Problemas sobre progresiones - problemas y soluciones

Solución:
Dado que [tex]a,b,c[/tex] forman una progresión aritmética, [tex]c=b+d=a+2d[/tex] y [tex]a+b+c=a+a+d+a+2d=3a+3d=9[/tex], por lo que [tex]a+d=b=3[/tex] y [tex]a+c=6 => c=6-a[/tex]. Como [tex]a+1,b+1,c+3[/tex] forman una progresión geométrica, tenemos [tex](b+1)^2=(a+1)(c+3)[/tex], o sea [tex]16=(a+1)(6-a+3)=(a+1)(9-a)[/tex]
[tex]16=9a+9-a^2-a[/tex]
[tex]a^2-8a+7=0[/tex], Por lo que [tex]a=7[/tex] o sea [tex]a=1[/tex]. Pero si [tex]a=7[/tex], [tex]c=6-a=6-7=-1<0[/tex] y por definición c es positiva, entonces [tex]a=7[/tex] no es una solucion. Por lo tanto [tex]a=1[/tex] y [tex]c=6-a=6-1=5[/tex].

Solución:
De las propiedades de las progresiones aritméticas y geométricas tenemos [tex] 2a = 3 + b [/tex] y [tex] (a-6) ^ 2 = 3b [/tex]. Sustituimos [tex] b = 2a-3 [/tex] en la última ecuación para obtener
[tex] a ^ 2-12a + 36 = 6a-9 [/tex]
[tex] a ^ 2-18a + 45 = 0 [/tex]
Las soluciones a esta ecuación cuadrática son [tex] a = 3 [/tex] y [tex] a = 15 [/tex]. Pero si [tex] a = 3 [/tex], la progresión aritmética se convierte en [tex] 3,3, b [/tex], lo que significa que [tex] b = 3 [/tex], lo que contradice el hecho de que [tex] b> 3 [/tex]. Por lo tanto, la única solución sigue siendo [tex] a = 15 [/tex].

Solución:
[tex]\{a_n\}[/tex] tiene 9 miembros y por la fórmula de la suma de una progresión aritmética, tenemos [tex] S_a = \frac{a_1+a_9}{2}.9 = 369 [/tex], por lo tanto [tex] a_1 + a_9 = 82 [/tex], o [tex] a_9 = 81 [/tex]. Significa que [tex] b_9 = 81 [/tex]. Como [tex] b_9 = b_1.q ^ 8 [/tex], o [tex] 81 = 3 ^ 4 = q ^ 8 [/tex], tenemos [tex] q ^ 2 = 3 [/tex]. < br /> [tex] b_7 = b_1.q ^ 6 = 1. (q ^ 2) ^ 3 = 3 ^ 3 = 27 [/tex]

Solución:
Sabemos que [tex]b=\frac{a+c}{2}[/tex] y [tex]a^2=bc=\frac{a+c}{2}.c[/tex]
[tex]2a^2=c(a+c)=ac+c^2[/tex]. Dividamos la ecuación por [tex]a^2[/tex]:
[tex]2=\frac{c}{a}+(\frac{c}{a})^2[/tex], o
[tex](\frac{c}{a})^2-\frac{c}{a}-2=0[/tex]. Pero [tex]\frac{c}{a}=r[/tex] (dos miembros consecutivos de la progresión geométrica). Por lo que
[tex]r^2-r-2=0[/tex] con raíces [tex]r_1=-1[/tex] y [tex]r_2=-2[/tex]. Pero [tex]r=-1[/tex] implica que [tex]b=r^2c=1\cdot c=c[/tex], lo cual contradice que [tex]b \ne c[/tex].
Por lo tanto [tex]r = - 2[/tex].

Solución:
Denotemos [tex] b = a + d, c = a + 2d [/tex]. Como [tex] a + b + c = a + a + d + a + 2d = 3a + 3d = 21 [/tex], podemos deducir [tex] b = a + d = 7 [/tex]. La progresión geométrica se convierte en [tex] a + 2, 10, c + 9 [/tex] y la aritmética se convierte en [tex] a, 7, c [/tex]. Lo que significa que [tex] a + c = 14 [/tex] y [tex] (a + 2) (c + 9) = 100 [/tex]. Al sustituir [tex] a [/tex] por [tex] 14-c [/tex], obtenemos
[tex] (16-c) (9 + c) = 100 [/tex]
[tex] 144-9c + 16c-c ^ 2 = 100 [/tex]
[tex] c ^ 2-7c + 44 = 0 [/tex], que produce [tex] c_1 = -4 [/tex] y [tex] c_2 = 11 [/tex], pero [tex] c> 0 [/tex] y la única respuesta que queda es [tex] c = 11 [/tex].

Solución:
Podemos denotar [tex]b=a+3d[/tex], [tex]c=a+7d[/tex], donde [tex]d[/tex] es la diferencia de la progresión aritmética en la que se encuentran los números. Por la propiedad media de la progresión geométrica, tenemos
[tex](a+3d)^2=a(a+7d)[/tex]
[tex]a^2+6ad+9d^2=a^2=7ad[/tex]
[tex]ad=9d^2[/tex]. Dado que la progresión aritmética es no constante, [tex]d \ne 0[/tex]. Lo dividimos para llegar a
[tex]a=9d[/tex]. Entonces [tex]b=9d+3d=12d[/tex] y [tex]c=9d+7d=16d[/tex]. Pero dado que [tex]a,b,c,64[/tex] es una progresión geométrica,
[tex]\frac{64}{c}=\frac{b}{a}[/tex]
[tex]\frac{64}{16d}=\frac{12d}{9d}=\frac{4}{3}[/tex]
[tex]d=\frac{64.3}{16.4}=3[/tex], respectivamente [tex]a=27[/tex], [tex]b=36[/tex] y [tex]c=48[/tex] y la respuesta es [tex]a+b-c=36+27-48=15[/tex]