Resolución de inecuaciones trigonométricas - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
Sea [tex]s=\operatorname{sen} x[/tex]. Como [tex]\cos 2x=1-2s^2[/tex], la inecuación es [tex]7-4s^2\le 3\left|2s-1\right|[/tex].
Si [tex]s\ge\frac{1}{2}[/tex]: [tex]7-4s^2\le 6s-3\iff(s-1)(2s+5)\ge 0[/tex], de donde [tex]s\ge 1[/tex], es decir, [tex]s=1[/tex]. Si [tex]s\lt\frac{1}{2}[/tex]: [tex]7-4s^2\le 3-6s\iff(s-2)(2s+1)\ge 0[/tex], de donde [tex]s\le-\frac{1}{2}[/tex].
Por último, [tex]\operatorname{sen} x=1\iff x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex], y [tex]\operatorname{sen} x\le-\frac{1}{2}\iff x\in\left[\frac{7\pi}{6}+2k\pi; \frac{11\pi}{6}+2k\pi\right][/tex].

Solución:
Transformamos los productos en sumas:
[tex]\operatorname{sen} x\operatorname{sen} 3x=\frac{1}{2}(\cos 2x-\cos 4x); \quad\operatorname{sen} 5x\operatorname{sen} 7x=\frac{1}{2}(\cos 2x-\cos 12x)[/tex]
La inecuación se convierte en [tex]\cos 12x\gt\cos 4x[/tex], es decir,
[tex]\cos 4x-\cos 12x=2\operatorname{sen} 8x\operatorname{sen} 4x=4\operatorname{sen} ^2 4x\cos 4x\lt 0[/tex]
Por lo tanto, [tex]\cos 4x\lt 0[/tex] y [tex]\operatorname{sen} 4x\ne 0[/tex]: [tex]\frac{\pi}{2}+2k\pi\lt 4x\lt\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/tex] y [tex]4x\ne\pi+2k\pi[/tex]. Dividiendo entre [tex]4[/tex]: [tex]\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}\lt x\lt\frac{3\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}[/tex] y [tex]x\ne\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/tex].

Solución:
Todos los lados deben ser positivos. [tex]\operatorname{sen} x\gt 0[/tex] y [tex]\operatorname{sen} 2x\gt 0[/tex] dan [tex]x\in\left(2k\pi; \frac{\pi}{2}+2k\pi\right)[/tex]; entonces [tex]\operatorname{sen} 3x\gt 0[/tex] da [tex]x\in\left(2k\pi; \frac{\pi}{3}+2k\pi\right)[/tex]. Sea [tex]0\lt x\lt\frac{\pi}{3}[/tex] (sumar [tex]2k\pi[/tex] no cambia nada); comprobamos las desigualdades triangulares:
[tex]\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} 2x-\operatorname{sen} 3x=2\operatorname{sen} x(\cos x-\cos 2x)\gt 0[/tex]
[tex]\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} 3x-\operatorname{sen} 2x=\operatorname{sen} 2x(2\cos x-1)\gt 0[/tex]
[tex]\operatorname{sen} 2x+\operatorname{sen} 3x-\operatorname{sen} x=4\operatorname{sen} x\cos\frac{3x}{2}\cos\frac{x}{2}\gt 0[/tex]
La primera se cumple porque [tex]0\lt x\lt 2x\lt\pi[/tex], la segunda porque [tex]\cos x\gt\frac{1}{2}[/tex], la tercera porque [tex]\frac{3x}{2}\lt\frac{\pi}{2}[/tex]. Por lo tanto, [tex]x\in\left(2k\pi; \frac{\pi}{3}+2k\pi\right),\ k\in\mathbb{Z}[/tex].

