Aplicaciones de las Derivadas - problemas y soluciones

Solución:
$y=\frac{x^{3}}{4}-3x\Longrightarrow y'=\frac{3}{4}x^{2}-3$

Resolvemos $y'=0$:

$\frac{3}{4}x^{2}=3\Longrightarrow x^{2}=4\Longrightarrow x=\pm 2$

Los intervalos de monotonía son $\left( -\infty ,-2\right),\ \left( -2,2\right),\ \left( 2,\infty \right)$

Evaluamos el signo de la derivada en un punto de cada intervalo:

$y'(-3)=\frac{3}{4}(-3)^{2}-3=\frac{27}{4}-3>0$, por lo tanto la función es creciente en $\left( -\infty ,-2\right)$

$y'(0)=\frac{3}{4}(0)^{2}-3=-3<0$, por lo tanto la función es decreciente en $\left( -2,2\right)$

$y'(3)=\frac{3}{4}(3)^{2}-3=\frac{27}{4}-3>0$, por lo tanto la función es creciente en $\left( 2,\infty \right)$

Respuesta: creciente en $\left( -\infty ,-2\right)$ y $\left( 2,\infty \right)$, decreciente en $\left( -2,2\right)$

Solución:
$f(x)=x^{4}-2x^{2}\Longrightarrow f'(x)=4x^{3}-4x=0$
Resolvemos la ecuación:

$4x^{3}-4x=4x(x^{2}-1)=0\Longrightarrow x=0,\ -1,\ 1$

Los intervalos de monotonía son $(-\infty ,-1),\ (-1,0),\ (0,1),\ (1,\infty )$

Evaluamos $f'(a)$ en un valor $a$ de cada intervalo:

$f'(-2)=4(-2)^{3}-4(-2)=-32+8<0$, por lo tanto $f$ es decreciente en $(-\infty ,-1)$

$f'(-\frac{1}{2})=4\left( -\frac{1}{2}\right)^{3}-4\left( -\frac{1}{2}\right) =-\frac{1}{2}+2>0$, por lo tanto $f$ es creciente en $(-1,0)$

$f'(\frac{1}{2})=4\left( \frac{1}{2}\right)^{3}-4\left( \frac{1}{2}\right) =\frac{1}{2}-2<0$, por lo tanto $f$ es decreciente en $(0,1)$

$f'(2)=4(2)^{3}-4(2)=32-8>0$, por lo tanto $f$ es creciente en $(1,\infty )$

La afirmación (i) es falsa, porque en $x=0$ la función pasa de creciente a decreciente.

Respuesta: (ii), (iii), (iv) son verdaderas.

Solución:
$h(x)=27x-x^{3}\Longrightarrow h'(x)=27-3x^{2}=0\Longrightarrow x=\pm 3$

Los intervalos de monotonía son $\left( -\infty ,-3\right),\ \left( -3,3\right),\ \left( 3,\infty \right)$

$h'(-4)=27-3\left( -4\right)^{2}=27-48<0\Longrightarrow$ la función es decreciente en $\left( -\infty ,-3\right)$

$h'(0)=27-3\left( 0\right)^{2}=27>0\Longrightarrow$ la función es creciente en $\left( -3,3\right)$

$h'(4)=27-3\left( 4\right)^{2}=27-48<0\Longrightarrow$ la función es decreciente en $\left( 3,\infty \right)$

Respuesta: creciente en $\left( -3,3\right)$ y decreciente en $\left( -\infty ,-3\right) \cup \left( 3,\infty \right)$

Solución:
$y=x+\frac{4}{x}\Longrightarrow y'=1-\frac{4}{x^{2}}=\frac{x^{2}-4}{x^{2}}$

$y'=0$ cuando $x^{2}-4=0$, es decir $x=\pm 2$. El punto $x=0$ no pertenece al dominio, pero también divide la recta numérica.

