Problemas de ecuaciones recíprocas - problemas y soluciones

Solución:
Vemos que es una ecuación recíproca, entonces la dividimos por [tex]x^2[/tex]: [tex]\frac{x^4}{x^2}-3\frac{x^3}{x^2}+4\frac{x^2}{x^2}-3\frac{x}{x^2}+\frac{1}{x^2}=0[/tex]
[tex]x^2+\frac{1}{x^2}-3(x+\frac{1}{x})+4=0[/tex]. Véase como en el paso previo agrupamos términos equidistantes. Ahora hacemos el siguiente cambio de variable [tex]x+\frac{1}{x}=u[/tex]. Elevando al cuadrado obtenemos [tex]x^2+2x \times \frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}=u^2[/tex], o [tex]x^2+\frac{1}{x^2}=u^2-2[/tex]. Insertamos estas expresiones en la ecuación para sustituir por completo la variable x por la variable u, y obtenemos
[tex]u^2-2-3u+4=0[/tex], o [tex]u^2-3u+2=0[/tex]. Las soluciones son [tex]u_1=1[/tex] y [tex]u_2=2[/tex]. Así que sustituyendo los valores de u de regreso en las ecuaciones de sustitución obtenemos dos ecuaciones de segundo grado [tex]x+\frac{1}{x}=1[/tex] o [tex]x+\frac{1}{x}=2[/tex]. De la primera ecuación obtenemos [tex]x^2-x+1=0[/tex], lo cual no tiene soluciones. De la segunda obtenemos [tex]x^2-2x+1=0[/tex], o [tex]x=1[/tex].

Solución:
Dado que esta es una ecuación recíproca con coeficientes alternos, [tex]x=1[/tex] es una solución. Reagrupamos: [tex]x^5-1+3x^4-3x+2x^3-2x^2=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+x^2+x+1)+3x(x^3-1)+2x^2(x-1)=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+1)+(x-1)3x(x^2+x+1)=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+1+3x(x^2+x+1))=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+x^3+3x^2+x+1+3x^3+3x^2+3x)=0[/tex]
[tex](x-1)(x^4+4x^3+6x^2+4x+1)=0[/tex]
[tex](x-1)(x+1)^4=0[/tex], por lo tanto las soluciones son [tex]x=1[/tex] y [tex]x=-1[/tex].

Solución:
[tex]\left(x^3+1\right)-4x(x+1)=(x+1)\left(x^2-x+1-4x\right)=(x+1)\left(x^2-5x+1\right)=0[/tex]
[tex]x_1=-1; x_{2,3}=\dfrac{5\pm\sqrt{21}}{2}[/tex]

Solución:
Dividimos entre [tex]x^2\ne 0[/tex] y hacemos [tex]t=x+\dfrac{1}{x}[/tex] [tex]\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\right)[/tex]:
[tex]t^2-6t+5=0 \Rightarrow t=1; t=5[/tex]
Para [tex]x[/tex] real: [tex]\left|x+\dfrac{1}{x}\right|\ge 2[/tex]. [tex]t=1[/tex] — no tiene raíces reales.
[tex]t=5:\ x^2-5x+1=0 \Rightarrow x=\dfrac{5\pm\sqrt{21}}{2}[/tex]

Solución:
Dividimos entre [tex]x^2\ne 0[/tex] y hacemos [tex]t=x+\dfrac{1}{x}[/tex] [tex]\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\right)[/tex]:
[tex]t^2-7t+12=0 \Rightarrow t=3; t=4[/tex]
[tex]t=3:\ x^2-3x+1=0 \Rightarrow x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}[/tex]
[tex]t=4:\ x^2-4x+1=0 \Rightarrow x=2\pm\sqrt{3}[/tex]

Solución:
Dividimos entre [tex]x^2\ne 0[/tex] y hacemos [tex]t=x+\dfrac{1}{x}[/tex] [tex]\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\right)[/tex]:
[tex]2\left(t^2-2\right)+3t+5=0 \iff 2t^2+3t+1=0 \Rightarrow t=-1; t=-\dfrac{1}{2}[/tex]
Para [tex]x[/tex] real: [tex]\left|x+\dfrac{1}{x}\right|\ge 2[/tex]. [tex]|t|\lt 2[/tex] — no tiene raíces reales.