Matrices y determinantes - problemas y soluciones

Solución:
Traduce al serbio (latino) y al español esto: Las dimensiones de las matrices son $n\times m$, donde
$n$ es el número de filas y
$m$ es el número de columnas.

En este caso, la matriz del ejemplo es $4 \times 5$ porque tiene $4$ filas y $5$ columnas.

Dimensión de $A$: $4\times 5$

Solución:
$A_{2,4}$ es el elemento que se encuentra en la segunda fila y la cuarta columna de $A$

$A_{2,4}=0$.

Solución:
$A_{3,2}$ es el elemento que se encuentra en la tercera fila y la segunda columna de $A$

$A_{3,2}=-1$.

Solución:
Spanish: La matriz identidad (matriz unidad) es una matriz cuadrada con unos en la diagonal principal y ceros en todas partes.
Ejemplo:
$\left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right) $

Solución:
$\left[ \begin{array}{ccc} 3 & -2 & 3 \\ 5 & 1 & 0 \end{array} \right] $

Esta matriz representa los coeficientes de las variables y los términos constantes del sistema de ecuaciones.

Solución:
$\left[ \begin{array}{cc} 2 & -1 \\ 1 & 3 \end{array} \right] +\left[ \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 2 & -1 \end{array} \right] =\left[ \begin{array}{cc} 3 & -1 \\ 3 & 2 \end{array} \right] $

$2+1=3$
$-1+0=-1$
$1+2=3$
$3+(-1)=2$

Solución:
Restamos la matriz conocida en ambos lados; las matrices se restan elemento a elemento:
[tex]A=\begin{bmatrix}5 & -1 \\ 1 & 5\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}2 & 3 \\ -4 & 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5-2 & -1-3 \\ 1-(-4) & 5-1\end{bmatrix}[/tex]
Respuesta: [tex]A=\begin{bmatrix}3 & -4 \\ 5 & 4\end{bmatrix}[/tex]

Solución:
Multiplicamos cada elemento de la matriz por [tex]5[/tex]:
[tex]5\begin{bmatrix}-2 \\ 3 \\ -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5\times(-2) \\ 5\times3 \\ 5\times(-4)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-10 \\ 15 \\ -20\end{bmatrix}[/tex]
Respuesta: [tex]5\begin{bmatrix}-2 \\ 3 \\ -4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}-10 \\ 15 \\ -20\end{bmatrix}[/tex]

Solución:
[tex]\frac{3}{2}X=\begin{bmatrix}3 & -4 \\ 5 & 4\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}-1 & 3 \\ 2 & -2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3-(-1) & -4-3 \\ 5-2 & 4-(-2)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}4 & -7 \\ 3 & 6\end{bmatrix}[/tex]
Multiplicamos ambos lados por [tex]\frac{2}{3}[/tex]:
[tex]X=\frac{2}{3}\begin{bmatrix}4 & -7 \\ 3 & 6\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{8}{3} & -\frac{14}{3} \\ 2 & 4\end{bmatrix}[/tex]
Respuesta: [tex]X=\begin{bmatrix}\frac{8}{3} & -\frac{14}{3} \\ 2 & 4\end{bmatrix}[/tex]

Solución:
[tex]B[/tex] es una matriz [tex]2\times 3[/tex] y [tex]C[/tex] es una matriz [tex]3\times 2[/tex], así que el producto [tex]A=BC[/tex] es una matriz [tex]2\times 2[/tex].
Cada elemento es una fila de [tex]B[/tex] por una columna de [tex]C[/tex]:
[tex]a_{11}=1\times2+(-3)\times(-2)+(-2)\times3=2+6-6=2[/tex]
[tex]a_{12}=1\times1+(-3)\times(-1)+(-2)\times0=1+3+0=4[/tex]
[tex]a_{21}=2\times2+0\times(-2)+1\times3=4+0+3=7[/tex]
[tex]a_{22}=2\times1+0\times(-1)+1\times0=2+0+0=2[/tex]
Respuesta: [tex]A=\begin{bmatrix}2 & 4 \\ 7 & 2\end{bmatrix}[/tex]

Solución:
Para [tex]A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}[/tex] se tiene [tex]\det A=ad-bc[/tex].
[tex]\det A=2\times5-(-3)\times4=10+12=22[/tex]
Respuesta: [tex]\det A=22[/tex]

Solución:
Para [tex]A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}[/tex] se tiene [tex]\det A=ad-bc[/tex].
[tex]\det A=3\times0-4\times0=0[/tex]
(Una matriz con una fila de ceros siempre tiene determinante [tex]0[/tex].)
Respuesta: [tex]\det A=0[/tex]

Solución:
Para [tex]A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}[/tex] con [tex]\det A\neq 0[/tex]: [tex]A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}[/tex]. Si [tex]\det A=0[/tex], la inversa no existe.
[tex]\det A=2\times5-(-3)\times4=10+12=22\neq 0[/tex]
[tex]A^{-1}=\frac{1}{22}\begin{bmatrix}5 & 3 \\ -4 & 2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{5}{22} & \frac{3}{22} \\ -\frac{2}{11} & \frac{1}{11}\end{bmatrix}[/tex]
Respuesta: [tex]A^{-1}=\begin{bmatrix}\frac{5}{22} & \frac{3}{22} \\ -\frac{2}{11} & \frac{1}{11}\end{bmatrix}[/tex]

