Problemas sobre progresiones - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
De lo que se da, sabemos que [tex] b^2 = ac [/tex] y [tex] 4b = 3c + a [/tex]. Si cuadramos la última igualdad, obtenemos [tex] 16b^2 = a^2 + 6ac + 9c^2 [/tex]. Sustituyendo [tex] b^2 [/tex] por [tex] ac [/tex], el último se convierte en
[tex] a^2-10ac + 9c^2 = 0 [/tex], lo que significa que [tex] a = c [/tex] o [tex] a = 9c [/tex]. Supongamos que [tex] a = c [/tex]. Entonces la progresión aritmética se convierte en [tex] c, 2b, 3c [/tex], que produce [tex] 4b = 3c + c = 4c [/tex], o [tex] b = c [/tex], que no es una solución (ya que la progresión geométrica no es constante).
Entonces [tex] a = 9c [/tex]. La progresión aritmética se convierte en [tex] 9c, 2b, 3c [/tex], lo que significa que [tex] 4b = 9c + 3c = 12c [/tex], o [tex] b = 3c [/tex]. La progresión geométrica se convierte en [tex] 9c, 3c, c [/tex], que obviamente tiene una proporción común [tex] r = \frac{1}{3}[/tex].

Solución:
Dado que [tex]a,b,c[/tex] forman una progresión aritmética, podemos decir que
[tex]a=b-d[/tex], [tex]c=b+d[/tex]. [tex]b,c,d[/tex] forman una progresión geométrica, por lo que podemos decir que [tex]c=b \times q[/tex] y [tex]d=bq^2[/tex]. Escribiendo las sumas, obtenemos el sistema:
[tex]\begin{array}{|l}b-d+bq^2=37\\b+bq=36\\b+d=bq\end{array}[/tex]. Sumando las dos últimas, obtenemos [tex]2b+d+bq=36+bq[/tex], o [tex]d=36-2b[/tex]. Sustituimos en la primera y tercera ecuaciones y obtenemos
[tex]\begin{array}{|l}b+2b-36+bq^2=37\\b+36-2b=bq\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}(3+q^2)b=73\\b(q+1)=36\end{array}[/tex]. Dividimos estas dos para obtener
[tex]\frac{3+q^2}{q+1}=\frac{73}{36}[/tex]
[tex]108+36q^2=73+73q[/tex]
[tex]36q^2-73q+35=0[/tex]. Las soluciones son [tex]q_1=\frac{5}{4}[/tex] y [tex]q_2=\frac{7}{9}[/tex]. Ello conlleva a [tex]b=\frac{36}{q+1}[/tex]:
[tex]b_1=\frac{36}{1+\frac{5}{4}}=\frac{36 \times 4}{9}=16[/tex], [tex]c_1=b_1q=16 \times \frac{5}{4}=20[/tex], [tex]a_1=b_1-d=b_1-(c_1-b_1)=16-4=12[/tex] y [tex]d_1=c_1q=20 \times \frac{5}{4}=25[/tex]
y también [tex]b_2=\frac{36}{1+\frac{7}{9}}=\frac{36 \times 9}{16}=\frac{81}{4}[/tex] con [tex]c_2=b_2q=\frac{81}{4} \times \frac{7}{9}=\frac{63}{4}[/tex], [tex]a_2=b_2-(c_2-b_2)=\frac{81}{4}+\frac{18}{4}=\frac{99}{4}[/tex] y [tex]d_2=c_2q_2=\frac{63}{4} \times \frac{7}{9}=\frac{49}{4}[/tex]. Buscamos no enteros, pero [tex]a_1,b_1,c_1,d_1[/tex] no cumplen con esta condición. Por lo tanto la única respuesta que queda es [tex]d_2=\frac{49}{4}[/tex]

Solución:
Denotemos [tex]b=aq[/tex], [tex]c=aq^2[/tex].
Obtenemos la progresión aritmética [tex] a, aq, aq ^ 2-64 [/tex] y la progresión geométrica [tex] a, aq-8, aq ^ 2-64 [/tex]. Usando las propiedades respectivas de las progresiones (término medio), obtenemos el sistema:
[tex]\begin{array}{|l}2aq=a+aq^2-64\\(aq-8)^2=a(aq^2-64) \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}2aq=a+aq^2-64\\a^2q^2-16aq+64=a^2q^2-64a \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}2aq=a+aq^2-64\\aq=4+4a \end{array}[/tex]. Multiplicando la última por [tex]q[/tex] y aplicándolo recursivamente, obtenemos [tex]aq^2=4q+4aq=4q+16+16a[/tex]. Sustituimos en la primera ecuación:
[tex]2aq=a+aq^2-64[/tex], o [tex]8+8a=a+4q+16+16a-64[/tex]
[tex]9a+4q=56[/tex], o [tex]q=-\frac{9a}{4}+14[/tex]. Sustituyendo en [tex]aq=4+4a[/tex], obtenemos
[tex]a(-\frac{9a}{4}+14)=4+4a[/tex]
[tex]-\frac{9a^2}{4}+14a=4+4a[/tex]
[tex]-9a^2+40a-16=0[/tex]
[tex]9a^2-40a+16=0[/tex]: [tex]D=20^2-9 \times 16=16 \times 25-16 \times 9=16(25-9)=16^2[/tex]
[tex]a_{1,2}=\frac{20 \pm 16}{9}[/tex]. Dado que [tex]a[/tex] es un entero, la única solución que queda es
[tex]a=\frac{20+16}{9}=4[/tex]. [tex]q=14-\frac{9a}{4}=14-9=5[/tex] y [tex]c=aq^2=4 \times 5^2=100[/tex].

