Ecuaciones lineales paramétricas - problemas y soluciones

Solución:
El coeficiente de [tex]x[/tex] es [tex]1[/tex] y nunca es cero, por lo que para cualquier valor del parámetro la ecuación tiene exactamente una solución.
Restamos [tex]a[/tex] en ambos miembros:
[tex]x=2a+1-a[/tex]
[tex]x=a+1[/tex]
Por lo tanto, para todo valor real de [tex]a[/tex] la ecuación tiene la solución única [tex]x=a+1[/tex].

Solución:
Si [tex]x=2[/tex] es solución, al sustituirlo debe obtenerse una igualdad verdadera. Sustituimos [tex]x=2[/tex] en la ecuación:
[tex]a\cdot 2=a+3[/tex]
Ahora tenemos una ecuación lineal corriente, pero la incógnita es el parámetro [tex]a[/tex]:
[tex]2a-a=3[/tex]
[tex]a=3[/tex]
Comprobación: para [tex]a=3[/tex] la ecuación es [tex]3x=6[/tex], cuya solución es efectivamente [tex]x=2[/tex].
Respuesta: [tex]a=3[/tex]

Solución:
Si podemos dividir por [tex]a[/tex], siempre existe la solución [tex]x=\frac{1}{a}[/tex]. Verifiquemos el caso donde no podemos dividir por [tex]a[/tex], en otras palabras [tex]a=0[/tex]. Obtenemos la ecuación [tex]0x=1[/tex], la cual no tiene soluciones. Por lo tanto la respuesta del problema es [tex]a=0[/tex].

Solución:
Una ecuación de la forma [tex]mx=b[/tex] no tiene solución solo cuando el coeficiente [tex]m[/tex] es cero y [tex]b[/tex] no lo es. Igualamos primero el coeficiente a cero:
[tex]a^3+1=0[/tex]
[tex]a^3=-1[/tex]
[tex]a=-1[/tex]
Comprobamos el segundo miembro para [tex]a=-1[/tex]: [tex]109+(-1)=108[/tex], que no es cero. La ecuación queda [tex]0x=108[/tex] y efectivamente no tiene solución.
Respuesta: [tex]a=-1[/tex].

Solución:
La ecuación puede no tener solución solo cuando el coeficiente de [tex]x[/tex] es cero:
[tex]a^2-1=0[/tex], es decir [tex]a=1[/tex] o [tex]a=-1[/tex].
Hay que comprobar los dos valores, porque no basta con que el coeficiente sea cero — el segundo miembro también debe ser distinto de cero.
Para [tex]a=1[/tex]: [tex]0x=2[/tex] — no tiene solución.
Para [tex]a=-1[/tex]: [tex]0x=0[/tex] — todo [tex]x[/tex] es solución.
Por lo tanto, el único valor buscado es [tex]a=1[/tex].

Solución:
Aquí la incógnita aparece en ambos miembros, así que primero pasamos los términos con [tex]x[/tex] a la izquierda y los demás a la derecha:
[tex]ax-2x=a-4[/tex]
[tex](a-2)x=a-4[/tex]
Solo ahora podemos observar el coeficiente. Es cero para [tex]a=2[/tex], y entonces el segundo miembro vale [tex]2-4=-2[/tex], que no es cero.
La ecuación queda [tex]0x=-2[/tex] y no tiene solución.
Respuesta: [tex]a=2[/tex]

Solución:
Para cualquier [tex]x[/tex], el valor del lado izquierdo es cero. Obtenemos [tex]b-7=0[/tex], o [tex]b=7[/tex]. Al sustituir, obtenemos [tex]0x=0[/tex], que tiene infinitas soluciones.

Solución:
Para que una ecuación tenga alguna [tex]x[/tex] como solución, debe ser de la forma [tex]0x=0[/tex]. Lo que significa que [tex](a-2)=(a-2)^2=0[/tex], o [tex]a=2[/tex].

Solución:
Todo [tex]x[/tex] es solución solo si la ecuación toma la forma [tex]0x=0[/tex]. Es decir, tanto el coeficiente como el segundo miembro deben ser cero:
[tex]a-4=0[/tex] y [tex]a^2-16=0[/tex]
De la primera ecuación [tex]a=4[/tex]. Lo comprobamos en la segunda: [tex]4^2-16=0[/tex] — se cumple.
Para [tex]a=4[/tex] la ecuación queda [tex]0x=0[/tex], por lo que todo número real es solución.
(Para [tex]a\neq 4[/tex] podemos dividir entre [tex]a-4[/tex] y obtenemos la única solución [tex]x=a+4[/tex].)
Respuesta: [tex]a=4[/tex].

