Problemas de movimiento - distancia, velocidad, tiempo - problemas y soluciones

Solución:
La distancia entre ellos aumenta 24 : 2 = 12 km cada hora.
Sea x km/h la velocidad del peatón; la del ciclista es 3x km/h.
3x - x = 12, de donde 2x = 12 y x = 6.
Respuesta: peatón 6 km/h, ciclista 18 km/h.

Solución:
Distancia desde el refugio: 5 . 3 = 15 km.
Tiempo de vuelta: 15 : 3 = 5 horas.
Tiempo total: 3 + 1 + 5 = 9 horas.
Respuesta: 9 horas.

Solución:
Se alejan con una velocidad igual a la suma de sus velocidades.
Velocidad de alejamiento: 63 : 3 = 21 km/h
Sea x km/h la velocidad del peatón; la del ciclista es 2,5x km/h.
x + 2,5x = 21, de donde 3,5x = 21 y x = 6.
Respuesta: peatón 6 km/h, ciclista 15 km/h.

Solución:
Hasta las 9:00 el peatón ha recorrido 6 . 1 = 6 km.
Quedan 46 - 6 = 40 km.
Se alejan a 6 + 14 = 20 km/h, así que hacen falta 40 : 20 = 2 horas.
2 horas después de las 9:00 son las 11:00.
Comprobación: 3 . 6 + 2 . 14 = 18 + 28 = 46 km.
Respuesta: 11:00.

Solución:
Juntos recorren 480 km y el primero recorre 80 km más.
Primero: (480 + 80) : 2 = 280 km; segundo: 480 - 280 = 200 km.
Velocidades: 280 : 4 = 70 km/h y 200 : 4 = 50 km/h.
Comprobación: (70 + 50) . 4 = 480 km.
Respuesta: 70 km/h y 50 km/h.

Solución:
En 1,5 horas el coche recorre 60 . 1,5 = 90 km - esa es la ventaja.
El motociclista recorta 90 - 60 = 30 km cada hora.
Tiempo para alcanzarlo: 90 : 30 = 3 horas.
En 3 horas el motociclista recorre 90 . 3 = 270 km, que es toda la distancia AB.
Comprobación: el coche viaja 1,5 + 3 = 4,5 horas, 60 . 4,5 = 270 km.
Respuesta: 270 km.

Solución:
Sea x km/h la velocidad. La distancia es la misma en ambos casos:
5x = 4(x + 15)
5x = 4x + 60
x = 60
Distancia: 5 . 60 = 300 km.
Comprobación: 300 : (60 + 15) = 300 : 75 = 4 horas.
Respuesta: 60 km/h y 300 km.

Solución:
Velocidad a favor de la corriente: 45 : 3 = 15 km/h.
Velocidad en contra: 45 : 5 = 9 km/h.
Velocidad propia = (15 + 9) : 2 = 12 km/h.
Velocidad de la corriente = (15 - 9) : 2 = 3 km/h.
Comprobación: 12 + 3 = 15 y 12 - 3 = 9.
Respuesta: velocidad propia 12 km/h, corriente 3 km/h.

Solución:
Velocidad a favor de la corriente: 36 : 2 = 18 km/h.
Sea x km/h la velocidad de la corriente; la velocidad propia es 5x km/h.
5x + x = 18, de donde 6x = 18 y x = 3.
Velocidad propia: 5 . 3 = 15 km/h; velocidad en contra: 15 - 3 = 12 km/h.
Tiempo en contra: 60 : 12 = 5 horas.
Respuesta: corriente 3 km/h, velocidad propia 15 km/h, 5 horas.

Solución:
Sea x km/h la velocidad del segundo coche; la del primero es (x + 14) km/h.
En 4 horas el segundo recorre 4x km y el primero 4(x + 14) km. Juntos cubren toda la distancia que los separa:
4x + 4(x + 14) = 520
4x + 4x + 56 = 520
8x = 464
x = 58
Segundo coche: 58 km/h; primer coche: 58 + 14 = 72 km/h.
Comprobación: (58 + 72) . 4 = 520 km.
Respuesta: 72 km/h y 58 km/h.

Solución:
Tomemos toda la distancia como 1.
En una hora el tren de mercancías recorre 1/6 y el rápido 1/4 de ella.
Juntos en una hora: 1/6 + 1/4 = 2/12 + 3/12 = 5/12 de la distancia.
Tiempo hasta el encuentro: 1 : 5/12 = 12/5 = 2,4 horas.
Respuesta: 2 horas y 24 minutos.

Solución:
La velocidad de la motocicleta es 80 - 20 = 60 km/h.
Hasta las 8:00 el coche ha recorrido 80 km, así que quedan 220 - 80 = 140 km.
Se aproximan a 80 + 60 = 140 km/h, por lo que necesitan 140 : 140 = 1 hora.
Se encuentran a las 9:00; para entonces el coche ha recorrido 80 . 2 = 160 km.
Respuesta: a las 9:00, a 160 km de la primera ciudad.

Solución:
Convertimos las velocidades: 72 km/h = 20 m/s y 54 km/h = 15 m/s.
Velocidad relativa: 20 - 15 = 5 m/s.
Durante el adelantamiento el tren rápido debe recuperar la suma de las dos longitudes: 240 + 160 = 400 m.
Tiempo: 400 : 5 = 80 s.
Respuesta: 80 segundos.

