Desigualdades cuadráticas - problemas difíciles y soluciones

Solución:
[tex]x^2-\left(1+\sqrt{3}\right)x+\sqrt{3}\lt 0[/tex]
La suma de las raíces es [tex]1+\sqrt{3}[/tex] y su producto es [tex]\sqrt{3}[/tex], así que por las fórmulas de Vieta las raíces son [tex]1[/tex] y [tex]\sqrt{3}[/tex]:
[tex](x-1)\left(x-\sqrt{3}\right)\lt 0 \Leftrightarrow 1\lt x\lt \sqrt{3}[/tex]
Respuesta: [tex]x\in\left(1; \sqrt{3}\right)[/tex].

Solución:
Multiplicamos ambos lados por [tex]10[/tex] (el mínimo común denominador):
[tex]2(x+3)^2-5x(2x-3)\leq 2(3x-1)^2-10[/tex]
[tex]2x^2+12x+18-10x^2+15x\leq 18x^2-12x+2-10[/tex]
[tex]0\leq 26x^2-39x-26 \Leftrightarrow 2x^2-3x-2\geq 0 \Leftrightarrow (2x+1)(x-2)\geq 0[/tex]
Respuesta: [tex]x\in\left(-\infty; -\frac{1}{2}\right]\cup[2; +\infty)[/tex].

Solución:
[tex]4x^2+4x^2-4\sqrt{3}\,x+3-\left(x^2+\sqrt{3}\,x-6\right)\lt 63[/tex]
[tex]7x^2-5\sqrt{3}\,x-54\lt 0[/tex]
[tex]D=75+4\times 7\times 54=1587=3\times 23^2[/tex], [tex]\sqrt{D}=23\sqrt{3}[/tex]
[tex]x_{1,2}=\frac{5\sqrt{3}\pm 23\sqrt{3}}{14}[/tex]: [tex]x_1=-\frac{9\sqrt{3}}{7}[/tex], [tex]x_2=2\sqrt{3}[/tex]
Respuesta: [tex]x\in\left(-\frac{9\sqrt{3}}{7}; 2\sqrt{3}\right)[/tex].

Solución:
Una desigualdad doble es un sistema de dos desigualdades:
[tex]x^2+x\gt 0 \Leftrightarrow x(x+1)\gt 0 \Leftrightarrow x\lt -1[/tex] o [tex]x\gt 0[/tex]
[tex]x^2-2x-1\lt 0 \Leftrightarrow 1-\sqrt{2}\lt x\lt 1+\sqrt{2}[/tex]
Como [tex]1-\sqrt{2}\approx -0{,} 41\gt -1[/tex], la intersección es [tex]x\in\left(0; 1+\sqrt{2}\right)[/tex].

Solución:
[tex]x^2-1\geq 0 \Leftrightarrow x\leq -1[/tex] o [tex]x\geq 1[/tex]
[tex]x^3+x^2-2x=x(x+2)(x-1)\leq 0 \Leftrightarrow x\in(-\infty; -2]\cup[0; 1][/tex]
La solución del sistema es la intersección (parte común) de los dos conjuntos:
Respuesta: [tex]x\in(-\infty; -2]\cup\{1\}[/tex].
El número [tex]1[/tex] pertenece a ambos conjuntos, así que es una solución aislada.

Solución:
Sea [tex]t=x^2\geq 0[/tex]: [tex]t^2-10t+16=(t-2)(t-8)\geq 0 \Leftrightarrow t\leq 2[/tex] o [tex]t\geq 8[/tex].
[tex]x^2\leq 2 \Leftrightarrow -\sqrt{2}\leq x\leq\sqrt{2}[/tex]
[tex]x^2\geq 8 \Leftrightarrow x\leq -2\sqrt{2}[/tex] o [tex]x\geq 2\sqrt{2}[/tex]
Respuesta: [tex]x\in\left(-\infty; -2\sqrt{2}\right]\cup\left[-\sqrt{2}; \sqrt{2}\right]\cup\left[2\sqrt{2}; +\infty\right)[/tex].

Solución:
Sea [tex]y=x^2+3x[/tex]: [tex](y+1)(y-3)\geq 5 \Leftrightarrow y^2-2y-8\geq 0 \Leftrightarrow (y-4)(y+2)\geq 0[/tex].
[tex]y\leq -2:\ x^2+3x+2\leq 0 \Leftrightarrow (x+1)(x+2)\leq 0 \Leftrightarrow -2\leq x\leq -1[/tex]
[tex]y\geq 4:\ x^2+3x-4\geq 0 \Leftrightarrow (x+4)(x-1)\geq 0 \Leftrightarrow x\leq -4[/tex] o [tex]x\geq 1[/tex]
Respuesta: [tex]x\in(-\infty; -4]\cup[-2; -1]\cup[1; +\infty)[/tex].

Solución:
Consideramos el lado izquierdo como un trinomio cuadrático en [tex]a[/tex]:
[tex]D=b^2+8b^2=9b^2[/tex], [tex]a_{1,2}=\frac{b\pm 3b}{4}[/tex]: [tex]a_1=-\frac{b}{2}[/tex], [tex]a_2=b[/tex].
[tex]2a^2-ab-b^2=(2a+b)(a-b)\lt 0[/tex]
Como [tex]b\gt 0[/tex], se tiene [tex]-\frac{b}{2}\lt b[/tex], por lo tanto [tex]-\frac{b}{2}\lt a\lt b[/tex].

Solución:
El coeficiente principal es [tex]1\gt 0[/tex], así que el trinomio es positivo para todo [tex]x[/tex] exactamente cuando no tiene raíces reales, es decir, [tex]D\lt 0[/tex]:
[tex]\frac{D}{4}=(m+2)^2-(m+8)=m^2+3m-4\lt 0[/tex]
[tex](m+4)(m-1)\lt 0 \Leftrightarrow -4\lt m\lt 1[/tex]
Respuesta: [tex]m\in(-4; 1)[/tex].

Solución:
Las abscisas de los puntos comunes son las raíces de la ecuación
[tex]4x^2-3ax+2=x^2-1 \Leftrightarrow 3x^2-3ax+3=0 \Leftrightarrow x^2-ax+1=0[/tex]
No hay puntos comunes cuando esta ecuación no tiene raíces reales: [tex]D=a^2-4\lt 0 \Leftrightarrow -2\lt a\lt 2[/tex].
Respuesta: [tex]a\in(-2; 2)[/tex].

Solución:
[tex]x^2-(m+1)x+m=(x-1)(x-m)[/tex]
Si [tex]m=1[/tex], la desigualdad [tex](x-1)^2\lt 0[/tex] no tiene soluciones. Si [tex]m\lt 1[/tex], las soluciones son [tex](m; 1)[/tex], que no están en [tex](1; 3)[/tex]. Si [tex]m\gt 1[/tex], las soluciones son [tex](1; m)[/tex], y este intervalo está contenido en [tex](1; 3)[/tex] exactamente cuando [tex]m\leq 3[/tex].
Respuesta: [tex]m\in(1; 3][/tex].