Solución:
El término [tex]k[/tex]-ésimo es [tex]3k \times 5k = 15k^2[/tex], así que la suma es
[tex]15\left(1^2+2^2+\dots+20^2\right)[/tex]
Usando [tex]1^2+2^2+\dots+n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}[/tex]:
[tex]15 \times \frac{20 \times 21 \times 41}{6} = 15 \times 2870 = 43\,050[/tex]

Solución:
Sea [tex]a_{1}=q; d=b_{1}=b[/tex]. Entonces
[tex]4q+6b=32; b(1+q)=12[/tex]
[tex]b=\dfrac{16-2q}{3}\Rightarrow (16-2q)(1+q)=36\iff q^{2}-7q+10=0\iff q=2[/tex] o [tex]q=5[/tex]
Para [tex]q=5[/tex] se obtiene [tex]b=2\lt a_{1}[/tex], así que [tex]q=2[/tex] y [tex]b_{1}=4\gt a_{1}=2[/tex]. Entonces [tex]b_{n}=4\times 2^{n-1}=2^{n+1}[/tex].
[tex]2^{10}=1024\lt 1996\lt 2048=2^{11}\Rightarrow n+1\ge 11\Rightarrow n=10[/tex]

Solución:
Restando las dos últimas condiciones: [tex]a_{3}-a_{1}=2d=12\Rightarrow d=6[/tex].
Sea [tex]a_{2}=b_{1}=x[/tex]; entonces [tex]a_{1}=x-6[/tex], [tex]a_{3}=x+6[/tex] y [tex]b_{3}=a_{1}+102=x+96[/tex]. La suma da
[tex]3x+x+b_{2}+x+96=192\Rightarrow b_{2}=96-5x[/tex]
[tex]b_{2}^{2}=b_{1}b_{3}\iff (96-5x)^{2}=x(x+96)\iff x^{2}-44x+384=0\iff x=12[/tex] o [tex]x=32[/tex]
Para [tex]x=32[/tex] la progresión geométrica es [tex]32; -64; 128[/tex], que no es creciente. Para [tex]x=12[/tex] es [tex]12; 36; 108[/tex] (la aritmética es [tex]6; 12; 18[/tex]). Así que [tex]b_{3}=108[/tex].

Solución:
[tex]a_{5}+a_{6}=2a_{1}+9d=k^{2}-k[/tex]
[tex]a_{2}-S_{4}-a_{5}=(a_{1}+d)-(4a_{1}+6d)-(a_{1}+4d)=-4a_{1}-9d\Rightarrow 4a_{1}+9d=k^{2}-k+2[/tex]
Restando la primera ecuación: [tex]2a_{1}=2\Rightarrow a_{1}=1[/tex] para todo [tex]k[/tex].
La derivada [tex]f'(x)=\dfrac{1-x^{2}}{(1+x^{2})^{2}}[/tex] cambia de signo de [tex]+[/tex] a [tex]-[/tex] en [tex]x=1[/tex], así que el máximo local es [tex]f(1)=\dfrac{1}{2}[/tex].
[tex]b_{1}=1; q=\dfrac{1}{2}; S_{10}=\dfrac{1-\left(\frac{1}{2}\right)^{10}}{1-\frac{1}{2}}=\dfrac{1023}{512}[/tex]

Solución:
Una sucesión que es a la vez progresión aritmética y geométrica es constante: de [tex]a_{1}+a_{3}=2a_{2}[/tex] y [tex]a_{1}a_{3}=a_{2}^{2}[/tex] se obtiene [tex](a_{1}-a_{3})^{2}=0[/tex], es decir, [tex]a_{1}=a_{2}=a_{3}[/tex].
Aquí [tex]y\gt 0; a_{1}=2^{3x}y^{3}; a_{2}=\dfrac{2^{x}}{y}[/tex].
[tex]a_{1}=a_{2}\iff 2^{2x}y^{4}=1\iff 2^{x}y^{2}=1; a_{2}=a_{3}\iff 2^{x}=5y^{2}[/tex]
[tex]5y^{4}=1\Rightarrow y=\dfrac{1}{\sqrt[4]{5}}; 2^{x}=\sqrt{5}\Rightarrow x=\dfrac{1}{2}\log_{2}5[/tex]