Solución:
Sea [tex]t=\left|\cos x\right|[/tex], es decir, [tex]0\le t\le 1[/tex] y [tex]\cos 2x=2t^2-1[/tex]. Si [tex]t\ge\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], el lado izquierdo es al menos [tex]t\ge\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Si [tex]0\le t\lt\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], entonces [tex]2t^2-1\lt 0[/tex] y el lado izquierdo es igual a
[tex]f(t)=t+1-2t^2[/tex]
La gráfica de [tex]f[/tex] es una parábola abierta hacia abajo, así que en [tex]\left[0; \frac{\sqrt{2}}{2}\right][/tex] su mínimo está en un extremo: [tex]f(0)=1[/tex] y [tex]f\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. Por lo tanto, el lado izquierdo es siempre al menos [tex]\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]. La igualdad se da para [tex]x=\frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}[/tex].

Solución:
La raíz exige [tex]\pi^2-4x^2\ge 0[/tex], es decir, [tex]-\frac{\pi}{2}\le x\le\frac{\pi}{2}[/tex]. Además [tex]\tan x[/tex] y [tex]\cot x[/tex] deben existir, así que [tex]x\in\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)\cup\left(0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex]. Para [tex]x\in\left(-\frac{\pi}{2}; 0\right)[/tex] el lado izquierdo es negativo y el derecho positivo, así que ahí no hay soluciones. Para [tex]x\in\left(0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex], por la desigualdad entre las medias aritmética y geométrica,
[tex]\tan x+2\cot x\ge 2\sqrt{2\tan x\cot x}=2\sqrt{2}\gt 2[/tex]
El lado derecho es como máximo [tex]\sqrt[6]{\pi^2}=\sqrt[3]{\pi}\lt\sqrt[3]{8}=2[/tex]. Por lo tanto, todo [tex]x\in\left(0; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] es solución.

Solución:
Sea [tex]t=\operatorname{sen} x-\cos x=\sqrt{2}\operatorname{sen} \left(x-\frac{\pi}{4}\right)[/tex], es decir, [tex]-\sqrt{2}\le t\le\sqrt{2}[/tex]. Como [tex]t^2=1-\operatorname{sen} 2x[/tex], se tiene [tex]\operatorname{sen} 2x=1-t^2[/tex]. La inecuación se convierte en
[tex]t-t^3\ge\sqrt{2}\iff t^3-t+\sqrt{2}\le 0\iff\left(t+\sqrt{2}\right)\left(t^2-\sqrt{2}t+1\right)\le 0[/tex]
El segundo factor es positivo para todo [tex]t[/tex] (discriminante negativo), así que [tex]t\le-\sqrt{2}[/tex]; junto con [tex]t\ge-\sqrt{2}[/tex] se obtiene [tex]t=-\sqrt{2}[/tex]. Entonces [tex]\operatorname{sen} \left(x-\frac{\pi}{4}\right)=-1[/tex], de donde [tex]x-\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex], es decir, [tex]x=-\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex].

Solución:
Como [tex]x-\frac{\pi}{3}=\left(x+\frac{\pi}{6}\right)-\frac{\pi}{2}[/tex], se tiene [tex]\operatorname{sen} \left(x-\frac{\pi}{3}\right)=-\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)[/tex]. Con [tex]t=\cos\left(x+\frac{\pi}{6}\right)[/tex]:
[tex]2t^2-3t+1\ge 0\iff(2t-1)(t-1)\ge 0[/tex]
es decir, [tex]t\le\frac{1}{2}[/tex] o [tex]t\ge 1[/tex]. El caso [tex]t\ge 1[/tex] significa [tex]t=1[/tex]: [tex]x+\frac{\pi}{6}=2k\pi[/tex], [tex]x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex]. El caso [tex]t\le\frac{1}{2}[/tex]:
[tex]\frac{\pi}{3}+2k\pi\le x+\frac{\pi}{6}\le\frac{5\pi}{3}+2k\pi\iff\frac{\pi}{6}+2k\pi\le x\le\frac{3\pi}{2}+2k\pi[/tex]
No olvides los puntos aislados [tex]x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex].