Desigualdades cuadráticas - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
[tex]D=\left(\sqrt{3}-13\right)^2-24\left(3+\sqrt{3}\right)=172-26\sqrt{3}-72-24\sqrt{3}=100-50\sqrt{3}[/tex]
El discriminante es un cuadrado perfecto: [tex]100-50\sqrt{3}=25\left(4-2\sqrt{3}\right)=25\left(\sqrt{3}-1\right)^2[/tex], por lo tanto [tex]\sqrt{D}=5\left(\sqrt{3}-1\right)[/tex].
[tex]x_{1,2}=\frac{13-\sqrt{3}\pm 5\left(\sqrt{3}-1\right)}{12}[/tex]
[tex]x_1=\frac{18-6\sqrt{3}}{12}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}[/tex], [tex]x_2=\frac{8+4\sqrt{3}}{12}=\frac{2+\sqrt{3}}{3}[/tex]
Respuesta: [tex]x\in\left(\frac{3-\sqrt{3}}{2}; \frac{2+\sqrt{3}}{3}\right)[/tex].

Solución:
Si [tex]a=0[/tex], la desigualdad es [tex]-4x+1\gt 0[/tex], que no se cumple para todo [tex]x[/tex] (por ejemplo, para [tex]x=1[/tex]).
Si [tex]a\neq 0[/tex], el trinomio cuadrático es positivo para todo [tex]x[/tex] exactamente cuando la parábola se abre hacia arriba y no tiene raíces:
[tex]\begin{cases} a\gt 0 \\ \frac{D}{4}=4-a(3a+1)\lt 0 \end{cases}[/tex]
[tex]3a^2+a-4\gt 0 \Leftrightarrow (3a+4)(a-1)\gt 0 \Leftrightarrow a\lt -\frac{4}{3}[/tex] o [tex]a\gt 1[/tex]
Junto con [tex]a\gt 0[/tex] obtenemos [tex]a\gt 1[/tex].

Solución:
[tex]ax^2-(a+1)x+1=(ax-1)(x-1)[/tex]
Los números que no son soluciones son los [tex]x[/tex] para los que [tex](ax-1)(x-1)\leq 0[/tex].
Un intervalo acotado de no soluciones significa que la parábola se abre hacia arriba ([tex]a\gt 0[/tex]) y sus raíces son [tex]\frac{1}{a}[/tex] y [tex]1[/tex]. Así que [tex]\frac{1}{a}[/tex] es el otro extremo del intervalo:
[tex]\frac{1}{a}=\frac{1}{4} \Rightarrow a=4[/tex]
Comprobación: [tex](4x-1)(x-1)\gt 0 \Leftrightarrow x\lt \frac{1}{4}[/tex] o [tex]x\gt 1[/tex].

Solución:
Necesidad: [tex]x=0[/tex] cumple [tex]|x|\lt 1[/tex] y da [tex]m\gt 0[/tex].
Suficiencia: sea [tex]m\gt 0[/tex] y [tex]-1\lt x\lt 1[/tex]. Escribimos [tex]x^2-mx+m=x^2+m(1-x)[/tex].
Aquí [tex]x^2\geq 0[/tex] y [tex]m(1-x)\gt 0[/tex] (porque [tex]1-x\gt 0[/tex]), así que la suma es positiva.
Respuesta: [tex]m\in(0; +\infty)[/tex].

Solución:
Las soluciones de [tex]f(x)=x^2+mx+4\leq 0[/tex] forman el intervalo cerrado entre las raíces [tex]x_1\leq x_2[/tex] del trinomio.
Se necesitan raíces reales y ambas en [tex][-1; 4][/tex]: [tex]D\geq 0[/tex], [tex]f(-1)\geq 0[/tex], [tex]f(4)\geq 0[/tex] y el vértice [tex]-\frac{m}{2}[/tex] en [tex][-1; 4][/tex]:
[tex]D=m^2-16\geq 0 \Leftrightarrow m\leq -4[/tex] o [tex]m\geq 4[/tex]
[tex]f(-1)=5-m\geq 0 \Leftrightarrow m\leq 5[/tex]
[tex]f(4)=20+4m\geq 0 \Leftrightarrow m\geq -5[/tex]
[tex]-1\leq -\frac{m}{2}\leq 4 \Leftrightarrow -8\leq m\leq 2[/tex]
La parte común de todas las condiciones: [tex]m\in[-5; -4][/tex].
Por ejemplo, para [tex]m=-5[/tex] las soluciones son [tex][1; 4][/tex], y para [tex]m=-4[/tex] la única solución es [tex]x=2[/tex].

Solución:
Sea [tex]f(x)=5x^2-2kx+1[/tex]. Sus soluciones forman el intervalo entre las raíces [tex]x_1\lt x_2[/tex] (cuando existen).
Como [tex]x_1x_2=\frac{1}{5}[/tex] y [tex]x_1+x_2=\frac{2k}{5}\gt 0[/tex], ambas raíces son positivas y [tex]x_1\lt 1[/tex] siempre que [tex]x_2\gt 1[/tex].
Así, las soluciones enteras positivas son [tex]1; 2; \ldots[/tex] hasta el mayor entero menor que [tex]x_2[/tex]. Exactamente [tex]7[/tex] soluciones (de [tex]1[/tex] a [tex]7[/tex]) significa [tex]7\lt x_2\leq 8[/tex], es decir, [tex]f(7)\lt 0[/tex] y [tex]f(8)\geq 0[/tex]:
[tex]f(7)=246-14k\lt 0 \Leftrightarrow k\gt \frac{123}{7}=17\frac{4}{7}[/tex]
[tex]f(8)=321-16k\geq 0 \Leftrightarrow k\leq\frac{321}{16}=20\frac{1}{16}[/tex]
Respuesta: [tex]k\in\{18; 19; 20\}[/tex].

Solución:
Multiplicamos ambos lados por [tex]5\times 4\times 2\times 1=40[/tex] para que todos los coeficientes de [tex]x[/tex] sean iguales a [tex]20[/tex]:
[tex](20x-5)(20x-4)(20x-2)(20x-1)\leq 2052\times 40=82080[/tex]
Sea [tex]t=20x[/tex] y agrupamos los factores extremos y los centrales:
[tex](t-5)(t-1)\times (t-4)(t-2)=\left(t^2-6t+5\right)\left(t^2-6t+8\right)\leq 82080[/tex]
Sea [tex]u=t^2-6t+5[/tex]: [tex]u(u+3)\leq 82080 \Leftrightarrow u^2+3u-82080\leq 0 \Leftrightarrow (u-285)(u+288)\leq 0[/tex]
[tex]-288\leq u\leq 285[/tex]. La desigualdad izquierda siempre se cumple, pues [tex]u=(t-3)^2-4\geq -4[/tex]. Queda:
[tex]t^2-6t+5\leq 285 \Leftrightarrow t^2-6t-280\leq 0 \Leftrightarrow (t-20)(t+14)\leq 0 \Leftrightarrow -14\leq t\leq 20[/tex]
[tex]-14\leq 20x\leq 20 \Leftrightarrow -\frac{7}{10}\leq x\leq 1[/tex]
Respuesta: [tex]x\in\left[-\frac{7}{10}; 1\right][/tex].