Aplicación de integrales - problemas y soluciones

Solución:
Debemos encontrar los puntos de intersección de la gráficas, así

$y_{1}=y_{2}\Longrightarrow x^{2}+2x+1=2x+5\Longrightarrow x^{2}-4=0$
$x=\pm 2$

el area de esta región podemos calcularla con $A=\overset{2}{\underset{-2}{\int }}\left[ 2x+5-x^{2}-2x-1\right] dx$

$A=\overset{2}{\underset{-2}{\int }}\left[ 4-x^{2}\right] dx=\left[ 4x-\frac{x^{3}}{3}\right] _{-2}^{2}=\left( 8-\frac{8}{3}+8-\frac{8}{3}\right) =16-\frac{16}{3}= \frac{32}{3}$

Solución:
Debemos encontrar los puntos de intersección de la gráficas, así
$y_{1}=y_{2}\Longrightarrow x^{2}-4x+3=-x^{2}+2x+3\Longrightarrow 2x^{2}-6x=0 $ entonces $x=0$

y $x=3$ así $A=\overset{3}{\underset{0}{\int }}\left[ -x^{2}+2x+3-x^{2}+4x-3\right] dx=\overset{3}{\underset{0}{\int }}\left[ -2x^{2}+6x\right] dx$

$A=\left[ -\frac{2}{3}x^{3}+3x^{2}\right] _{0}^{3}=-18+27=9$

Solución:
Debemos encontrar los puntos de intersección de la gráficas, $x-axis$, así

$y_{1}=3(x^{3}-x)=0\Longrightarrow x=-1,0,1$

Entonces $A=\underset{}{\overset{0}{\underset{-1}{\int }}3(x^{3}-x)dx-}\underset{}{\overset{1}{\underset{0}{\int }}3(x^{3}-x)dx}$

entonces $A=$ $\left[ 3\left( \frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right) \right]_{-1}^{0}-\left[ 3\left( \frac{x^{4}}{4}-\frac{x^{2}}{2}\right) \right]_{0}^{1}=3\left[ -\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right) -\left( \frac{1}{4}-\frac{1}{2}\right) \right] $

$A=3\left( \frac{1}{4}+\frac{1}{4}\right) =\frac{3}{2}$

Solución:
Debemos encontrar los puntos de intersección de la gráficas, así

$f(x)=g(x)\Longrightarrow -x^{2}+\frac{9}{2}x+1=\frac{1}{2}x+1\Longrightarrow -x^{2}+4x=0$
así $x=0$ y $x=4$

$A=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left[ \left( -x^{2}+\frac{9}{2}x+1\right) -\left( \frac{1}{2}x+1\right) \right] dx$

$A=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left[ -x^{2}+4x\right] dx=\left[ -\frac{x^{3}}{3}+2x^{2}\right]_{0}^{4}=-\frac{64}{3}+32=\allowbreak \frac{32}{3}$

Solución:
Debemos encontrar los puntos de intersección de las rectas, y sus intersecciones con $x-axis.$

así $y_{1}=y_{2}\Longrightarrow x=2-x\Longrightarrow x=1$ entonces $x=0$ y $x=2$ son las intersecciones con el eje $x$, entonces

$A=\overset{1}{\underset{0}{\int }}xdx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}(2-x)dx=\left[ \frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1}+\left[ 2x-\frac{x^{2}}{2}\right] _{1}^{2}$

$A=\frac{1}{2}+4-2-2+\frac{1}{2}=1$

Solución:
Debemos encontrar los puntos de intersección de la gráficas, así

$f(x)=g(x)\Longrightarrow \sqrt{x}+3=\frac{1}{2}x+3\Longrightarrow \sqrt{x}=\frac{1}{2}x$ entonces $x=0{,}4$ así $A=\overset{4}{\underset{0}{\int }}\left( f(x)-g(x)\right) dx= \overset{4}{\underset{0}{\int }}\left(\sqrt{x}+3-\frac{1}{2}x-3\right) dx= \overset{4}{\underset{0}{\int }}\left( \sqrt{x}-\frac{1}{2}x\right) dx$

$A=\left[ \frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{1}{4}x^{2}\right] _{0}^{4}=\left[ \frac{16}{3}-4\right] =\frac{4}{3}$

Solución:
Debemos encontrar los puntos de intersección de la gráficas, así

$f(x)=g(x)\Longrightarrow \sqrt[3]{x-1}=x-1\Longrightarrow\\ x=0\qquad x=1\qquad x=2$

Ahora el área encerrada es

$A=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left( x-1-\sqrt[3]{x-1}\right) dx+\overset{2}{\underset{1}{\int }}\left( \sqrt[3]{x-1}-x+1\right) dx$

$A=\left[ \frac{1}{2}x^{2}-x-\frac{3}{4}(x-1)^{4/3}\right]_{0}^{1}+\left[ \frac{3}{4}(x-1)^{4/3}-\frac{1}{2}x^{2}+x\right]_{1}^{2}$

