Teorema de Pitágoras - problemas y soluciones

Solución:
Por el teorema de Pitágoras tenemos [tex]AB^2=BC^2+AC^2[/tex], por lo tanto [tex]AC^2=AB^2-BC^2=8^2-5^2=64-25=39[/tex].

Solución:
[tex]3^{2} + 4^{2} = 5^{2}[/tex]
porque [tex]25=25[/tex] por lo que un triángulo rectángulo puede tener lados 3, 4, 5

Solución:
Por el teorema de Pitágoras tenemos: [tex]AB^2=AC^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25[/tex]. Dado que [tex]AB^2=5^2[/tex], AB=5.

Solución:
Por el teorema de Pitágoras tenemos:
[tex]AB^2=AC^2+BC^2[/tex]
[tex]25^2 = 7^2+BC^2[/tex]
[tex]625 - 49=BC^2[/tex]
Por lo tanto, [tex]BC=\sqrt{576}=24[/tex]

Solución:
Por el teorema de Pitágoras tenemos: [tex]AB^2=AC^2+BC^2=8^2+15^2=64+225=289[/tex]. Ya que [tex]AB^2=17^2[/tex], AB=17.

Solución:
El triángulo formado por estos tres segmentos es claramente rectángulo, por lo que podemos aplicar el teorema de Pitágoras.
$c^{2} = a^{2} +b^{2}$
$a = 50 m$
$b = 25 m$
Sea $c$ la longitud del cable.
De acuerdo al teorema de Pitágoras:

$c^{2} = 50^{2} +25^{2}$
$ \Longrightarrow c^{2} = 2500 +625 = 3125 \text{m}^{2}$
$ \Longrightarrow c = \sqrt{3125} = 55,9$

Solución:
Se da la longitud de la diagonal del cuadrado. Lo divide en dos triángulos iguales. Además, los dos triángulos son rectángulos y los lados de la misma longitud.
Sea x la longitud del lado del cuadrado, por el teorema de Pitágoras obtenemos:

$x^{2} +x^{2}=\left (2\sqrt{2}\right )^{2}$
$ \Longrightarrow 2x^{2}=4\left (\sqrt{2}\right )^{2}$
$ \Longrightarrow 2x^{2}=8$
$x^{2}=\frac{8}{2} \Longrightarrow x^{2}=4$ $ \Longrightarrow x=\sqrt{4}$ $ \Longrightarrow x=2 \text{km}$
Por lo tanto, los cuatro lados de la parcela miden 2 kilómetros cada uno y, en consecuencia, su $A = x \times x$
(El área de un cuadrado es el producto de sus lados:
$A = 4 \text{km}^{2}$
El área del terreno es de 4 kilómetros cuadrados.

Solución:
Imaginemos un triángulo rectángulo con base $ b $, que es la sombra del árbol.
Su altura $a$, es la altura del arbol y su hipotenusa, $h$, es la distancia desde la parte superior del árbol hasta el final de la sombra.

Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular su altura
$h^{2} = a^{2} +b^{2}$
$ \Longrightarrow 4^{2} = a^{2} +\left (2,5\right )^{2}$
$ \Longrightarrow 16 -6,25 = a^{2}$
$ \Longrightarrow 9,75 = a^{2}$
Por lo que $a = \sqrt{9 \times 75}$
$a = 3,12$ metros.

Solución:
En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto al ángulo de [tex]30^\circ[/tex] mide la mitad de la hipotenusa, así que [tex]AC = \frac{AB}{2}[/tex].
[tex]AC = \frac{6}{2} = 3[/tex]
Por el teorema de Pitágoras:
[tex]AB^2 = BC^2 + AC^2[/tex]
[tex]6^2 = BC^2 + 3^2[/tex]
[tex]BC^2 = 36 - 9 = 27[/tex]
[tex]BC = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}[/tex]

Solución:
El centro de la circunferencia circunscrita es el punto de intersección de las diagonales, así que el radio es la mitad de una diagonal.
Por el teorema de Pitágoras: [tex]d^2=6^2+6^2=72 \Rightarrow d=\sqrt{72}=6\sqrt{2}[/tex]
[tex]R=\dfrac{d}{2}=3\sqrt{2}[/tex]

Solución:
La altura sobre la base también es mediana, así que divide la base en dos segmentos de longitud [tex]12[/tex]:
[tex]h^2=13^2-12^2=169-144=25 \Rightarrow h=5[/tex]
[tex]S=\dfrac{24\times 5}{2}=60[/tex]

Solución:
La altura divide el triángulo en dos triángulos rectángulos de hipotenusa [tex]6[/tex] y cateto [tex]3[/tex]:
[tex]h^2=6^2-3^2=27 \Rightarrow h=\sqrt{27}=3\sqrt{3}[/tex]
[tex]S=\dfrac{6\times 3\sqrt{3}}{2}=9\sqrt{3}[/tex]

Solución:
Los dos extremos superiores y el punto del poste más alto a la altura [tex]20[/tex] forman un triángulo rectángulo de catetos [tex]40[/tex] y [tex]50-20=30[/tex]:
[tex]d^2=40^2+30^2=1600+900=2500 \Rightarrow d=50[/tex]

Solución:
Las alturas trazadas desde los extremos de la base menor cortan en la base mayor dos segmentos iguales de longitud
[tex]\dfrac{21-11}{2}=5[/tex]
Por el teorema de Pitágoras: [tex]x^2=12^2+5^2=144+25=169 \Rightarrow x=13[/tex]

Solución:
La perpendicular desde el centro a la cuerda la divide por la mitad. Obtenemos un triángulo rectángulo de hipotenusa [tex]10[/tex] (un radio) y cateto [tex]8[/tex] (media cuerda):
[tex]d^2=10^2-8^2=100-64=36 \Rightarrow d=6[/tex]

Solución:
Por el teorema de Pitágoras: [tex]c^2=12^2+16^2=144+256=400 \Rightarrow c=20[/tex]
La mediana relativa a la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa (el punto medio de la hipotenusa es el centro de la circunferencia circunscrita):
[tex]m=\dfrac{20}{2}=10[/tex]

Solución:
El lado del rombo mide [tex]100\div 4=25[/tex]. Las diagonales de un rombo son perpendiculares y se cortan en su punto medio, así que un lado y las mitades de las diagonales forman un triángulo rectángulo:
[tex]\left(\dfrac{d}{2}\right)^2=25^2-15^2=625-225=400 \Rightarrow \dfrac{d}{2}=20 \Rightarrow d=40[/tex]

Solución:
Las direcciones norte y este son perpendiculares, así que la distancia es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos [tex]9[/tex] y [tex]12[/tex]:
[tex]d^2=9^2+12^2=81+144=225 \Rightarrow d=15[/tex]