Los intervalos de monotonía son $\left( -\infty ,-2\right),\ \left( -2,0\right),\ \left( 0,2\right),\ \left( 2,\infty \right)$

$y'(-3)=\frac{9-4}{9}>0$, por lo tanto la función es creciente en $\left( -\infty ,-2\right)$

$y'(-1)=\frac{1-4}{1}<0$, por lo tanto la función es decreciente en $\left( -2,0\right)$

$y'(1)=\frac{1-4}{1}<0$, por lo tanto la función es decreciente en $\left( 0,2\right)$

$y'(3)=\frac{9-4}{9}>0$, por lo tanto la función es creciente en $\left( 2,\infty \right)$

Respuesta: creciente en $\left( -\infty ,-2\right) \cup \left( 2,\infty \right)$ y decreciente en $\left( -2,0\right) \cup \left( 0,2\right)$

Solución:
Primero hallamos los puntos críticos:

$f'(x)=2\left( x-1\right) \left( x+3\right) +\left( x-1\right)^{2}$

$f'(x)=2x^{2}+4x-6+x^{2}-2x+1=3x^{2}+2x-5=0$

$x=\frac{-2\pm \sqrt{4+60}}{6}=\frac{-2\pm 8}{6}\Longrightarrow x=1$ y $x=-\frac{5}{3}$

$f(1)=0$ y $f\left( -\frac{5}{3}\right) =\left( -\frac{8}{3}\right)^{2}\cdot \frac{4}{3}=\frac{256}{27}$, así que los puntos críticos son $\left( 1,0\right)$ y $\left( -\frac{5}{3},\frac{256}{27}\right)$ y la afirmación a) es verdadera.

Ahora estudiamos el signo de $f'$ en cada intervalo:

$f'(-2)=12-4-5=3>0$, por lo tanto $f$ es creciente en $\left( -\infty ,-\frac{5}{3}\right)$

$f'(0)=-5<0$, por lo tanto $f$ es decreciente en $\left( -\frac{5}{3},1\right)$

$f'(2)=12+4-5=11>0$, por lo tanto $f$ es creciente en $\left( 1,\infty \right)$

Esto demuestra b). La derivada cambia de $+$ a $-$ en $x=-\frac{5}{3}$ y de $-$ a $+$ en $x=1$, por lo que hay un máximo en $\left( -\frac{5}{3},\frac{256}{27}\right)$ y un mínimo en $\left( 1,0\right)$, lo que demuestra c).

Respuesta: todas son verdaderas.

Solución:
$f(x)=x^{4}-32x+4\Longrightarrow f'(x)=4x^{3}-32=0$

$4x^{3}=32\Longrightarrow x^{3}=8\Longrightarrow x=2$

Por lo tanto el único punto crítico es $x=2$, no $x=4$: la afirmación a) es falsa.

$f'(0)=-32<0$, así que la función es decreciente en $\left( -\infty ,2\right)$ y la afirmación b) es falsa.

$f'(3)=108-32>0$, así que la función es creciente en $\left( 2,\infty \right)$. La derivada cambia de $-$ a $+$ en $x=2$, por lo tanto ahí hay un mínimo y la afirmación c) es verdadera.

Respuesta: solo c) es verdadera.

Solución:
$f(x)=\left( x+2\right)^{2/3}\Longrightarrow f'(x)=\frac{2}{3}\left( x+2\right)^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x+2}}$

La derivada nunca es igual a cero, pero no existe en $x=-2$. Como $f(-2)=0$, el único punto crítico es $\left( -2,0\right)$ y la afirmación a) es falsa.

Para $x<-2$ se tiene $\sqrt[3]{x+2}<0$, así que $f'(x)<0$ y la función es decreciente en $\left( -\infty ,-2\right)$

Para $x>-2$ se tiene $\sqrt[3]{x+2}>0$, así que $f'(x)>0$ y la función es creciente en $\left( -2,\infty \right)$

Esto es exactamente lo contrario de la afirmación b), por lo que b) es falsa.

La derivada cambia de $-$ a $+$ en $x=-2$, así que el punto $\left( -2,0\right)$ es un mínimo, no un máximo, y c) es falsa.

Respuesta: todas son falsas.