$A=\frac{1}{2}-1+\frac{3}{4}+\frac{3}{4}-2+2+\frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}$

Solución:
Debemos encontrar los puntos de intersección de la gráficas, así
$f(x)=g(x)\Longrightarrow x^{2}-4x+3=3+4x-x^{2}\Longrightarrow 2x^{2}-8x=0\Longrightarrow 2x(x-4)=0$

así $x=0\qquad x=4$ entonces $A=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left[ \left( 3+4x-x^{2}\right) -\left( x^{2}-4x+3\right) \right] dxu.$

$A=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left[ 4x-x^{2}+4x-x^{2}\right] dx=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left[ 8x-2x^{2}\right] dx=\left[ 4x^{2}-\frac{2}{3}x^{3}\right] _{0}^{4}=64-\frac{128}{3}=\frac{64}{3}$

$A=\frac{64}{3}$

Solución:
Debemos encontrar los puntos de intersección de la gráficas, así

$f(x)=g(x)\Longrightarrow x^{4}-2x^{2}=2x^{2}\Longrightarrow x^{4}-4x^{2}=0\Longrightarrow x^{2}(x^{2}-4)=0$

$x=-2\qquad x=0\qquad x=2$ son los puntos de intersección, entonces si consideramso la simetría de la gráfica

$A=2\overset{2}{\underset{0}{\int }}\left[ \left( 2x^{2}\right) -\left(x^{4}-2x^{2}\right) \right] dx=2\left[ \frac{4}{3}x^{3}-\frac{1}{5}x^{5}\right] _{0}^{2}=2\left( \frac{32}{3}-\frac{32}{5}\right) =\frac{128}{15}$

$A=\frac{128}{15}$

Solución:
Debemos encontrar los puntos de interseccion de la gráficas, así

$f(x)=g(x)\Longrightarrow x^{4}-4x^{2}=x^{2}-4\Longrightarrow x^{4}-5x^{2}+4=0$ podemos hacer

la sustitucion $u=x^{2}$ entonces $u^{2}-5u+4=0\Longrightarrow (u-4)(u-1)=0$

así $u=4\qquad u=1$ y puesto que $u=x^{2}\Longrightarrow x=\pm 1\qquad x=\pm 2$

son lso puntos de intersección, si consideramos la simetría de la gráfica, tenemos que

$A=2\left[ \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left[ \left( x^{4}-4x^{2}\right) -\left( x^{2}-4\right) \right] dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left[ \left( x^{2}-4\right) -\left( x^{4}-4x^{2}\right) \right] dx\right] $

$A=2\left[ \underset{0}{\overset{1}{\int }}\left( x^{4}-5x^{2}+4\right) dx+\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left( -x^{4}+5x^{2}-4\right) dx\right] $

$A=2\left( \left[ \frac{1}{5}x^{5}-\frac{5}{3}x^{3}+4x\right] _{0}^{1}+\left[-\frac{1}{5}x^{5}+\frac{5}{3}x^{3}-4x\right] _{1}^{2}\right) $

$A=2\left( \frac{1}{5}-\frac{5}{3}+4-\frac{1}{5}32+\frac{5}{3}8-8+\frac{1}{5}-\frac{5}{3}+4\right) =8$

Solución:
Aquí las intersecciones con el eje $x$ son $x=\pm 2$ y el radio del disco es

$R(x)=f(x)$ así $V=\pi \overset{2}{\underset{-2}{\int }} R(x)^{2}dx=\pi \overset{2}{\underset{-2}{\int }}$ $\left( 4-x^{2}\right)^{2}dx=\pi \overset{2}{\underset{-2}{\int }}$ $\left( 16-8x^{2}+x^{4}\right) dx$

$V=\pi \left[ 16x-\frac{8}{3}x^{3}+\frac{1}{5}x^{5}\right] _{-2}^{2}=\pi \left[ 32-\frac{64}{3}+\frac{32}{5}+32-\frac{64}{3}+\frac{32}{5}\right] $ $=\frac{512}{15}\pi $

$V=\frac{512}{15}\pi $

Solución:
Puesto que $R(x)=\sqrt{x}$ entonces el volumen de revolución es

$V=\pi \underset{0}{\overset{3}{\int }}R^{2}(x)dx\qquad V=\pi \underset{0}{\overset{3}{\int }}xdx=\pi \left[\frac{1}{2}x^{2}\right] _{0}^{3}=\frac{9}{2}\pi$

Solución:
Mirando la imagen, podemso conocer el radio de rotacion es

$R(x)=f(x)=\sqrt{\sen x}$ así el volumen de revolución es
$V=\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\left( \sqrt{\sen x}\right) ^{2}dx$

Entonces $V=\pi \underset{0}{\overset{\pi }{\int }}\sen xdx=-\pi \left[ \cos x\right] _{0}^{\pi }=-\pi \left[ \cos \pi -\cos 0\right] =-\pi \left(-1-1\right) =2\pi $

$V=2\pi $