Solución:
Sean las raíces [tex]m-3t; m-t; m+t; m+3t[/tex]. Por las fórmulas de Vieta su suma es [tex]4m=4[/tex], así que [tex]m=1[/tex].
La suma de sus cuadrados es [tex]4+20t^{2}[/tex], así que la suma de sus productos dos a dos es [tex]\dfrac{4^{2}-(4+20t^{2})}{2}=6-10t^{2}[/tex]. Por Vieta vale [tex]6[/tex], luego [tex]t=0[/tex] y todas las raíces valen [tex]1[/tex]:
[tex](x-1)^{4}=x^{4}-4x^{3}+6x^{2}-4x+1\Rightarrow a=-4; b=1[/tex]

Solución:
Los ángulos son [tex]\beta-\delta; \beta; \beta+\delta[/tex], así que [tex]3\beta=180^{\circ}[/tex] y [tex]\beta=60^{\circ}[/tex].
Por el teorema de los senos, el lado opuesto a [tex]\beta[/tex] es [tex]b=2R\operatorname{sen} 60^{\circ}=R\sqrt{3}[/tex].
El segmento de tangente desde el vértice de [tex]\beta[/tex] hasta la circunferencia inscrita mide [tex]p-b[/tex], donde [tex]p[/tex] es el semiperímetro, así que
[tex]r=(p-b)\tan 30^{\circ}=\dfrac{p-b}{\sqrt{3}}\Rightarrow p=b+r\sqrt{3}=\sqrt{3}(R+r)[/tex]
[tex]S=pr=\sqrt{3}\,r(R+r)[/tex]

Solución:
Sea [tex]x=1+\dfrac{1}{n}[/tex]; entonces [tex]x-1=\dfrac{1}{n}[/tex] y [tex]S_{n}=\sum_{k=1}^{n}kx^{k-1}[/tex]. Así,
[tex]S_{n}-xS_{n}=1+x+x^{2}+\ldots+x^{n-1}-nx^{n}=\dfrac{x^{n}-1}{x-1}-nx^{n}=n(x^{n}-1)-nx^{n}=-n[/tex]
[tex](1-x)S_{n}=-n\iff -\dfrac{1}{n}S_{n}=-n\iff S_{n}=n^{2}[/tex]

Solución:
Sea [tex]d\gt 0[/tex] la diferencia y [tex]x=\dfrac{d}{a_{1}}\gt 0[/tex]. Entonces [tex]q=\dfrac{a_{1}+d}{a_{1}}=1+x[/tex], así que
[tex]b_{n}=a_{1}(1+x)^{n-1}; a_{n}=a_{1}+(n-1)d=a_{1}\left(1+(n-1)x\right)[/tex]
Por el binomio de Newton, para [tex]n-1\ge 2[/tex]: [tex](1+x)^{n-1}\ge 1+(n-1)x+\dfrac{(n-1)(n-2)}{2}x^{2}\gt 1+(n-1)x[/tex].
Multiplicando por [tex]a_{1}\gt 0[/tex] se obtiene [tex]b_{n}\gt a_{n}[/tex].

Solución:
Sea [tex]d[/tex] la diferencia. Como [tex]1[/tex] y [tex]\sqrt{2}[/tex] son términos, [tex]\sqrt{2}-1=sd[/tex] para algún entero no nulo [tex]s[/tex], así que [tex]d[/tex] es irracional y cada término es de la forma [tex]1+jd[/tex] con [tex]j[/tex] entero.
Supongamos que los términos distintos [tex]1+id; 1+jd; 1+ld[/tex] forman una progresión geométrica: [tex](1+jd)^{2}=(1+id)(1+ld)\iff (2j-i-l)+(j^{2}-il)d=0[/tex].
Si [tex]j^{2}\ne il[/tex], entonces [tex]d=\dfrac{i+l-2j}{j^{2}-il}[/tex] es racional, lo cual es una contradicción. Así que [tex]j^{2}=il[/tex] y [tex]2j=i+l[/tex], de donde [tex](i-l)^{2}=(i+l)^{2}-4il=4j^{2}-4j^{2}=0[/tex] e [tex]i=l[/tex], de nuevo una contradicción.

Solución:
[tex]3a_{2}=15; b_{2}^{3}=27\Rightarrow a_{2}=5; b_{2}=3; a_{2}+b_{2}=8[/tex]
Sean [tex]a_{1}=5-d; a_{3}=5+d; b_{1}=\dfrac{3}{q}; b_{3}=3q; u=a_{1}+b_{1}; v=a_{3}+b_{3}[/tex]. Entonces
[tex]uv=64; u+v=10+3\left(q+\dfrac{1}{q}\right)[/tex]
Como [tex]u+v\ge 2\sqrt{uv}=16[/tex], se tiene [tex]q\gt 0[/tex], así que [tex]a_{3}=v-3q\lt v[/tex]. Si [tex]v\le 32[/tex], entonces [tex]a_{3}\lt 32[/tex].
Si [tex]v=64[/tex] y [tex]u=1[/tex], entonces [tex]3q^{2}-55q+3=0[/tex], y la raíz menor [tex]q=\dfrac{55-7\sqrt{61}}{6}[/tex] da
[tex]a_{3}=64-3q=\dfrac{73+7\sqrt{61}}{2}\gt 32[/tex]
Este es el mayor valor posible.