Solución:
Derivamos dos veces:

$f(x)=\frac{1}{4}x^{4}-2x^{2}\Longrightarrow f'(x)=x^{3}-4x\Longrightarrow f''(x)=3x^{2}-4$

$f''(x)=0\Longrightarrow x=\pm \frac{2\sqrt{3}}{3}$

Los intervalos de concavidad son $\left( -\infty ,-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right),\ \left( -\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right),\ \left( \frac{2\sqrt{3}}{3},\infty \right)$

Evaluamos $f''(c)$ en un punto $c$ de cada intervalo:

$f''(-2)=3\cdot 4-4=8>0\Longrightarrow f$ es convexa en $\left( -\infty ,-\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

$f''(0)=-4<0\Longrightarrow f$ es cóncava en $\left( -\frac{2\sqrt{3}}{3},\frac{2\sqrt{3}}{3}\right)$

$f''(2)=8>0\Longrightarrow f$ es convexa en $\left( \frac{2\sqrt{3}}{3},\infty \right)$

$f\left( \pm \frac{2\sqrt{3}}{3}\right) =\frac{1}{4}\cdot \frac{16}{9}-2\cdot \frac{4}{3}=\frac{4}{9}-\frac{8}{3}=-\frac{20}{9}$

En ambos puntos la segunda derivada cambia de signo, así que los puntos de inflexión son $\left( -\frac{2\sqrt{3}}{3},-\frac{20}{9}\right)$ y $\left( \frac{2\sqrt{3}}{3},-\frac{20}{9}\right)$

Respuesta: C

Solución:
Derivamos dos veces:

$f(x)=2x^{4}-8x+3\Longrightarrow f'(x)=8x^{3}-8\Longrightarrow f''(x)=24x^{2}$

La segunda derivada se anula solo en $x=0$, pero no cambia de signo ahí, así que no hay punto de inflexión.

$f''(x)=24x^{2}\geq 0$ por lo tanto la función es convexa en $\left( -\infty ,\infty \right)$.

Respuesta: A

Solución:
Derivamos dos veces:

$y=-x^{3}+3x^{2}-2\Longrightarrow y'=-3x^{2}+6x\Longrightarrow y''=-6x+6$

$y''=0\Longrightarrow x=1$

Los intervalos de concavidad son $\left( -\infty ,1\right)$, $\left( 1,\infty \right)$

Estudiamos el signo de la segunda derivada:

$y''(0)=6>0$, por lo tanto la función es convexa en $\left( -\infty ,1\right)$

$y''(2)=-6<0$, por lo tanto la función es cóncava en $\left( 1,\infty \right)$

La segunda derivada cambia de signo en $x=1$.

Respuesta: B

Solución:
Derivamos dos veces:

$f(x)=-x^{3}+6x^{2}-9x-1\Longrightarrow f'(x)=-3x^{2}+12x-9\Longrightarrow f''(x)=-6x+12$

$f''(x)=0\Longrightarrow x=2$

Los intervalos de concavidad son $\left( -\infty ,2\right)$, $\left( 2,\infty \right)$

Estudiamos el signo de la segunda derivada:

$f''(0)=12>0$, por lo tanto la función es convexa en $\left( -\infty ,2\right)$

$f''(3)=-6<0$, por lo tanto la función es cóncava en $\left( 2,\infty \right)$

La segunda derivada cambia de signo en $x=2$.

Respuesta: D

Solución:
Hallamos los puntos críticos:

$f'(x)=4x^{3}-12x^{2}=4x^{2}(x-3)=0$ así que $x=0$ y $x=3$

La segunda derivada es $f''(x)=12x^{2}-24x=12x(x-2)$

En $x=3$ se tiene $f''(3)=36>0$, por lo tanto hay un mínimo en $\left( 3,-25\right)$.

En $x=0$ la derivada $f'(x)=4x^{2}(x-3)$ no cambia de signo, así que ahí no hay extremo.

$f(3)=81-108+2=-25$

$f''$ cambia de signo en $x=0$ y en $x=2$, por lo tanto los puntos de inflexión son $\left( 0,2\right)$ y $\left( 2,-14\right)$.

$f''(-1)=36>0,\ f''(1)=-12<0,\ f''(3)=36>0$, así que $f$ es convexa en $\left( -\infty ,0\right) \cup \left( 2,\infty \right)$ y cóncava en $\left( 0,2\right)$.

