Resolución de inecuaciones trigonométricas - problemas y soluciones

Solución:
La función [tex]\tan x[/tex] tiene período [tex]\pi[/tex] y es creciente en [tex]\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex]. Como [tex]\tan 0=0[/tex] y [tex]\tan \frac{\pi}{3}=\sqrt{3}[/tex], en este intervalo
[tex]0\lt\tan x\lt\sqrt{3}\iff 0\lt x\lt\frac{\pi}{3}[/tex]
Añadiendo el período: [tex]x\in\left(k\pi; \frac{\pi}{3}+k\pi\right),\ k\in\mathbb{Z}[/tex].

Solución:
Como [tex]\operatorname{sen} x\cos x=\frac{1}{2}\operatorname{sen} 2x[/tex], la inecuación se convierte en
[tex]\operatorname{sen} 2x\gt 1[/tex]
Pero [tex]\operatorname{sen} 2x\le 1[/tex] para todo [tex]x[/tex], así que la inecuación no tiene soluciones.

Solución:
Sea [tex]t=3x-\frac{\pi}{4}[/tex]. Entonces [tex]\operatorname{sen} t\gt\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], lo que en la circunferencia unitaria significa
[tex]\frac{\pi}{3}+2k\pi\lt t\lt\frac{2\pi}{3}+2k\pi\iff\frac{7\pi}{12}+2k\pi\lt 3x\lt\frac{11\pi}{12}+2k\pi[/tex]
Dividiendo entre [tex]3[/tex]: [tex]\frac{7\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3}\lt x\lt\frac{11\pi}{36}+\frac{2k\pi}{3},\ k\in\mathbb{Z}[/tex].

Solución:
Factorizamos:
[tex]\left(\operatorname{sen} x-\frac{1}{2}\right)\left(\operatorname{sen} x+\frac{1}{2}\right)\le 0\iff-\frac{1}{2}\le\operatorname{sen} x\le\frac{1}{2}[/tex]
En [tex]\left(0; 2\pi\right)[/tex] la condición [tex]\operatorname{sen} x\le\frac{1}{2}[/tex] da [tex]\left(0; \frac{\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{6}; 2\pi\right)[/tex], y [tex]\operatorname{sen} x\ge-\frac{1}{2}[/tex] da [tex]\left(0; \frac{7\pi}{6}\right]\cup\left[\frac{11\pi}{6}; 2\pi\right)[/tex]. La respuesta es la intersección de ambos conjuntos.

Solución:
Como [tex]\cot \left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)=\tan \alpha[/tex], se tiene [tex]\cot \left(\frac{\pi}{4}-x\right)=\tan \left(\frac{\pi}{4}+x\right)[/tex], y
[tex]\tan t\ge\sqrt{3}\iff\frac{\pi}{3}+k\pi\le t\lt\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]
Con [tex]t=\frac{\pi}{4}+x[/tex] se obtiene [tex]\frac{\pi}{12}+k\pi\le x\lt\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex]. Solo [tex]k=-1[/tex] da puntos de [tex]\left[-\pi; 0\right][/tex]: [tex]-\frac{11\pi}{12}\le x\lt-\frac{3\pi}{4}[/tex]. La menor solución es [tex]x=-\frac{11\pi}{12}[/tex].