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Desigualdades cuadráticas - problemas y soluciones

Autor: Prof. Hernando Guzman Jaimes

Una desigualdad cuadrática compara una expresión de segundo grado con $0$. Para resolverla se pasa todo a un mismo lado, se factoriza, se marcan los ceros en la recta numérica y se arma una tabla de signos: la solución es la unión de los intervalos donde el signo coincide con la desigualdad. Los problemas empiezan con trinomios sencillos y avanzan hacia productos de tres y cuatro factores lineales y hacia problemas de enunciado que llevan a una desigualdad cuadrática.

Problema 1

¿Cuál es la solución de la desigualdad?
$x^{2}+2x-15>0$

$x\in \left( -\infty ,-3\right) \cup \left( 5,+\infty \right) $

$x\in \left( -\infty ,5\right) \cup \left( 3,+\infty \right) $

$x\in \left( -\infty ,-5\right) \cup \left( 3,+\infty \right) $

$x\in \left( -5,3\right) $

Problema 2

Resuelva la desigualdad factorizando la expresión del lado izquierdo.
$x^{2}-2x-3\leq 0$

$x\in \left[ -1,3\right] $

$x\in \left( -1,3\right) $

$x\in \left( -\infty ,-1\right) $

$x\in \left( 3,+\infty \right) $

Problema 3

Resuelva la desigualdad.
$3x^{2}-x-2\leq 0$

$x\in \left[ -2,3\right] $

$x\in (-\infty ,1]$

$x\in \lbrack 1,\infty )$

$x\in \left[ -\frac{2}{3},1\right] $

Problema 4

Resuelva la desigualdad factorizando la expresión del lado izquierdo.
$x^{2}-8x+12<0$

$x\in \left( -\infty ,2\right) \cup \left( 6,+\infty \right) $

$x\in \left( 6,+\infty \right) $

$x\in \left( 2,6\right) $

$x\in \left( -\infty ,2\right) $

Problema 5

Resuelva la desigualdad factorizando la expresión del lado izquierdo.
$x^{2}-5x\geq 0$

$x\in \left( -\infty ,0\right] \cup \left[ 5,+\infty \right) $

$x\in \left( -\infty ,0\right] $

$x\in \left[ 5,+\infty \right) $

$x\in \left[ 0,5\right] $

Problema 6

Resuelva la desigualdad.
$3x^{2}-27<0$

$x\in \left( -\infty ,-3\right) \cup \left( 3,+\infty \right) $

$x\in \left( 3,+\infty \right) $

$x\in \left( -3,3\right) $

$x\in \left( -\infty ,-3\right) $

Problema 7

Resuelve la desigualdad: [tex](x-1)^2+x(x-4)\gt -3[/tex]

[tex](1; 2)[/tex]

[tex](-\infty; 1)\cup(2; +\infty)[/tex]

[tex](-\infty; -2)\cup(-1; +\infty)[/tex]

[tex](2; +\infty)[/tex]

Problema 8

Resuelva la desigualdad.
$9x>2x^{2}-18$

$x\in \left( -\infty ,-\frac{3}{2}\right) $

$x\in \left( 6,+\infty \right) $

$x\in \left( -\infty ,-\frac{3}{2}\right) \cup \left( 6,+\infty \right) $

$x\in \left( -\frac{3}{2},6\right) $

Problema 9

Resuelve la desigualdad: [tex](4x-3)(1-0{,} 5x)\geq 0[/tex]

[tex]\left[\frac{3}{4}; 2\right][/tex]

[tex]\left(-\infty; \frac{3}{4}\right]\cup[2; +\infty)[/tex]

[tex]\left(\frac{3}{4}; 2\right)[/tex]

[tex]\left[-2; \frac{3}{4}\right][/tex]

Problema 10

Resuelve la desigualdad: [tex]-2x^2+3x-7\lt 0[/tex]

[tex]\varnothing[/tex]

[tex]\left(-\infty; \frac{3}{4}\right)[/tex]

[tex](-\infty; +\infty)[/tex]

[tex]\left(\frac{3}{4}; +\infty\right)[/tex]

Problema 11

Resuelva la desigualdad.
$9x^{2}+30x>-25$

$x\in \left( -\frac{5}{3},+\infty \right) $

$x\in \left( -\infty ,-\frac{5}{3}\right) \cup \left( -\frac{5}{3},+\infty \right) $

$x\in \left( -\infty ,-\frac{5}{3}\right) $

$x\in \varnothing $

Problema 12

Resuelva la desigualdad.
$4x^{2}-4x+1<0$

$x\in \left( -\infty ,1\right) $

$x\in \left( -\infty ,-4\right) $

$x\in \left( -\infty ,-\frac{1}{2}\right) $

$x\in \varnothing $

Problema 13

Resuelva la desigualdad factorizando la expresión del lado izquierdo.
$x^{2}+6x\leq -9$

$x\in \left( -3,3\right) $

$x\in \left( -\infty ,3\right) $

$x=-3$

$x\in \varnothing $

Problema 14

Factoriza el lado izquierdo y resuelve la desigualdad: [tex](x-7)^2-2(x-7)+1\geq 0[/tex]

[tex]x=8[/tex]

[tex][8; +\infty)[/tex]

[tex](-\infty; 8)\cup(8; +\infty)[/tex]

[tex](-\infty; +\infty)[/tex]

Problema 15

¿Para cuántos enteros [tex]x[/tex] la expresión [tex]x^2-5[/tex] es negativa?

