)^{2}+(y-3)^{2}=16$

Solución:
La forma canónica de la ecuación de un círculo es:
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$, donde el centro está en el punto $(h,k)$ y el radio es $r$.

Entonces, la ecuación es $(x+1)^{2}+(y-4)^{2}=2^{2}\Longrightarrow (x+1)^{2}+(y-4)^{2}=4$

Solución:
Necesitamos convertir la ecuación en una suma de cuadrados.
$x^{2}+y^{2}-4x+2y=0\Longrightarrow \left( x-2\right)^{2}+\left(y+1\right)^{2}-4-1=0$
Luego $\left(x-2\right)^{2}+\left( y+1\right)^{2}=5$
Vemos que el centro está en $(2,-1)$ y el radio $r=\sqrt{5}$.

Solución:
La forma canónica de la ecuación de un círculo es:
$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}$

El centro está en el punto $(0,0)$ y $r$ es su radio.

Entonces, $x^{2}+y^{2}=r^{2}\Longrightarrow r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}$
Sabemos que el círculo pasa por el punto $(-1,-2)$, por lo tanto
$r=\sqrt{\left( -1\right)^{2}+\left(-2\right) ^{2}}=\sqrt{5}$

Así que la ecuación es $x^{2}+y^{2}=5$

Solución:
La forma canónica de la ecuación de un círculo es:

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2},$ , donde el centro está en el punto $(4,-5)$ y $r$ es su radio.

So $(x-4)^{2}+(y+5)^{2}=r^{2}\Longrightarrow r=\sqrt{(x-4)^{2}+(y+5)^{2}}$ Dado que el círculo pasa por el punto $(7,-3)$, entonces
$r=\sqrt{\left( 3\right)^{2}+\left( 2\right)^{2}}=\sqrt{13}$

Entonces, la ecuación es $(x-4)^{2}+(y+5)^{2}=13$

Solución:
Respuesta: $(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=36$

Dado que el círculo toca el eje x, $r=\left\vert y_{c}\right\vert$, donde el centro es $(x_{c},y_{c})$.

Entonces, $y_{c}=6$ y la ecuación es $(x-5)^{2}+(y-6)^{2}=36$.

Solución:
Dado que el círculo toca el eje $y$, $r=\left\vert x_{c}\right\vert$, donde el centro está en $(x_{c},y_{c})$.

Entonces, $x_{c}=-4$ y la ecuación es $(x+4)^{2}+(y-3)^{2}=16$.

Solución:
Respuesta: $(2,3)$

$(x+2)^{2}+(y-3)^{2}=16$
Comprobemos cuál de los puntos satisface esta ecuación.

$A(2,3):(2+2)^{2}+(3-3)^{2}=16\Longrightarrow 16=16$
Entonces, $A(2,3)\in C$

$B(-4,3):(-4+2)^{2}+(3-3)^{2}=16\Longrightarrow 4\neq 16$
Entonces, $B(-4,3)\notin C$

$D(1,5):(1+2)^{2}+(5-3)^{2}=16\Longrightarrow 9+4=13\neq 16$
Entonces, $D(1,5)\notin C$

Solución:
Respuesta: $x^{2}+y^{2}+Dx+Ey+F=0$ donde $D=-4\qquad E=0\qquad F=-21$

La ecuación de la tangente en el punto $\left( x_{t},y_{t}\right)=(5,4)$ es:

$y-y_{t}=\left( \frac{-2x_{t}-D}{2y_{t}+E}\right) (x-x_{t})$ Entonces,

$y-4=\left( \frac{-10+4}{8+0}\right) (x-5)\Longrightarrow y-4=\frac{-3}{4}(x-5)$

$4y+3x-31=0$

Solución:
Respuesta: $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{9}{5}$

Sabemos que el radio $r$ es la distancia entre $O:(h,k)$ y la recta $y-x-2=0$

Entonces, $O:(2,-1)$ $r=d(O,L)=\frac{\left\vert -2-1-2\right\vert }{\sqrt{1^{2}+\left( -1\right) ^{2}}}=\frac{5}{\sqrt{2}}$ entonces la ecuación del círculo es:

$(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}\Longrightarrow (x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{25}{2}$

Solución:
La ecuación del círculo concéntrico es $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=r^{2}$

Sabemos que el radio $r$ es la distancia entre el centro $O:(h,k)$ y la recta.
Entonces, $O:(2,-1)$ $r=d(C,L)=\frac{\left\vert 2\times 2+1+2\right\vert }{\sqrt{2^{2}+\left( -1\right) ^{2}}}=\frac{7}{\sqrt{5}}=\frac{7}{5}\sqrt{5}$

Por lo tanto, la ecuación del círculo es $(x-2)^{2}+(y+1)^{2}=\frac{49}{5}$

Solución:
Respuesta: L2: $3x+4y-31=0$

Una recta que es tangente a un círculo y el círculo mismo deben tener exactamente un punto en común.

Para estas rectas obtenemos $y=\frac{C-3x}{4}$, luego sustituimos yy en la ecuación del círculo, así que $(x-2)^{2}+\left( \frac{C-3x}{4}\right)^{2}=25$

Ahora resolvemos la ecuación:

$x^{2}-4x+4+\frac{C^{2}-6Cx+9x^{2}}{16}=25\Longrightarrow 16x^{2}-64x+64+C^{2}-6Cx+9x^{2}=400$

Luego:
$25x^{2}-(64+6C)x+\left( 64+C^{2}-400\right) =0$

$x=\frac{(64+6C)\pm \sqrt{(64+6C)^{2}-100\left( 64+C^{2}-400\right) }}{50}$

Dado que $x$ tiene solo una solución (el punto de tangencia),
$(64+6C)^{2}-100\left( 64+C^{2}-400\right) =0$

Tenemos tres opciones para $C=6,31,60$
El valor único de $C$ que satisface la ecuación anterior es $C=31$, ya que
$(64+6\cdot 31)^{2}-100\left( 64+31^{2}-400\right) =250^{2}-62500=0$

Entonces, L2: $3x+4y-31=0$ es la recta tangente al círculo.