Ley de los cosenos - problemas y soluciones

Solución:
De acuerdo con la ley de cosenos $b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta $
luego $b^{2}=12^{2}+10^{2}-2\cdot 12 \cdot 10\cos 26\frac{\pi }{180}=144+100-240(0{,}90)=28$

Asi que $b=\sqrt{28}=2\sqrt{7}$

Solución:
Por el teorema del coseno: [tex]BC^2=AC^2+AB^2-2 \times AC \times AB \times \cos\alpha[/tex].
De aquí [tex]\cos\alpha=\frac{AC^2+AB^2-BC^2}{2 \times AC \times AB}=\frac{36+81-49}{2 \times 6 \times 9}=\frac{68}{108}=\frac{17}{27}\approx 0{,}6296[/tex].
Por lo tanto, [tex]\alpha=\arccos\frac{17}{27}\approx 50{,}98^\circ[/tex].

Solución:
Por la ley de los cosenos para el triángulo [tex]ABC[/tex], tenemos [tex]AB^2=AC^2+BC^2-2AC \cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)[/tex]. Reorganizando los términos obtenemos [tex]2AC\cdot BC \cdot \cos(\angle ACB)=AC^2+BC^2-AB^2[/tex]. Dividiendo ambos lados por [tex]2AC\cdot BC[/tex] nos da [tex]\cos(\angle ACB)=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2AC.BC}=\frac{3^2+5^2-6^2}{2 \cdot 3 \cdot 5}=\frac{9+25-36}{30}=\frac{-2}{30}=-\frac{1}{15}[/tex]

Solución:
Por la ley de los cosenos tenemos [tex]AB^2=AC^2+BC^2-2.AC.BC.\cos\angle ACB[/tex]. Sustituyendo [tex]AC[/tex], [tex]BC[/tex] y el ángulo con sus valores, obtenemos: [tex]AB^2=12^2+10^2-2\cdot 12\cdot 10\cdot \cos(60^{\circ})[/tex], o [tex]AB^2=144+100-2\cdot 120 . \frac{1}{2}[/tex]. Al realizar las operaciones aritméticas en el lado derecho, obtenemos [tex]AB^2=124[/tex].

Solución:
El mayor ángulo es el opuesto al lado mayor, [tex]19[/tex]. Lo llamamos [tex]\gamma[/tex].
Por la ley de los cosenos: [tex]19^2=5^2+16^2-2 \times 5 \times 16 \times \cos\gamma[/tex].
[tex]361=281-160\cos\gamma \Rightarrow \cos\gamma=-\frac{1}{2}[/tex].
Por lo tanto, [tex]\gamma=120^\circ[/tex].

Solución:
En un paralelogramo [tex]BC=AD=7[/tex] y [tex]\angle ABC=180^\circ-60^\circ=120^\circ[/tex].
Por la ley de los cosenos en [tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]AC^2=AB^2+BC^2-2 \times AB \times BC \times \cos 120^\circ=64+49-2 \times 8 \times 7 \times \left(-\frac{1}{2}\right)=113+56=169[/tex].
Por lo tanto, [tex]AC=13[/tex].

Solución:
Por la ley de los cosenos en [tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]\cos\angle BAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2 \times AB \times AC}=\frac{81+36-144}{2 \times 9 \times 6}=\frac{-27}{108}=-\frac{1}{4}[/tex].
Por la ley de los cosenos en [tex]\triangle ADC[/tex]:
[tex]CD^2=AC^2+AD^2-2 \times AC \times AD \times \cos\angle BAC=36+16-2 \times 6 \times 4 \times \left(-\frac{1}{4}\right)=52+12=64[/tex].
Por lo tanto, [tex]CD=8[/tex].

Solución:
Por el teorema del coseno en el [tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]BC^2=AB^2+AC^2-2 \times AB \times AC \times \cos 45^\circ=32+1-2 \times 4\sqrt{2} \times 1 \times \frac{\sqrt{2}}{2}=33-8=25[/tex].
Por lo tanto, [tex]BC=5[/tex].
El perímetro es [tex]P=4\sqrt{2}+1+5=6+4\sqrt{2}[/tex].

