Ecuaciones logarítmicas - problemas y soluciones

Solución:
Dominio: $3x-2>0 \Leftrightarrow 3x>2 \Leftrightarrow x>\frac23$


$\log_3(3x-2)=1$
$\log_3(3x-2)=\log_33$
$3x-2=3$
$3x=5$
$x=\frac53 > \frac23$

Respuesta: $\frac53$

Solución:
Dominio:
$3x^2-2x-1 > 0$
$D=16$
$x_1=1$
$x_2=-\frac{1}{3}$
$3x^2-2x-1 > 0 \Leftrightarrow x\in(-\infin,-\frac13)\cup(1,+\infin)$


$\log_2(3x^2-2x-1)=5$

$\log_2(3x^2-2x-1)=5\times 1$

$\log_2(3x^2-2x-1)=5\times \log_22$

$\log_2(3x^2-2x-1)=\log_22^5$

$3x^2-2x-1 = 2^5$

$3x^2-2x-1 = 32$

$3x^2-2x-33 = 0$

$D=400$
$x_1=-3 \in (-\infin,-\frac13)\cup(1,+\infin)$
$x_2=\frac{11}{3} \in (-\infin,-\frac13)\cup(1,+\infin)$
Respuesta: $-3, \frac{11}{3}$

Solución:
Dominio: $x^2-2x-2>0$

$x^2-2x-2=0$
$D=12$
$x_{1,2}=\frac{2\pm\sqrt{12}}{2}=\frac{2\pm2\sqrt{3}}{2}=1\pm\sqrt{3}$

$x^2-2x-2>0 \Leftrightarrow x\in (-\infin,1-\sqrt{3})\cup(1+\sqrt{3},+\infin)$


$\log_5(x^2-2x-2)=0$

$\log_5(x^2-2x-2)=\log_51$
$x^2-2x-2=1$
$x^2-2x-3=0$
$D=16$
$x_1=-1 \in (-\infin,1-\sqrt{3})\cup(1+\sqrt{3},+\infin)$
$x_2=3 \in (-\infin,1-\sqrt{3})\cup(1+\sqrt{3},+\infin)$

Respuesta: $-1, 3$

Solución:
Dominio:
$x+3\ne0 \Rightarrow x \ne -3$

$\frac{x-2}{x+3}>0 \Rightarrow x\in(-\infin,-3)\cup(2,+\infin)$

Dominio: $x\in(-\infin,-3)\cup(2,+\infin)$


$\log_3\frac{x-2}{x+3}=1$

$\log_3\frac{x-2}{x+3}=\log_33$

$\frac{x-2}{x+3}=3$

$x-2=3(x+3)$
$x-2=3x+9$
$-2x=11$
$x=-\frac{11}{2} \in (-\infin,-3)\cup(2,+\infin)$

Respuesta: $-\frac{11}{2}$

Solución:
Dominio:
$4x-x^2>0 \ \ \ \ \ \ \times(-1)$
$x^2-4x<0$
$x(x-4)<0$
$x\in(0,4$)


$\log_{0{,}5}(4x-x^2)=-2$

$\log_{0{,}5}(4x-x^2)=-2\log_{0{,}5}0{,}5$

$\log_{0{,}5}(4x-x^2)=\log_{0{,}5}0{,}5^{-2}$

$4x-x^2=0{,}5^{-2}$

$4x-x^2=\left(\frac{1}{2}\right)^{-2}$

$4x-x^2=2^2$
$4x-x^2-4=0$
$x^2-4x+4=0$
$(x-2)^2=0$
$x=2 \in (0,4)$
Respuesta: $x=2$

Solución:
Dominio:
$\begin{array}{|l} 3x^2-2x > 0 \\ 5x - 4 > 0 \end{array}$

$\begin{array}{|l} x(3x-2) > 0 \\ 5x > 4 \end{array}$

$\begin{array}{|l} x\in(-\infin,0)\cup(\frac{2}{3},+\infin) \\ x > \frac{4}{5} \end{array}$

