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Teorema de Pitágoras
Teorema de Pitágoras - problemas y soluciones
Problema 1
Dado un triángulo
ABC
con [tex]\angle C = 90 ^{\circ}[/tex],
AB=8
y
BC=5
, encontrar el cuadrado de
AC
(AC
2
= ?).
Solución:
Por el teorema de Pitágoras tenemos [tex]AB^2=BC^2+AC^2[/tex], por lo tanto [tex]AC^2=AB^2-BC^2=8^2-5^2=64-25=39[/tex].
Problema 2
¿Podría un triángulo rectángulo tener lados: 3, 4, 5?
Respuestas:
sí
o
no
.
Sí
No
Solución:
3
2
+ 4
2
= 5
2
porque 25=25 por lo que un triángulo rectángulo puede tener lados 3, 4, 5
Problema 3
Dado un triángulo rectángulo
ABC
, [tex]\angle C = 90 ^{\circ}[/tex], en el cual
AC=3
,
BC=4
. Determine la longitud de
AB
.
Solución:
Por el teorema de Pitágoras tenemos: [tex]AB^2=AC^2+BC^2=3^2+4^2=9+16=25[/tex]. Dado que [tex]AB^2=5^2[/tex], AB=5.
Problema 4
Dado un triángulo rectángulo
ABC
, [tex]\angle C = 90 ^{\circ}[/tex], en el cual
AC=7
,
AB=25
. Determine la longitud de
BC
.
Solución:
Por el teorema de Pitágoras tenemos:
[tex]AB^2=AC^2+BC^2[/tex]
[tex]25^2 = 7^2+BC^2[/tex]
[tex]625 - 49=BC^2[/tex]
Por lo tanto, [tex]BC=\sqrt{576}=24[/tex]
Problema 5
Dado un triángulo rectángulo
ABC
, [tex]\angle C = 90 ^{\circ}[/tex], en el cual
AC=8
,
BC=15
. Determine la longitud de
AB
.
Solución:
Por el teorema de Pitágoras tenemos: [tex]AB^2=AC^2+BC^2=8^2+15^2=64+225=289[/tex]. Ya que [tex]AB^2=17^2[/tex], AB=17.
Problema 6
Una empresa debe estirar un cable desde la parte superior de una torre que tiene 25 metros de altura hasta un punto a 50 metros de la base de la torre.
Calcule la longitud del cable.
Respuesta:
metros.
Solución:
El triángulo formado por estos tres segmentos es claramente rectángulo, por lo que podemos aplicar el teorema de Pitágoras.
$c^{2} = a^{2} +b^{2}$
$a = 50 m$
$b = 25 m$
Sea $c$ la longitud del cable.
De acuerdo al teorema de Pitágoras:
$c^{2} = 50^{2} +25^{2}$
$ \Longrightarrow c^{2} = 2500 +625 = 3125 \text{m}^{2}$
$ \Longrightarrow c = \sqrt{3125} = 55,9$
Problema 7
Dada una parcela de terreno cuadrada con distancia entre dos vértices opuestos de $2\sqrt{2}$ kilómetros.
Calcule el área total del terreno.
Respuesta:
kilómetros cuadrados.
Solución:
Se da la longitud de la diagonal del cuadrado. Lo divide en dos triángulos iguales. Además, los dos triángulos son rectángulos y los lados de la misma longitud.
Sea x la longitud del lado del cuadrado, por el teorema de Pitágoras obtenemos:
$x^{2} +x^{2}=\left (2\sqrt{2}\right )^{2}$
$ \Longrightarrow 2x^{2}=4\left (\sqrt{2}\right )^{2}$
$ \Longrightarrow 2x^{2}=8$
$x^{2}=\frac{8}{2} \Longrightarrow x^{2}=4$ $ \Longrightarrow x=\sqrt{4}$ $ \Longrightarrow x=2 \text{km}$
Por lo tanto, los cuatro lados de la parcela miden 2 kilómetros cada uno y, en consecuencia, su $A = x \times x$
(El área de un cuadrado es el producto de sus lados:
$A = 4 \text{km}^{2}$
El área del terreno es de 4 kilómetros cuadrados.
Problema 8
Al atardecer, un árbol proyecta una sombra de 2,5 metros de longitud. La distancia desde la parte superior del árbol hasta el extremo más distante de la sombra es de 4 metros. ¿Cuál es la altura del árbol?
Respuesta:
metros.
Solución:
Imaginemos un triángulo rectángulo con base $ b $, que es la sombra del árbol.
Su altura $a$, es la altura del arbol y su hipotenusa, $h$, es la distancia desde la parte superior del árbol hasta el final de la sombra.
Como el triángulo es rectángulo, aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular su altura
$h^{2} = a^{2} +b^{2}$
$ \Longrightarrow 4^{2} = a^{2} +\left (2,5\right )^{2}$
$ \Longrightarrow 16 -6,25 = a^{2}$
$ \Longrightarrow 9,75 = a^{2}$
Por lo que $a = \sqrt{9.75}$
$a = 3,12$ metros.
Problema 9
[tex]\angle С=90^\circ[/tex], [tex]\angle B=30^\circ[/tex], AB = 6. Hallar la longitud de BC.
[tex]4[/tex]
[tex]\sqrt{3}[/tex]
[tex]2\sqrt{3}[/tex]
[tex]3\sqrt{3}[/tex]
Solución:
AC=АВ/2 - un lado contra un ángulo de 30 grados en un triángulo rectángulo.
AC=6/2 = 3
Del teorema de Pitágoras:
АВ
2
=ВС
2
+АС
2
6
2
= ВС
2
+ 3
2
ВС
2
= 6
2
- 3
2
ВС
2
= 36 - 9
[tex]BC^2=\pm27 \Rightarrow BC=\pm \sqrt{27}[/tex]
-27 el lado no puede ser un número negativo.
[tex]BC=\sqrt{27} \Rightarrow BC=3\sqrt{3}[/tex]
Correcto:
Incorrecto:
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