Solución:
Sea 2d km todo el trayecto; cada mitad mide d km.
Tiempo de la primera mitad: d : 60 horas; de la segunda: d : 40 horas.
Tiempo total: d/60 + d/40 = 2d/120 + 3d/120 = 5d/120 = d/24 horas.
Velocidad media = distancia total : tiempo total = 2d : (d/24) = 48 km/h.
Nota: la respuesta no es 50 km/h, porque el coche pasa más tiempo en la mitad más lenta.
Respuesta: 48 km/h.

Solución:
Contra la corriente la barca avanza a 12 - 3 = 9 km/h, mientras la balsa se desplaza en sentido contrario a 3 km/h, así que se alejan a 9 + 3 = 12 km/h.
En 2 horas la distancia llega a ser 12 . 2 = 24 km.
Tras dar la vuelta, la barca avanza a 12 + 3 = 15 km/h y la balsa a 3 km/h en el mismo sentido, por lo que la barca recorta 15 - 3 = 12 km cada hora.
Tiempo: 24 : 12 = 2 horas.
Nota: respecto al agua la balsa no se mueve, y la barca siempre se mueve a 12 km/h respecto al agua - por eso los dos tiempos son iguales.
Respuesta: 2 horas.

Solución:
Sea x km/h la velocidad del segundo coche; la del primero es (x + 10) km/h.
En 2 horas el segundo recorre 2x km y el primero 2(x + 10) km. Juntos recorren los 300 km:
2x + 2(x + 10) = 300
2x + 2x + 20 = 300
4x = 280
x = 70
Segundo coche: 70 km/h; primer coche: 70 + 10 = 80 km/h.
Comprobación: (70 + 80) . 2 = 300 km.
Respuesta: 80 km/h y 70 km/h.

Solución:
Sea x km/h la velocidad del coche.
En el momento del alcance, el camión lleva 3 + 2 = 5 horas viajando y ha recorrido 40 . 5 = 200 km.
El coche lleva 2 horas y ha recorrido 2x km. Ambos han recorrido la misma distancia:
2x = 40 . (3 + 2)
2x = 200
x = 100
Respuesta: 100 km/h.

Solución:
Sea x km la parte recorrida a pie; entonces en bicicleta recorrió (45 - x) km.
Tiempo a pie: x/5 horas; tiempo en bicicleta: (45 - x)/15 horas. En total 5 horas:
x/5 + (45 - x)/15 = 5
Multiplicamos ambos miembros por 15:
3x + 45 - x = 75
2x = 30
x = 15
Comprobación: 15 : 5 = 3 horas y 30 : 15 = 2 horas, 3 + 2 = 5 horas.
Respuesta: 15 km.

Solución:
Sea x km/h la velocidad propia de la barca.
Velocidad a favor de la corriente: (x + 3) km/h; en contra: (x - 3) km/h.
Las dos distancias son iguales:
3(x + 3) = 5(x - 3)
3x + 9 = 5x - 15
9 + 15 = 5x - 3x
2x = 24
x = 12
Comprobación: 3 . 15 = 45 km y 5 . 9 = 45 km.
Respuesta: 12 km/h.

Solución:
No hace falta sumar cada viaje de la mosca. Los trenes se acercan a [tex]50+50=100[/tex] km/h, así que se encuentran al cabo de [tex]200\div 100=2[/tex] horas. Todo ese tiempo la mosca está volando:
[tex]75\times 2=150[/tex]

Solución:
En ese tiempo la locomotora recorre la longitud del puente más la longitud del tren:
[tex]480+120=600[/tex]
[tex]600\div 5=120[/tex]

Solución:
Cada segundo el perro se acerca al gato [tex]10-7=3[/tex]:
[tex]30\div 3=10[/tex]

Solución:
No necesitamos la distancia entre las ciudades. En los últimos [tex]10[/tex] minutos antes del encuentro, los coches recorren juntos exactamente la distancia que los separa, acercándose a [tex]100+80=180[/tex] km/h:
[tex]180\times \dfrac{10}{60}=30[/tex]

Solución:
Avanzando una hacia la otra, solo pueden estar más lejos si se cruzan. En [tex]3[/tex] horas recorren juntas [tex]4[/tex] (hasta encontrarse) más [tex]8[/tex] (después), es decir, [tex]12[/tex]. En una hora, juntas:
[tex]12\div 3=4[/tex]
así que cada hormiga avanza [tex]4\div 2=2[/tex] m por hora.

Solución:
Mitko caminó hasta ser alcanzado [tex]20+2+3=25[/tex] minutos:
[tex]6\times \dfrac{25}{60}=\dfrac{5}{2}[/tex]
El coche recorrió la misma distancia en [tex]3[/tex] minutos:
[tex]\dfrac{5}{2}\div \dfrac{3}{60}=\dfrac{5}{2}\times 20=50[/tex]

Solución:
Stoyan tarda [tex]20+10=30[/tex] minutos menos que María, y Dani solo [tex]20-10=10[/tex] minutos menos. Stoyan recorre el mismo camino en menos tiempo, así que es más rápido.

Solución:
El doble de rápido por un camino la mitad de largo significa que el Lobo necesitó [tex]4[/tex] veces menos tiempo. Si el tiempo de ella es [tex]t[/tex] minutos, el de él es [tex]\frac{t}{4}[/tex]:
[tex]t-\dfrac{t}{4}=30 \Rightarrow \dfrac{3t}{4}=30 \Rightarrow t=40[/tex]