Solución:
El ángulo mayor [tex]\gamma[/tex] es el opuesto al lado mayor, [tex]12[/tex].
Por el teorema del coseno: [tex]\cos\gamma=\frac{7^2+8^2-12^2}{2 \times 7 \times 8}=\frac{49+64-144}{112}=-\frac{31}{112}[/tex].
Como [tex]\cos\gamma<0[/tex], el ángulo [tex]\gamma[/tex] es obtuso y el triángulo es obtusángulo.

Solución:
Para [tex]c=9[/tex], [tex]c=10[/tex] y [tex]c=13[/tex] el lado mayor es [tex]c[/tex] y [tex]\cos\gamma=\frac{36+64-c^2}{2 \times 6 \times 8}=\frac{100-c^2}{96}[/tex].
Para [tex]c=9[/tex]: [tex]\cos\gamma>0[/tex], el triángulo es acutángulo.
Para [tex]c=10[/tex]: [tex]\cos\gamma=0[/tex], el triángulo es rectángulo.
Para [tex]c=13[/tex]: [tex]\cos\gamma=-\frac{69}{96}<0[/tex] y [tex]6+8>13[/tex], el triángulo existe y es obtusángulo.
Para [tex]c=14[/tex]: [tex]6+8=14[/tex], no existe tal triángulo.
Respuesta: [tex]c=13[/tex].

Solución:
Sea [tex]AC=x[/tex]. Por el teorema del coseno para el ángulo [tex]BAC[/tex]:
[tex]BC^2=AB^2+AC^2-2 \times AB \times AC \times \cos 60^\circ \Rightarrow 49=25+x^2-5x[/tex].
[tex]x^2-5x-24=0 \Rightarrow x_1=8;\ x_2=-3[/tex] (se descarta, una longitud es positiva).
Por lo tanto, [tex]AC=8[/tex].

Solución:
Sea [tex]\alpha[/tex] el ángulo agudo del paralelogramo. Las diagonales son opuestas a los ángulos [tex]\alpha[/tex] y [tex]180^\circ-\alpha[/tex]:
[tex]d_1^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha[/tex], [tex]d_2^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha[/tex].
Sumando: [tex]d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)[/tex].
[tex]18^2+d^2=2(14^2+8^2) \Rightarrow 324+d^2=520 \Rightarrow d^2=196[/tex].
La otra diagonal mide [tex]14[/tex].

Solución:
Sea [tex]M[/tex] el punto medio de [tex]AB[/tex]. Entonces [tex]AM=6[/tex].
Por el teorema del coseno en el [tex]\triangle AMC[/tex]:
[tex]CM^2=AC^2+AM^2-2 \times AC \times AM \times \cos 60^\circ=49+36-2 \times 7 \times 6 \times \frac{1}{2}=43[/tex].
Por lo tanto, [tex]CM=\sqrt{43}[/tex].

Solución:
Sea [tex]AB=10[/tex] la base, [tex]AC=BC=b[/tex] y [tex]M[/tex] el punto medio de [tex]BC[/tex].
La altura sobre la base la divide por la mitad, así que [tex]\cos\angle ABC=\frac{5}{b}[/tex].
Por el teorema del coseno en el [tex]\triangle ABM[/tex]:
[tex]AM^2=AB^2+BM^2-2 \times AB \times BM \times \cos\angle ABC=100+\frac{b^2}{4}-2 \times 10 \times \frac{b}{2} \times \frac{5}{b}=50+\frac{b^2}{4}[/tex].
[tex]66=50+\frac{b^2}{4} \Rightarrow b^2=64[/tex].
Cada lado igual mide [tex]8[/tex].