Respuesta: A

Solución:
La derivada es $f'(x)=\frac{2}{3}x^{-1/3}=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$

Nunca es igual a cero y no existe en $x=0$, así que el único punto crítico es $\left( 0,-3\right)$.

Para $x<0$ se tiene $f'(x)<0$ y para $x>0$ se tiene $f'(x)>0$, así que la función decrece y luego crece: hay un mínimo en $\left( 0,-3\right)$.

La segunda derivada es $f''(x)=-\frac{2}{9}x^{-4/3}=-\frac{2}{9\sqrt[3]{x^{4}}}$

Es negativa para todo $x\neq 0$, así que la gráfica es cóncava en $\left( -\infty ,0\right)$ y en $\left( 0,\infty \right)$, y no hay punto de inflexión.

Respuesta: C

Solución:
Aplicando la regla de la cadena:

$f'(x)=2\left( \left( x^{2}+3\right)^{5}+x\right) \cdot \left( 5\left( x^{2}+3\right)^{4}\cdot 2x+1\right)$

$f'(x)=2\left( \left( x^{2}+3\right)^{5}+x\right) \left( 10x\left( x^{2}+3\right)^{4}+1\right)$

Sustituimos $x=-1$:

$\left( -1\right)^{2}+3=4,\ 4^{5}=1024,\ 4^{4}=256$

$f'(-1)=2\left( 1024-1\right) \left( 10\cdot \left( -1\right) \cdot 256+1\right) =2\cdot 1023\cdot \left( -2559\right)$

$f'(-1)=-5235714$

Respuesta: $f'(-1)=-5235714$

Solución:
Aplicando la regla de la cadena:

$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{x}}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{2+\sqrt{x}}}\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$

Sustituimos $x=4$:

$\sqrt{4}=2,\ \sqrt{2+2}=2,\ \sqrt{2+2}=2$

$f'(4)=\frac{1}{2\cdot 2}\cdot \frac{1}{2\cdot 2}\cdot \frac{1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{64}$

Respuesta: $f'(4)=\frac{1}{64}$

Solución:
Derivamos:

$f(x)=\sqrt{25-x^{2}}\Longrightarrow f'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{25-x^{2}}}=\frac{-x}{\sqrt{25-x^{2}}}$

La pendiente de la recta tangente en $x=3$ es $f'(3)=\frac{-3}{\sqrt{25-9}}=\frac{-3}{4}$

La ecuación de la recta tangente que pasa por el punto $(3,4)$ es:

$y-4=-\frac{3}{4}\left( x-3\right)$

$4y-16=-3x+9$

$4y+3x=25$

Respuesta: A

Solución:
Cuando $t=\frac{\pi }{8}$ se tiene $12t=\frac{3\pi }{2}$, así que $\cos \frac{3\pi }{2}=0$, $\operatorname{sen} \frac{3\pi }{2}=-1$

La posición es $y=\frac{1}{3}\cdot 0-\frac{1}{4}\cdot \left( -1\right) =\frac{1}{4}$ m

Derivamos para obtener la velocidad:

$y'=-\frac{12}{3}\operatorname{sen} 12t-\frac{12}{4}\cos 12t=-4\operatorname{sen} 12t-3\cos 12t$

$y'\left( \frac{\pi }{8}\right) =-4\cdot \left( -1\right) -3\cdot 0=4$, así que la velocidad es $4$ m/s

Respuesta: A

Solución:
Como $\left\vert \cos 8t\right\vert \leq 1$, el mayor valor de $\theta $ es $0{,}2$ radianes, y se alcanza cuando $\cos 8t=1$.

Derivamos respecto del tiempo: $\theta =0{,}2\cos 8t\Longrightarrow \frac{d\theta }{dt}=-1{,}6\operatorname{sen} 8t$

La razón de cambio cuando $t=3$ segundos es:

$\frac{d\theta }{dt}(3)=-1{,}6\operatorname{sen} \left( 8\cdot 3\right) =-1{,}6\operatorname{sen} 24\approx -1{,}6\cdot \left( -0{,}9056\right) \approx 1{,}449$ rad/s

(el ángulo $8\cdot 3=24$ está medido en radianes, no en grados)

Respuesta: C