$x\in(\frac{4}{5},+\infin)$


$\lg(3x^2-2x) = \lg(5x-4)$
$3x^2-2x = 5x-4$
$3x^2-7x+4 =0$
$D=1$
$x_1=1 \in (\frac{4}{5},+\infin)$
$x_2=\frac{4}{3} \in(\frac{4}{5},+\infin) $

Respuesta: $1, \frac{4}{3}$

Solución:
Dominio:
$\begin{array}{|l} x+2 > 0 \\ x > 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x > -2 \\ x > 0 \end{array} \Leftrightarrow x\in(0,+\infin)$


$\log_2(x+2)-\log_2x=1$
$\log_2\frac{x+2}{x}=\log_22$

$\frac{x+2}{x}=2$

$x+2=2x$
$-x=-2$
$x=2 \in (0,+\infin)$

Respuesta: $x=2$

Solución:
Dominio:
$\begin{array}{|l} x > 0 \\ 3-x > 0 \\ 2x+5>0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x > 0 \\ x < 3 \\ x>-\frac52 \end{array}$

Dominio: $x\in (0,3)$


$\log x+ \log(3-x)=\log8+\log(2x+5)$
$\log x\cdot(3-x)=\log8\cdot(2x+5)$
$\log (3x-x^2)=\log(16x+40)$
$3x-x^2=16x+40$
$x^2+13x+40=0$
$D=9$
$x_1=-8 \notin (0,3)$
$x_2=-5 \notin (0,3)$
Respuesta: $x\in \varnothing$

Solución:
Dominio:
$\begin{array}{|l} 4x+10 > 0 \\ x+3 > 0 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} 4x > -10 \\ x > -3 \end{array}$

$\Leftrightarrow \begin{array}{|l} x > -\frac{10}{4} \\ x > -3 \end{array} \Leftrightarrow \begin{array}{|l} x > -\frac{5}{2} \\ x > -3 \end{array}$

Dominio: $x\in\left(-\frac52,+\infin\right)$


$\lg(4x+10)-\lg(x+3)=2\lg4-\lg8$

$\lg\frac{4x+10}{x+3}=\lg4^2-\lg8$

$\lg\frac{4x+10}{x+3}=\lg16-\lg8$

$\lg\frac{4x+10}{x+3}=\lg\frac{16}{8}$

$\lg\frac{4x+10}{x+3}=\lg2$

$\frac{4x+10}{x+3}=2$

$4x+10=2x+6$
$2x=-4$
$x=-2 \in \left(-\frac52,+\infin\right)$

Respuesta: $x=-2$

Solución:
Dominio:
$2x+3>0$ y $2x+3\ne1$

$2x+3>0 \Leftrightarrow x>-\frac32$
$2x+3\ne1 \Leftrightarrow x\ne-1$
Dominio: $x\in\left(-\frac32,-1\right)\cup(-1,+\infin)$


$\log_{2x+3}\left(\frac14\right)+2=0$

$\log_{2x+3}\left(\frac14\right)=-2$

$(2x+3)^{-2}=\frac14$

$\frac{1}{(2x+3)^2}=\frac14$

$(2x+3)^2=4$
$4x^2+12x+9=4$
$4x^2+12x+5=0$
$D=64$
$x_1=-\frac52\notin \left(-\frac32,-1\right)\cup(-1,+\infin)$

$x_2=-\frac12\in \left(-\frac32,-1\right)\cup(-1,+\infin)$

Respuesta: $x=-\frac12$

Solución:
Dominio:
$x>0$ y $\lg x\ne0$

$\lg x\ne0$

$\log_{10} x\ne0$

$10^0\ne x$

$1\ne x$
$x\ne 1$
Dominio: $x\in(0,1)\cup(1,+\infin)$


$\frac{12}{\lg x}-1=\lg x$

Sea $u=\lg x$

$\frac{12}{u}-1=u$

$\frac{12-u}{u}=u$

$12-u=u^2$
$-u^2-u+12=0$
$u^2+u-12=0$
$D=49$
$u_1=-4$
$u_2=3$


$\lg x=-4$
$\log_{10} x=-4$
$10^{-4}=x$
$\left(\frac{1}{10}\right)^4=x$
$x=\frac{1}{10000}\in (0,1)\cup(1,+\infin)$