Solución:
Por el teorema del coseno, el tercer lado cumple [tex]c^2=25+64-2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2}=49[/tex], [tex]c=7[/tex].
El lado [tex]c[/tex] es opuesto al ángulo de [tex]60^\circ[/tex]. Por el teorema del seno:
[tex]R=\frac{c}{2\sen 60^\circ}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}[/tex].

Solución:
Por el teorema del coseno: [tex]\cos\angle BAC=\frac{AB^2+AC^2-BC^2}{2 \times AB \times AC}=\frac{196+169-225}{2 \times 14 \times 13}=\frac{140}{364}=\frac{5}{13}[/tex].
[tex]\sen\angle BAC=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}[/tex] (el seno de un ángulo de un triángulo es positivo).

Solución:
[tex]S=\frac{1}{2} \times AC \times BC \times \sen 60^\circ \Rightarrow 6\sqrt{3}=\frac{1}{2} \times 3 \times BC \times \frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow BC=8[/tex].
Por el teorema del coseno: [tex]AB^2=9+64-2 \times 3 \times 8 \times \frac{1}{2}=49[/tex], [tex]AB=7[/tex].

Solución:
Las diagonales se cortan en su punto medio, así que el lado [tex]10[/tex] y las semidiagonales [tex]10[/tex] y [tex]12[/tex] forman un triángulo.
Sea [tex]\varphi[/tex] el ángulo entre las semidiagonales opuesto al lado [tex]10[/tex]:
[tex]10^2=10^2+12^2-2 \times 10 \times 12 \times \cos\varphi \Rightarrow 240\cos\varphi=144 \Rightarrow \cos\varphi=\frac{3}{5}[/tex].
Como [tex]\cos\varphi>0[/tex], [tex]\varphi[/tex] es el ángulo agudo entre las diagonales. Respuesta: [tex]\frac{3}{5}[/tex].

Solución:
Las semidiagonales miden [tex]2\sqrt{3}[/tex] y [tex]4[/tex], y los ángulos entre ellas son [tex]150^\circ[/tex] y [tex]30^\circ[/tex].
[tex]a^2=12+16-2 \times 2\sqrt{3} \times 4 \times \cos 150^\circ=28+24=52[/tex], [tex]a=2\sqrt{13}[/tex].
[tex]b^2=12+16-2 \times 2\sqrt{3} \times 4 \times \cos 30^\circ=28-24=4[/tex], [tex]b=2[/tex].

Solución:
Sean [tex]x[/tex] y [tex]x+7[/tex] los otros dos lados. El lado [tex]13[/tex] es opuesto al ángulo de [tex]60^\circ[/tex]:
[tex]13^2=x^2+(x+7)^2-2x(x+7)\cos 60^\circ=x^2+7x+49[/tex].
[tex]x^2+7x-120=0 \Rightarrow x_1=8;\ x_2=-15[/tex] (se descarta).
Los lados miden [tex]8[/tex] y [tex]15[/tex].

Solución:
Sean los lados [tex]a[/tex] y [tex]2a[/tex]. Por el teorema del coseno, el tercer lado es [tex]c^2=a^2+4a^2-2 \times a \times 2a \times \frac{1}{2}=3a^2[/tex], [tex]c=a\sqrt{3}[/tex].
Entonces [tex]a^2+c^2=a^2+3a^2=4a^2=(2a)^2[/tex], es decir, el ángulo opuesto al lado [tex]2a[/tex] es recto.
El triángulo es rectángulo.

Solución:
Sea el triángulo [tex]ABC[/tex], [tex]M \in AB[/tex], [tex]AM=1[/tex], y sea [tex]O[/tex] su centro.
[tex]OA=R=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}[/tex] y [tex]AO[/tex] es bisectriz, es decir, [tex]\angle OAM=30^\circ[/tex].
Por el teorema del coseno en el [tex]\triangle AOM[/tex]:
[tex]OM^2=12+1-2 \times 2\sqrt{3} \times 1 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=13-6=7[/tex].
Por lo tanto, [tex]OM=\sqrt{7}[/tex].