Solución:
Para [tex]A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}[/tex] con [tex]\det A\neq 0[/tex]: [tex]A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}[/tex]. Si [tex]\det A=0[/tex], la inversa no existe.
[tex]\det A=0\times0-\left(-\frac{3}{4}\right)\times\frac{7}{3}=\frac{7}{4}\neq 0[/tex]
[tex]A^{-1}=\frac{4}{7}\begin{bmatrix}0 & \frac{3}{4} \\ -\frac{7}{3} & 0\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0 & \frac{3}{7} \\ -\frac{4}{3} & 0\end{bmatrix}[/tex]
Respuesta: [tex]A^{-1}=\begin{bmatrix}0 & \frac{3}{7} \\ -\frac{4}{3} & 0\end{bmatrix}[/tex]

Solución:
Para [tex]A=\begin{bmatrix}a & b \\ c & d\end{bmatrix}[/tex] con [tex]\det A\neq 0[/tex]: [tex]A^{-1}=\frac{1}{\det A}\begin{bmatrix}d & -b \\ -c & a\end{bmatrix}[/tex]. Si [tex]\det A=0[/tex], la inversa no existe.
[tex]\det A=3\times8-(-4)\times(-6)=24-24=0[/tex]
El determinante es [tex]0[/tex], así que [tex]A[/tex] no tiene inversa.

Solución:
[tex]AB=\begin{bmatrix}\frac{21}{5}-\frac{16}{5} & -\frac{28}{5}+\frac{28}{5} \\ \frac{12}{5}-\frac{12}{5} & -\frac{16}{5}+\frac{21}{5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]
[tex]BA=\begin{bmatrix}\frac{21}{5}-\frac{16}{5} & -\frac{12}{5}+\frac{12}{5} \\ \frac{28}{5}-\frac{28}{5} & -\frac{16}{5}+\frac{21}{5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]
Ambos productos son iguales a la matriz identidad, así que [tex]B=A^{-1}[/tex].

Solución:
[tex]AB=\begin{bmatrix}-4+9 & 2-6 \\ -2+6 & 1-4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}5 & -4 \\ 4 & -3\end{bmatrix}\neq \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]
[tex]AB[/tex] no es la matriz identidad, así que [tex]B[/tex] no es la inversa de [tex]A[/tex].

Solución:
[tex]AB=\begin{bmatrix}\frac{16}{25}+\frac{27}{25} & -\frac{40}{25}+\frac{81}{25} \\ -\frac{2}{25}+\frac{6}{25} & \frac{5}{25}+\frac{18}{25}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{43}{25} & \frac{41}{25} \\ \frac{4}{25} & \frac{23}{25}\end{bmatrix}\neq \begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]
[tex]AB[/tex] no es la matriz identidad, así que [tex]B[/tex] no es la inversa de [tex]A[/tex].

Solución:
[tex]AB=\begin{bmatrix}\frac{16}{25}+\frac{9}{25} & -\frac{72}{25}+\frac{72}{25} \\ -\frac{2}{25}+\frac{2}{25} & \frac{9}{25}+\frac{16}{25}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]
[tex]BA=\begin{bmatrix}\frac{16}{25}+\frac{9}{25} & \frac{18}{25}-\frac{18}{25} \\ \frac{8}{25}-\frac{8}{25} & \frac{9}{25}+\frac{16}{25}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]
Ambos productos son iguales a la matriz identidad, así que [tex]B=A^{-1}[/tex].

Solución:
Si [tex]B=A^{-1}[/tex], entonces [tex]AB=I[/tex]:
[tex]AB=\begin{bmatrix}\frac{2}{5}+\frac{3}{5} & x+\frac{3}{5} \\ -\frac{2}{5}+\frac{2}{5} & -x+\frac{2}{5}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}[/tex]
[tex]x+\frac{3}{5}=0\;\Rightarrow\; x=-\frac{3}{5}[/tex]
Comprobación: [tex]-x+\frac{2}{5}=\frac{3}{5}+\frac{2}{5}=1[/tex].
Respuesta: [tex]x=-\frac{3}{5}[/tex]

Solución:
Una matriz no tiene inversa exactamente cuando su determinante es [tex]0[/tex].
[tex]\det A=2\times(-2)-3x=-4-3x[/tex]
[tex]-4-3x=0\;\Rightarrow\; x=-\frac{4}{3}[/tex]
Respuesta: [tex]x=-\frac{4}{3}[/tex]

Solución:
Una matriz no tiene inversa exactamente cuando su determinante es [tex]0[/tex].
[tex]\det A=1\times(-1)-(2+x)x=-1-2x-x^{2}[/tex]
[tex]-x^{2}-2x-1=0\;\Rightarrow\; x^{2}+2x+1=0\;\Rightarrow\;(x+1)^{2}=0\;\Rightarrow\; x=-1[/tex]
Respuesta: [tex]x=-1[/tex]