$\lg x=3$
$\log_{10} x=3$
$10^3=x$
$x=1000\in (0,1)\cup(1,+\infin)$

Respuesta: $\frac{1}{10000}, 1000$

Solución:
Dominio:
$\begin{array}{|l} x > 0 \\ 3+\log_{10}x \ne 0 \\ 1-\log_{10}x\ne0 \end{array} \Leftrightarrow$ $\begin{array}{|l} x > 0 \\ \log_{10}x \ne -3 \\ \log_{10}x\ne1 \end{array}\Leftrightarrow$

$\begin{array}{|l} x > 0 \\ 10^{-3} \ne x \\ 10^1\ne x \end{array}\Leftrightarrow$ $\begin{array}{|l} x > 0 \\ x \ne \frac{1}{1000} \\ x\ne 10 \end{array}$


$\frac{8}{3+\log_{10}x}+\frac{7}{1-\log_{10}x}=3$

Sea $u=\log_{10}x$

$\frac{8}{3+u}+\frac{7}{1-u}=3$

Dominio $u$: $u\ne-3$ and $u \ne 1$

$\frac{8(1-u)+7(3+u)}{(3+u)(1-u)}=3$

$8-8u+21+7u=3(3+u)(1-u)$
$29-u=3(3+u-3u-u^2)$
$29-u=9-6u-3u^2$
$3u^2+5u+20=0$
$D=-251$
$u\in\varnothing$

Respuesta: $x\in\varnothing$

Solución:
Dominio: $x>0$

Sea $\log_6x=y$

$(2-y)y=\frac{75}{100}$

$(2-y)y=\frac{3}{4}$

$2y-y^2=\frac{3}{4}$

$8y-4y^2=3$

$4y^2-8y+3=0$
$D=16$
$y_1=\frac32$

$y_1=\frac12$


$\log_6x=\frac32$
$6^{\frac32}=x$
$x=\sqrt{6}^3=6\sqrt{6}$

$\log_6x=\frac12$
$6^{\frac12}=x$
$x=\sqrt{6}$

Respuesta: $\sqrt{6}, 6\sqrt{6}$

Solución:
Dominio: $x > 0$ y $x\ne 1 \Rightarrow x\in(0,1)\cup(1, +\infin)$

$\log_3x+\log_x9=3$

$\log_3x+\frac{1}{\log_9x}=3$

$\log_3x+\frac{1}{\log_{3^2}x}=3$

$\log_3x+\frac{1}{\frac{1}{2}\log_{3}x}=3$

$\log_3x+\frac{1}{\frac{\log_{3}x}{2}}=3$

$\log_3x+\frac{2}{\log_{3}x}=3$

Sea $\log_3x=y, y\ne 0$
$y+\frac{2}{y}=3$
$y^2+2=3y$
$y^2-3y+2=0$
$D=1$
$x_1=2$
$x_1=1$

$\log_3x=2$
$x=3^2=9$

$\log_3x=1$
$x=3^1=3$

Respuesta: $3, 9$

Solución:
$\log_{10}^2x+\log_{10}x^2=3$

Dominio: $x > 0$

$\log_{10}^2x+2\log_{10}x-3=0$

Sea $\log_{10}x=y$

$y^2+2y-3=0$
$D=16$
$y_1=1$
$y_2=-3$


$\log_{10}x=1$
$x=10^1$


$\log_{10}x=-3$
$x=10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}$


Respuesta: $\frac{1}{1000}, 10$

Solución:
$\log_3(3^{2x}-3^x-63)=x$
$3^x=3^{2x}-3^x-63$

Sea $3^x=y, \ \ \ y>0$

$y=y^2-y-63$
$y^2-2y-63=0$
$D=256$
$y_1=9$
$y_2=-7$ but $y > 0$ $3^x=9$
$x=2$

Comprobamos si $x=2$ es la solución.
$\log_3(3^4-3^2-63)=2$

Respuesta: 2

Solución:
Dominio:
$\begin{array}{|l} x +5 \ge 0 \\ 3x-5 \ge 0 \\ \sqrt{x+5} >0\\ \sqrt{3x-5} >0 \end{array} \Leftrightarrow$ $\begin{array}{|l} x \ge -5 \\ x \ge \frac{5}{3} \\ x >-5\\ x>\frac{5}{3} \end{array}$ $\Rightarrow x > \frac{5}{3}$