Solución:
[tex]\angle ABC=180^\circ-\angle BAD[/tex], así que [tex]\cos\angle ABC=-\frac{7}{25}[/tex].
En el [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]AC^2=a^2+a^2+2a^2 \times \frac{7}{25}=\frac{64a^2}{25} \Rightarrow 64=\frac{64a^2}{25} \Rightarrow a=5[/tex].
En el [tex]\triangle ABD[/tex]: [tex]BD^2=2a^2-2a^2 \times \frac{7}{25}=50-14=36[/tex], [tex]BD=6[/tex].

Solución:
Por el teorema del coseno: [tex]AC^2=25+64-2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2}=49[/tex], [tex]AC=7[/tex].
[tex]S=\frac{1}{2} \times 5 \times 8 \times \sen 60^\circ=10\sqrt{3}[/tex] y el semiperímetro es [tex]p=\frac{5+8+7}{2}=10[/tex].
[tex]r=\frac{S}{p}=\sqrt{3}[/tex].

Solución:
Por el teorema del coseno para el ángulo [tex]\alpha[/tex]: [tex]a^2=b^2+c^2-2bc\cos\alpha[/tex].
[tex]16=25+c^2-5c \Rightarrow c^2-5c+9=0[/tex].
El discriminante es [tex]D=25-36=-11<0[/tex], así que la ecuación no tiene raíces reales.
No existe tal triángulo. (En efecto, la distancia de [tex]C[/tex] a la recta [tex]AB[/tex] es [tex]b\sen\alpha=\frac{5\sqrt{3}}{2}>4=a[/tex].)

Solución:
La altura sobre la base también es mediana, así que cada lado igual mide [tex]b=\sqrt{2^2+4^2}=2\sqrt{5}[/tex].
Por el teorema del coseno para el ángulo [tex]\gamma[/tex] del vértice:
[tex]\cos\gamma=\frac{b^2+b^2-4^2}{2b^2}=\frac{20+20-16}{40}=\frac{3}{5}[/tex].

Solución:
[tex]\gamma=180^\circ-(\alpha+\beta)[/tex], así que [tex]\cos\gamma=-\cos(\alpha+\beta)=-\frac{1}{3}[/tex].
Por el teorema del coseno: [tex]AB^2=9+16-2 \times 3 \times 4 \times \left(-\frac{1}{3}\right)=25+8=33[/tex].
Por lo tanto, [tex]AB=\sqrt{33}[/tex].

Solución:
Por el teorema del coseno: [tex]AB^2=9+36-2 \times 3 \times 6 \times \left(-\frac{1}{2}\right)=63[/tex], [tex]AB=3\sqrt{7}[/tex].
[tex]S=\frac{1}{2} \times 3 \times 6 \times \sen 120^\circ=\frac{9\sqrt{3}}{2}[/tex].
[tex]CH=\frac{2S}{AB}=\frac{9\sqrt{3}}{3\sqrt{7}}=\frac{3\sqrt{21}}{7}[/tex].

Solución:
El ángulo [tex]\beta[/tex] es obtuso, así que [tex]\cos\beta=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}[/tex].
Por el teorema del coseno: [tex]b^2=a^2+c^2-2ac\cos\beta=225+49+2 \times 15 \times 7 \times \frac{3}{5}=274+126=400[/tex].
Por lo tanto, [tex]b=20[/tex].

Solución:
Los lados son positivos, así que [tex]0<\sen x<1[/tex] y [tex]0<\cos x<1[/tex], es decir, el lado mayor es [tex]1[/tex].
Para el ángulo [tex]\varphi[/tex] opuesto a él: [tex]\cos\varphi=\frac{\sen^2 x+\cos^2 x-1}{2\sen x\cos x}=0[/tex].
Por lo tanto, [tex]\varphi=90^\circ[/tex].