Solución:
Una ecuación tiene infinitas soluciones solo cuando toma la forma [tex]0x=0[/tex]. Por eso el coeficiente y el segundo miembro deben ser ambos cero.
De [tex]a+1=0[/tex] obtenemos [tex]a=-1[/tex]. Comprobamos el segundo miembro: [tex](-1)^2-1=0[/tex] — también se anula.
Para [tex]a=-1[/tex] la ecuación es [tex]0x=0[/tex] y todo número real es solución.
(Para [tex]a\neq -1[/tex] factorizamos [tex]a^2-1=(a-1)(a+1)[/tex] y dividimos, lo que da la única solución [tex]x=a-1[/tex].)
Respuesta: [tex]a=-1[/tex]

Solución:
Todo depende del coeficiente [tex]a[/tex].
Primer caso: [tex]a\neq 0[/tex]. Dividimos ambos miembros entre [tex]a[/tex] y obtenemos la única solución [tex]x=4[/tex]. Observa que esta solución no depende del parámetro.
Segundo caso: [tex]a=0[/tex]. La ecuación queda [tex]0x=0[/tex], que se cumple para todo [tex]x[/tex], así que todo número real es solución.

Solución:
Factorizamos el segundo miembro:
[tex](a-3)x=(a-3)(a+3)[/tex]
Todo depende del coeficiente [tex]a-3[/tex].
Primer caso: [tex]a\neq 3[/tex]. Entonces [tex]a-3\neq 0[/tex] y podemos dividir ambos miembros entre él, lo que da la única solución [tex]x=a+3[/tex].
Segundo caso: [tex]a=3[/tex]. La ecuación queda [tex]0x=0[/tex], que se cumple para todo [tex]x[/tex], así que todo número real es solución.
Observa que no hay ningún valor de [tex]a[/tex] para el que esta ecuación no tenga solución.

Solución:
El segundo miembro es [tex]5[/tex] y nunca es cero, por lo que la ecuación no puede tener la forma [tex]0x=0[/tex] — aquí son imposibles las infinitas soluciones.
Primer caso: [tex]a\neq 1[/tex]. Entonces [tex]a-1\neq 0[/tex] y dividimos entre él: [tex]x=\frac{5}{a-1}[/tex].
Segundo caso: [tex]a=1[/tex]. La ecuación queda [tex]0x=5[/tex], que es falsa para todo [tex]x[/tex], así que no tiene solución.

Solución:
Si la ecuación ha de no estar definida, entonces el denominador debe ser cero. El único denominador es [tex]a+5[/tex], de tal manera que obtenemos [tex]a=-5[/tex]

Solución:
El punto de corte está en la primera gráfica: [tex]x=2 \Rightarrow 3y=-1-2=-3 \Rightarrow y=-1[/tex].
El punto [tex](2; -1)[/tex] también está en la segunda gráfica:
[tex]-1=7-2a \Rightarrow 2a=8 \Rightarrow a=4[/tex]

Solución:
[tex]10-2x=5a-10x \Rightarrow 8x=5a-10 \Rightarrow x=\frac{5a-10}{8}[/tex]
[tex]\frac{5a-10}{8}\ge 0 \Rightarrow 5a-10\ge 0 \Rightarrow a\ge 2[/tex]

Solución:
Dos ecuaciones son equivalentes cuando tienen las mismas soluciones.
La segunda ecuación tiene la única raíz [tex]x=5[/tex], así que [tex]x=5[/tex] debe ser la única raíz de la primera:
[tex]5a-2=a \Rightarrow 4a=2 \Rightarrow a=\frac{1}{2}[/tex]
Para [tex]a=\frac{1}{2}[/tex] la primera ecuación es [tex]\frac{1}{2}x=\frac{5}{2}[/tex], es decir, [tex]x=5[/tex], la única raíz.

Solución:
[tex]mx-2x=3n-9 \Rightarrow (m-2)x=3n-9[/tex]
Todo [tex]x[/tex] es solución solo cuando la ecuación se convierte en [tex]0\times x=0[/tex]:
[tex]m-2=0[/tex] y [tex]3n-9=0 \Rightarrow m=2; n=3[/tex]