$\log_{10}\sqrt{x+5}+\log_{10}\sqrt{3x-5}=1$
$\log_{10}\sqrt{x+5}\cdot\sqrt{3x-5}=1$
$\log_{10}\sqrt{(x+5)(3x-5)}=1$
$\log_{10}\sqrt{3x^2+15x-5x-25}=1$
$\sqrt{3x^2+15x-5x-25}=10^1$
$\sqrt{3x^2+15x-5x-25}=10$
$3x^2+15x-5x-25=100$
$3x^2+15x-5x-125=0$
$D=1600$
$x_1=5 > \frac{5}{3}$
$x_2=-\frac{25}{3} < \frac{5}{3}$

Respuesta: $5$

Solución:
Dominio:
$\begin{array}{|l} x-2 > 0 \\ 3x-5 \ge 0 \end{array} \Leftrightarrow$ $\begin{array}{|l} x > 2 \\ x \ge \frac{5}{3} \end{array}\Rightarrow x>2$

$\log_2(x-2)-2=6\log_{\frac{1}{8}}\sqrt{3x-5}$

$\log_2(x-2)-2=6\log_{8^{-1}}(3x-5)^{\frac{1}{2}}$

$\log_2(x-2)-2=\frac{6}{-1}\cdot \frac{1}{2}\cdot\log_8(3x-5)$

$\log_2(x-2)-2=-3\cdot \log_{2^3}(3x-5)$

$\log_2(x-2)-2=-3\cdot \frac{1}{3}\cdot\log_{2}(3x-5)$

$\log_2(x-2)-2=-1\cdot\log_{2}(3x-5)$

$\log_2(x-2)-2\log_22=\log_{2}(3x-5)^{-1}$

$\log_2(x-2)-\log_22^2=\log_{2}\frac{1}{3x-5}$

$\log_2(x-2)-\log_24=\log_{2}\frac{1}{3x-5}$

$\log_2\frac{x-2}{4}=\log_{2}\frac{1}{3x-5}$

$\frac{x-2}{4}=\frac{1}{3x-5}$

$(x-2)(3x-5)=4$
$3x^2-6x-5x+10=4$
$3x^2-11x+10=4$
$D=49$
$x_1=3 > 2$
$x_2=-\frac{2}{3} < 2$

Respuesta: $3$

Solución:
Dominio:
$x^2-16 > 0\Leftrightarrow (x-4)(x+4)>0 \Rightarrow x\in(-\infin,-4)\cup(4,+\infin)$

$\log_2(\log_3(x^2-16))-\log_{\frac{1}{2}}(\log_{\frac{1}{3}}\frac{1}{x^2-16})=2$

$\log_2(\log_3(x^2-16))-\log_{\frac{1}{2}}(\log_{3^{-1}}(x^2-16)^{-1})=2$

$\log_2(\log_3(x^2-16))-\log_{\frac{1}{2}}(\frac{-1}{-1}\cdot\log_3(x^2-16))=2$

$\log_2(\log_3(x^2-16))-\log_{2^{-1}}(\log_3(x^2-16))=2$

$\log_2(\log_3(x^2-16))+\log_{2}(\log_3(x^2-16))=2$

$2\log_2(\log_3(x^2-16))=2$

$\log_2(\log_3(x^2-16))=1$
$\log_3(x^2-16)=2^1$

$x^2-16=3^2$
$x^2=9+16$
$x^2=25$
$x_1=5\in(-\infin,-4)\cup(4,+\infin)$
$x_2=-5\in(-\infin,-4)\cup(4,+\infin)$

Respuesta: $\pm5$