Resolución de inecuaciones trigonométricas - problemas difíciles y soluciones

Solución:
En la circunferencia unitaria la inecuación da
[tex]x\in\left(-\frac{\pi}{6}+2k\pi; \frac{\pi}{3}+2k\pi\right]\cup\left[\frac{2\pi}{3}+2k\pi; \frac{7\pi}{6}+2k\pi\right)[/tex]
Con [tex]\pi\approx 3{,} 1416[/tex], las partes dentro de [tex]\left[0; 10\right][/tex] son aproximadamente [tex]\left[0; 1{,} 05\right][/tex], [tex]\left[2{,} 09; 3{,} 67\right)[/tex], [tex]\left(5{,} 76; 7{,} 33\right][/tex] y [tex]\left[8{,} 38; 9{,} 95\right)[/tex]. Contienen los enteros [tex]0; 1; 3; 6; 7; 9[/tex], así que hay [tex]6[/tex] soluciones enteras.

Solución:
Dominio: [tex]\cos x\ne-1[/tex] y [tex]\operatorname{sen} x\ne-1[/tex]; entonces ambos denominadores son positivos. Multiplicamos por [tex](1+\cos x)(1+\operatorname{sen} x)\gt 0[/tex] y usamos [tex]\operatorname{sen} ^2 x+\cos^2 x=1[/tex]:
[tex]\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} ^2 x+\cos x+\cos^2 x\ge 1+\operatorname{sen} x+\cos x+\operatorname{sen} x\cos x\iff\operatorname{sen} x\cos x\le 0[/tex]
Por lo tanto, [tex]x\in\left[-\frac{\pi}{2}+2k\pi; 2k\pi\right]\cup\left[\frac{\pi}{2}+2k\pi; \pi+2k\pi\right][/tex]; los puntos [tex]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] y [tex]x=\pi+2k\pi[/tex] no están en el dominio y se excluyen.

Solución:
Si [tex]x\le 0[/tex], entonces [tex]\operatorname{sen} |x|=\operatorname{sen} (-x)=-\operatorname{sen} x[/tex] y el lado izquierdo es [tex]0[/tex], así que todo [tex]x\le 0[/tex] es solución. Si [tex]x\gt 0[/tex], la inecuación es [tex]2\operatorname{sen} x\le 1[/tex], es decir, [tex]\operatorname{sen} x\le\frac{1}{2}[/tex]:
[tex]x\in\left[\frac{5\pi}{6}+2k\pi; \frac{13\pi}{6}+2k\pi\right][/tex]
Para [tex]x\gt 0[/tex] esto da [tex]\left(0; \frac{\pi}{6}\right][/tex] y los intervalos con [tex]k=0; 1; 2; \ldots[/tex] Junto con [tex]x\le 0[/tex] se obtiene la respuesta.

Solución:
Pasamos todo a la izquierda y agrupamos:
[tex]2\operatorname{sen} x(2\cos x+1)-\sqrt{2}(2\cos x+1)\lt 0\iff(2\cos x+1)\left(2\operatorname{sen} x-\sqrt{2}\right)\lt 0[/tex]
Caso [tex]1[/tex]: [tex]\cos x\gt-\frac{1}{2}[/tex] y [tex]\operatorname{sen} x\lt\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], de donde [tex]x\in\left(-\frac{2\pi}{3}+2k\pi; \frac{\pi}{4}+2k\pi\right)[/tex]. Caso [tex]2[/tex]: [tex]\cos x\lt-\frac{1}{2}[/tex] y [tex]\operatorname{sen} x\gt\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], de donde [tex]x\in\left(\frac{2\pi}{3}+2k\pi; \frac{3\pi}{4}+2k\pi\right)[/tex]. La respuesta es la unión de los dos casos.

Solución:
Como [tex]\sqrt{4^2+6^2}=\sqrt{52}=2\sqrt{13}[/tex], podemos escribir
[tex]4\operatorname{sen} x+6\cos x=2\sqrt{13}\operatorname{sen} (x+\varphi); \quad\cos\varphi=\frac{2}{\sqrt{13}}; \ \operatorname{sen} \varphi=\frac{3}{\sqrt{13}}; \ \varphi=\arctan \frac{3}{2}[/tex]
La inecuación se convierte en [tex]\left|\operatorname{sen} (x+\varphi)\right|\lt 1[/tex]. Solo falla cuando [tex]\operatorname{sen} (x+\varphi)=\pm 1[/tex], es decir, [tex]x+\varphi=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex]. Por lo tanto, [tex]x\ne\frac{\pi}{2}-\arctan \frac{3}{2}+k\pi=\arctan \frac{2}{3}+k\pi[/tex].

Solución:
Usando [tex]\operatorname{sen} 3x=3\operatorname{sen} x-4\operatorname{sen} ^3 x[/tex]:
[tex]2\operatorname{sen} ^2 x-\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} 3x=2\operatorname{sen} x+2\operatorname{sen} ^2 x-4\operatorname{sen} ^3 x=2\operatorname{sen} x(1-\operatorname{sen} x)(1+2\operatorname{sen} x)[/tex]
El factor [tex]1-\operatorname{sen} x[/tex] nunca es negativo y vale [tex]0[/tex] solo cuando [tex]\operatorname{sen} x=1[/tex]. Así que se necesita [tex]\operatorname{sen} x(1+2\operatorname{sen} x)\gt 0[/tex] y [tex]\operatorname{sen} x\ne 1[/tex], es decir, [tex]0\lt\operatorname{sen} x\lt 1[/tex] o [tex]\operatorname{sen} x\lt-\frac{1}{2}[/tex]. Lo primero da [tex]x\in\left(2k\pi; \pi+2k\pi\right)[/tex] sin [tex]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]; lo segundo da [tex]x\in\left(\frac{7\pi}{6}+2k\pi; \frac{11\pi}{6}+2k\pi\right)[/tex].

Solución:
Sea [tex]t=\cos x[/tex]. La raíz existe para [tex]4t+2\ge 0[/tex], es decir, [tex]t\ge-\frac{1}{2}[/tex]. Si [tex]3t+\frac{1}{2}\lt 0[/tex], es decir, [tex]-\frac{1}{2}\le t\lt-\frac{1}{6}[/tex], la inecuación se cumple. Si [tex]t\ge-\frac{1}{6}[/tex], elevamos al cuadrado:
[tex]4t+2\ge 9t^2+3t+\frac{1}{4}\iff 36t^2-4t-7\le 0\iff-\frac{7}{18}\le t\le\frac{1}{2}[/tex]
Junto con [tex]t\ge-\frac{1}{6}[/tex] esto da [tex]-\frac{1}{6}\le t\le\frac{1}{2}[/tex]. Uniendo ambos casos: [tex]-\frac{1}{2}\le\cos x\le\frac{1}{2}[/tex], de donde [tex]x\in\left[\frac{\pi}{3}+k\pi; \frac{2\pi}{3}+k\pi\right],\ k\in\mathbb{Z}[/tex].