Problema 16

La expresión [tex]A=(-2x+3)^2-5\left(x-\sqrt{3}\right)\left(x+\sqrt{3}\right)-24[/tex] es no negativa si:

[tex]x\in(-12; 0)[/tex]

[tex]x\in[-12; 0][/tex]

[tex]x\in(-\infty; -12)\cup(0; +\infty)[/tex]

[tex]x\in(-\infty; -12]\cup[0; +\infty)[/tex]

Problema 17

Resuelve el sistema de desigualdades: [tex]\begin{cases} x^2-25\lt 0 \\ x^2-3x+2\gt 0 \end{cases}[/tex]

[tex](1; 2)[/tex]

[tex](-5; 5)[/tex]

[tex](-\infty; 1)\cup(2; +\infty)[/tex]

[tex](-5; 1)\cup(2; 5)[/tex]

Problema 18

Resuelva la desigualdad.
$-\left( x+1\right)\left( x+2\right) \left( x+3\right) < 0$

$x\in \left( -3,-2\right) \cup \left( -1,\infty \right) $

$x\in \left( -3,-2\right) $

$x\in \left( -1,\infty \right) $

$x\in \left( -2,-1\right) $

Problema 19

Resuelva la desigualdad.
$-2\left( x-1\right)\left( x+\frac{1}{2}\right) \left( x-3\right) \leq 0$

$x\in \left[ -\frac{1}{2},1\right] $

$x\in \left[ -\frac{1}{2},1\right] \cup \left[ 3,+\infty \right) $

$x\in \left[ 3,+\infty \right) $

$x\in \varnothing $

Problema 20

Resuelva la desigualdad.
$\left( x^{2}-1\right) \left(x^{2}-4\right) \leq 0$

$x\in \left[ -2,-1\right] \cup \left[ 1,2\right] $

$x\in \left[ -2,-1\right] $

$x\in \left[ 1,2\right] $

$x\in \left[ -1,1\right] $

Problema 21

Resuelve la desigualdad: [tex]x^4-2x^2-15\gt 0[/tex]

[tex]\left(-\sqrt{5}; \sqrt{5}\right)[/tex]

[tex](5; +\infty)[/tex]

[tex]\left(-\infty; -\sqrt{5}\right)\cup\left(\sqrt{5}; +\infty\right)[/tex]

[tex]\left(-\infty; -\sqrt{3}\right)\cup\left(\sqrt{5}; +\infty\right)[/tex]

Problema 22

Resuelva la desigualdad.
$\left( x-1\right)^{2}\left( x+3\right) \left( x+5\right) >0$

$x\in \left( -\infty ,-5\right) \cup \left( -3,1\right) $

$x\in \left( -\infty ,-5\right) \cup \left( 1,+\infty \right) $

$x\in \left( -3,1\right) \cup \left( 1,+\infty \right) $

$x\in \left( -\infty ,-5\right) \cup \left( -3,1\right) \cup \left( 1,+\infty \right) $

Problema 23

Resuelva la desigualdad.
$\left( x+3\right) ^{2}\left( x+4\right) \left( x-5\right)^{3}>0$

$x\in \left( -\infty ,-4\right) $

$x\in \left( -\infty ,-4\right) \cup \left( 5,+\infty \right) $

$x\in \left( -4,5\right) $

$x\in \left( 5,+\infty \right) $

Problema 24

Si $7$ veces el cuadrado de un número positivo $x$ se disminuye en $3$ y el resultado es mayor que $60$, ¿qué puede ser $x$?

$x>5$

$x>3$

$x>7$

$3\lt x\lt 7$

Problema 25

El número de diagonales $d$ de un polígono de $n$ lados está dado por la fórmula $d=\frac{1}{2}\left( n-1\right) n-n$.
¿Qué polígono tiene más de $35$ diagonales?

$n>10\qquad n\in \mathbb{Z}$

$n<10\qquad n\in \mathbb{Z}$

$n>5\qquad n\in \mathbb{Z}$

$5< n < 10\qquad n\in \mathbb{Z}$

Problema 26

El número $t$ de puntos en un arreglo triangular de $n$ filas (un punto en la primera fila, dos en la segunda, y así sucesivamente) está dado por la fórmula $t=\frac{n(n+1)}{2}$.
Halle los posibles números de filas si la cantidad de puntos es menor que $5050$.

$1\leq n<30$

$1\leq n<10$

$10\leq n<20$

$1\leq n<100$

Problema 27

Un jardín rectangular es dos veces más ancho que largo.
Si el área cercada es mayor que $98\ \text{m}^{2}$, ¿qué podemos decir del ancho $x$ del jardín?

$x>1$

$x>24$

$x>14$

$x<98$

Correcto:

Incorrecto:

Problemas sin resolver:

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