Problemas sobre progresiones - problemas difíciles y soluciones

Problema 1

Se nos dan los números positivos [tex] a, b, c [/tex], que forman una progresión aritmética en el orden dado. Sabemos que [tex] a + b + c = 9 [/tex]. Los números [tex] a + 1, b + 1, c + 3 [/tex] forman una progresión geométrica en el orden dado. Encontrar c.

Problema 2

Entre el número 3 y el número [tex] b> 3 [/tex] se encuentra el número [tex] a [/tex], de modo que [tex] 3, a, b [/tex] forman una progresión aritmética. Los números [tex] 3, a-6, b [/tex] forman una progresión geométrica. Encuentra [tex]a[/tex].

Problema 3

Una progresión aritmética [tex]\{a_n\}[/tex] tiene 9 elementos. [tex] a_1 = 1 [/tex] y [tex] S_a = 369 [/tex] (la suma de todos los elementos es 369). Una progresión geométrica [tex]\{b_n\} [/tex] también tiene 9 elementos. [tex] a_1 = b_1 [/tex] y [tex] a_9 = b_9 [/tex]. Determine el valor de [tex] b_7 [/tex].

Problema 4

Los números [tex] a, b, c [/tex] son todos diferentes y forman una progresión aritmética en dicho orden. Los números [tex] b, a, c [/tex] forman una progresión geométrica. Encuentre la proporción común r de la progresión geométrica (suponga que [tex]|r|>1)[/tex].

Problema 5

Los números positivos [tex] a, b, c [/tex] forman una progresión aritmética, y [tex] a + b + c = 21 [/tex]. Si los números [tex] a + 2, b + 3, c + 9 [/tex] forman una progresión geométrica, encuentre [tex]c[/tex].

Problema 6

Los números [tex] a, b, c, 64 [/tex] forman una progresión geométrica. [tex] a, b, c [/tex] también son respectivamente los términos primero, cuarto y octavo de una progresión aritmética no constante. Determine el valor de [tex] a + b - c [/tex].

Problema 7

La progresión geométrica [tex]\dfrac{1}{8}; \dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{2}; \ldots[/tex] y la progresión aritmética [tex]-12; 4; 20; \ldots[/tex] tienen exactamente un término común. Hállalo.

Problema 8

Los números de primos de Ana, Berta y Vera, en este orden, forman una progresión aritmética, y los números de primos de Ana, Vera y Gloria, en este orden, forman una progresión geométrica. La suma de los números de primos de Ana y Gloria es [tex]10[/tex], y la de Berta y Vera es [tex]7[/tex]. ¿Cuántos primos tiene Gloria?

Problema 9

Los números [tex]a_{1}; a_{2}; a_{3}; a_{4}[/tex], en este orden, forman una progresión geométrica, y los números [tex]a_{1}+1; a_{2}; a_{3}-4; a_{4}-14[/tex], en este orden, forman una progresión aritmética. Halla [tex]a_{1}; a_{2}; a_{3}; a_{4}[/tex].

[tex]2; 4; 8; 16[/tex]

[tex]4; 6; 8; 10[/tex]

[tex]3; 9; 27; 81[/tex]

[tex]3; 6; 12; 24[/tex]

Problema 10

Tres números positivos forman una progresión geométrica y su suma es [tex]39[/tex]. El primero es el quinto término y el segundo es el octavo término de una progresión aritmética cuya suma de los nueve primeros términos es igual al tercero de los números dados. Halla el primer término de la progresión aritmética.

Problema 11

Tres números forman una progresión geométrica. Si el segundo se disminuye en [tex]4[/tex], los tres números nuevos vuelven a formar una progresión geométrica. Si después el tercer número de la nueva progresión se disminuye en [tex]9[/tex], se obtiene una progresión aritmética. Halla los tres números originales.

[tex](1; 2; 4); (4; 2; 1)[/tex]

[tex](1; 2; 4)[/tex]

[tex](2; 4; 8); (8; 4; 2)[/tex]

[tex](1; 3; 9); (9; 3; 1)[/tex]

Problema 12

Para los términos de la progresión aritmética [tex]a_{1}; a_{2}; a_{3}; \ldots[/tex] y de la progresión geométrica creciente [tex]b_{1}; b_{2}; b_{3}; \ldots[/tex] se cumplen las igualdades [tex]a_{1}=2b_{1}=2[/tex], [tex]a_{6}=3b_{2}[/tex] y [tex]a_{15}=4b_{3}[/tex]. Halla la diferencia [tex]d[/tex] de la progresión aritmética.