Solución:
Aplicando el teorema del coseno a dos ángulos consecutivos del paralelogramo se obtiene [tex]d_1^2+d_2^2=2(a^2+b^2)[/tex].
Sea [tex]d_1=6k[/tex], [tex]d_2=7k[/tex]: [tex]36k^2+49k^2=2(121+49) \Rightarrow 85k^2=340 \Rightarrow k=2[/tex].
Las diagonales miden [tex]12[/tex] y [tex]14[/tex].

Solución:
Por el teorema del coseno en el [tex]\triangle ABD[/tex] [tex](AB=8,\ AD=5,\ BD=7)[/tex]:
[tex]\cos\angle BAD=\frac{64+25-49}{2 \times 8 \times 5}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}[/tex], es decir, [tex]\angle BAD=60^\circ[/tex].
Como [tex]AB \parallel CD[/tex], [tex]\angle ADC=180^\circ-60^\circ=120^\circ[/tex] y [tex]\cos\angle ADC=-\frac{1}{2}[/tex].

Solución:
Por el teorema del coseno: [tex]b^2+c^2-a^2=2bc\cos\alpha[/tex].
[tex]4S=4 \times \frac{1}{2}bc\sen\alpha=2bc\sen\alpha[/tex].
Entonces [tex]2bc\cos\alpha=2bc\sen\alpha[/tex], es decir, [tex]\tan\alpha=1[/tex] y [tex]\alpha=45^\circ[/tex].

Solución:
[tex]c^2=4+2\sqrt{3}[/tex].
[tex]\cos\alpha=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{6+2\sqrt{3}}{2\sqrt{6}(1+\sqrt{3})}=\frac{2\sqrt{3}(\sqrt{3}+1)}{2\sqrt{6}(\sqrt{3}+1)}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex], [tex]\alpha=45^\circ[/tex].
[tex]\cos\beta=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{2+2\sqrt{3}}{4(1+\sqrt{3})}=\frac{1}{2}[/tex], [tex]\beta=60^\circ[/tex].
[tex]\gamma=180^\circ-45^\circ-60^\circ=75^\circ[/tex].

Solución:
Sea [tex]a=t[/tex], [tex]b=t\sqrt{3}[/tex], [tex]c=kt[/tex]. Por el teorema del coseno para [tex]\beta[/tex]:
[tex]3t^2=t^2+k^2t^2-2 \times t \times kt \times \left(-\frac{1}{2}\right) \Rightarrow k^2+k-2=0[/tex].
Como [tex]k>0[/tex], [tex]k=1[/tex]. Entonces [tex]a=c[/tex] y [tex]\alpha=\gamma=\frac{180^\circ-120^\circ}{2}=30^\circ[/tex].

Solución:
El triángulo inscrito corta del grande tres triángulos. Cada uno tiene un ángulo de [tex]60^\circ[/tex] opuesto a un lado de [tex]\sqrt{3}[/tex], y sus ángulos en los vértices del triángulo pequeño son iguales dos a dos (dos contiguos suman [tex]120^\circ[/tex]). Por eso los tres triángulos son congruentes y cada lado del grande queda dividido en segmentos [tex]x[/tex] y [tex]3-x[/tex].
Por el teorema del coseno: [tex]3=x^2+(3-x)^2-2x(3-x)\cos 60^\circ=3x^2-9x+9[/tex].
[tex]x^2-3x+2=0 \Rightarrow x=1[/tex] o [tex]x=2[/tex].
Los segmentos miden [tex]1[/tex] y [tex]2[/tex].

Solución:
Por el teorema del coseno en el [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]\cos\angle ABC=\frac{9+16-36}{2 \times 3 \times 4}=-\frac{11}{24}[/tex].
Si el cuadrilátero fuera inscriptible, [tex]\angle ABC=180^\circ-30^\circ=150^\circ[/tex] y [tex]\cos\angle ABC=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex].
Pero [tex]-\frac{11}{24} \ne -\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], así que no se puede circunscribir una circunferencia.