Problema 1
Los números [tex] a, b, c [/tex], en el orden dado, forman una progresión geométrica no constante. Los números [tex] a, 2b, 3c [/tex] forman una progresión aritmética en el orden dado. Encuentre la razón común r de la progresión geométrica.
Solución:
De lo que se da, sabemos que [tex] b^2 = ac [/tex] y [tex] 4b = 3c + a [/tex]. Si cuadramos la última igualdad, obtenemos [tex] 16b^2 = a^2 + 6ac + 9c^2 [/tex]. Sustituyendo [tex] b^2 [/tex] por [tex] ac [/tex], el último se convierte en
[tex] a^2-10ac + 9c^2 = 0 [/tex], lo que significa que [tex] a = c [/tex] o [tex] a = 9c [/tex]. Supongamos que [tex] a = c [/tex]. Entonces la progresión aritmética se convierte en
[tex] c, 2b, 3c [/tex], que produce [tex] 4b = 3c + c = 4c [/tex], o [tex] b = c [/tex], que no es una solución (ya que la progresión geométrica no es constante).
Entonces [tex] a = 9c [/tex]. La progresión aritmética se convierte en [tex] 9c, 2b, 3c [/tex], lo que significa que [tex] 4b = 9c + 3c = 12c [/tex], o [tex] b = 3c [/tex]. La progresión geométrica se convierte en [tex] 9c, 3c, c [/tex], que obviamente tiene una proporción común [tex] r = \frac{1}{3}[/tex].
Problema 2
Sean [tex] a, b, c, d [/tex] números reales no enteros. Los números [tex] a, b, c [/tex] en dicho orden forman una progresión aritmética. Los números [tex] b, c, d [/tex] en dicho orden forman una progresión geométrica. Si [tex] a + d = 37 [/tex] y [tex] b + c = 36 [/tex], encuentre d.
Solución:
Dado que [tex]a,b,c[/tex] forman una progresión aritmética, podemos decir que
[tex]a=b-d[/tex], [tex]c=b+d[/tex]. [tex]b,c,d[/tex] forman una progresión geométrica, por lo que podemos decir que [tex]c=b.q[/tex] y [tex]d=bq^2[/tex]. Escribiendo las sumas, obtenemos el sistema:
[tex]\begin{array}{|l}b-d+bq^2=37\\b+bq=36\\b+d=bq\end{array}[/tex]. Sumando las dos últimas, obtenemos [tex]2b+d+bq=36+bq[/tex], o [tex]d=36-2b[/tex]. Sustituimos en la primera y tercera ecuaciones y obtenemos
[tex]\begin{array}{|l}b+2b-36+bq^2=37\\b+36-2b=bq\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}(3+q^2)b=73\\b(q+1)=36\end{array}[/tex]. Dividimos estas dos para obtener
[tex]\frac{3+q^2}{q+1}=\frac{73}{36}[/tex]
[tex]108+36q^2=73+73q[/tex]
[tex]36q^2-73q+35=0[/tex]. Las soluciones son [tex]q_1=\frac{5}{4}[/tex] y [tex]q_2=\frac{7}{9}[/tex]. Ello conlleva a [tex]b=\frac{36}{q+1}[/tex]:
[tex]b_1=\frac{36}{1+\frac{5}{4}}=\frac{36.4}{9}=16[/tex], [tex]c_1=b_1q=16.\frac{5}{4}=20[/tex], [tex]a_1=b_1-d=b_1-(c_1-b_1)=16-4=12[/tex] y [tex]d_1=c_1q=20.\frac{5}{4}=25[/tex]
y también [tex]b_2=\frac{36}{1+\frac{7}{9}}=\frac{36.9}{16}=\frac{81}{4}[/tex] con [tex]c_2=b_2q=\frac{81}{4}.\frac{7}{9}=\frac{63}{4}[/tex], [tex]a_2=b_2-(c_2-b_2)=\frac{81}{4}+\frac{18}{4}=\frac{99}{4}[/tex] y [tex]d_2=c_2q_2=\frac{63}{4}.\frac{7}{9}=\frac{49}{4}[/tex]. Buscamos no enteros, pero [tex]a_1,b_1,c_1,d_1[/tex] no cumplen con esta condición. Por lo tanto la única respuesta que queda es [tex]d_2=\frac{49}{4}[/tex]
Problema 3
Los números enteros [tex] a, b, c [/tex] forman una progresión geométrica. [tex] a, b, c-64 [/tex] forman una progresión aritmética. [tex] a, b-8, c-64 [/tex] forman una progresión geométrica nuevamente. Encuentre c.
Solución:
Denotemos [tex]b=aq[/tex], [tex]c=aq^2[/tex].
Obtenemos la progresión aritmética [tex] a, aq, aq ^ 2-64 [/tex] y la progresión geométrica [tex] a, aq-8, aq ^ 2-64 [/tex]. Usando las propiedades respectivas de las progresiones (término medio), obtenemos el sistema:
[tex]\begin{array}{|l}2aq=a+aq^2-64\\(aq-8)^2=a(aq^2-64) \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}2aq=a+aq^2-64\\a^2q^2-16aq+64=a^2q^2-64a \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}2aq=a+aq^2-64\\aq=4+4a \end{array}[/tex]. Multiplicando la última por q y aplicándolo recursivamente, obtenemos [tex]aq^2=4q+4aq=4q+16+16a[/tex]. Sustituimos en la primera ecuación:
[tex]2aq=a+aq^2-64[/tex], o [tex]8+8a=a+4q+16+16a-64[/tex]
[tex]9a+4q=56[/tex], o [tex]q=-\frac{9a}{4}+14[/tex]. Sustituyendo en [tex]aq=4+4a[/tex], obtenemos
[tex]a(-\frac{9a}{4}+14)=4+4a[/tex]
[tex]-\frac{9a^2}{4}+14a=4+4a[/tex]
[tex]-9a^2+40a-16=0[/tex]
[tex]9a^2-40a+16=0[/tex]: [tex]D=20^2-9.16=16.25-16.9=16(25-9)=16^2[/tex]
[tex]a_{1,2}=\frac{20 \pm 16}{9}[/tex]. Dado que a es un entero, la única solución que queda es
[tex]a=\frac{20+16}{9}=4[/tex]. [tex]q=14-\frac{9a}{4}=14-9=5[/tex] y [tex]c=aq^2=4.5^2=100[/tex].
Problema 4
Encuentre la suma de los primeros 20 términos de
[tex]3 \times 5+6 \times 10+9\times 15...[/tex]
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Fácil