[tex]\dfrac{1}{2}[/tex]

[tex]-\dfrac{1}{25}[/tex]

[tex]\dfrac{3}{2}[/tex]

[tex]1[/tex]

Problema 13

Para los términos de la progresión aritmética [tex]a_{1}; a_{2}; a_{3}; \ldots[/tex] y de la progresión geométrica creciente [tex]b_{1}; b_{2}; b_{3}; \ldots[/tex] se cumplen las igualdades [tex]a_{1}=b_{1}[/tex], [tex]a_{2}=b_{2}+1[/tex], [tex]a_{3}=b_{3}-1[/tex] y [tex]b_{1}+b_{2}+b_{3}=21[/tex]. Halla [tex]n[/tex] para el que la suma de los [tex]n[/tex] primeros términos de la progresión aritmética es [tex]S_{n}=55[/tex].

Problema 14

Se dan la progresión aritmética [tex]a_{1}; a_{2}; a_{3}; a_{4}[/tex] y la progresión geométrica [tex]b_{1}; b_{2}; b_{3}; b_{4}[/tex] tales que [tex]a_{1}+b_{1}=27[/tex], [tex]a_{2}+b_{2}=27[/tex], [tex]a_{3}+b_{3}=39[/tex] y [tex]a_{4}+b_{4}=87[/tex]. Halla los términos de ambas progresiones.

[tex]a_{n}:\ 24; 18; 12; 6\qquad b_{n}:\ 3; 6; 12; 24[/tex]

[tex]a_{n}:\ 24; 18; 12; 6\qquad b_{n}:\ 3; 9; 27; 81[/tex]

[tex]a_{n}:\ 25; 21; 17; 13\qquad b_{n}:\ 2; 6; 18; 54[/tex]

[tex]a_{n}:\ 24; 20; 16; 12\qquad b_{n}:\ 3; 9; 27; 81[/tex]

Problema 15

Tres números forman una progresión aritmética. Si el segundo se disminuye en [tex]2[/tex], los tres números obtenidos forman una progresión geométrica. Si, en cambio, el tercero se aumenta en [tex]9[/tex], los tres números obtenidos también forman una progresión geométrica. Halla los números.

[tex](4; 10; 16)[/tex]

[tex](4; 8; 16)[/tex]

[tex](4; 10; 16); \left(\dfrac{4}{25}; \dfrac{34}{25}; \dfrac{64}{25}\right)[/tex]

[tex](4; 10; 16); (16; 10; 4)[/tex]

Problema 16

Halla cinco números si los tres primeros forman una progresión geométrica, los tres últimos forman una progresión aritmética, el producto de los tres primeros es [tex]8[/tex], la suma del primero y el quinto es [tex]30[/tex] y la suma del segundo y el cuarto es [tex]\dfrac{37}{2}[/tex].

[tex]\left(1; 2; 4; \dfrac{33}{2}; 29\right)[/tex]

[tex]\left(-4; 2; -1; \dfrac{33}{2}; 34\right)[/tex]

[tex]\left(4; 2; 1; \dfrac{33}{2}; 32\right)[/tex]

[tex]\left(1; 2; 4; \dfrac{33}{2}; 29\right); \left(-4; 2; -1; \dfrac{33}{2}; 34\right)[/tex]

Problema 17

Halla el número de tres cifras cuyas cifras forman una progresión geométrica, si las cifras del número que es [tex]400[/tex] unidades menor que él forman una progresión aritmética.

Problema 18

Los logaritmos en base [tex]2[/tex] de cuatro números positivos forman una progresión aritmética creciente. El producto de sus términos extremos es [tex]-8[/tex] y el producto de sus términos centrales es [tex]0[/tex]. Halla los números.

[tex]\left(\dfrac{1}{4}; 1; 4; 16\right)[/tex]

[tex]\left(\dfrac{1}{4}; 1; 4; 16\right); \left(\dfrac{1}{16}; \dfrac{1}{4}; 1; 4\right)[/tex]

[tex](-2; 0; 2; 4); (-4; -2; 0; 2)[/tex]

[tex]\left(\dfrac{1}{2}; 1; 2; 4\right); \left(\dfrac{1}{4}; \dfrac{1}{2}; 1; 2\right)[/tex]

Problema 19

Tres números enteros forman una progresión geométrica. El mayor de ellos es igual al sexto término de la sucesión cuya suma de los [tex]k[/tex] primeros términos es [tex]S_{k}=3k^{2}-6k[/tex]. La media aritmética de los tres números es [tex]13[/tex]. Halla el menor de ellos.

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