Problemas de movimiento - distancia, velocidad, tiempo - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
El coche salió de la fábrica a la hora de siempre y por el camino de siempre, pero dio la vuelta en el punto de encuentro. Los [tex]12[/tex] minutos ahorrados son el trayecto del punto de encuentro a la parada y vuelta, es decir, [tex]6[/tex] minutos en cada sentido. Así que el coche encontró al director [tex]6[/tex] minutos antes de llegar a la parada a las [tex]8{:}00[/tex], es decir, a las [tex]7{:}54[/tex].

Solución:
Sean [tex]u[/tex] la velocidad del hombre, [tex]v[/tex] la del tractor y [tex]L[/tex] la longitud. Hacia delante se mueve respecto al tubo a [tex]u-v[/tex] durante [tex]\frac{150}{u}[/tex]; hacia atrás, a [tex]u+v[/tex] durante [tex]\frac{20}{u}[/tex]:
[tex]L=(u-v)\times \dfrac{150}{u}=(u+v)\times \dfrac{20}{u}[/tex]
[tex]150(u-v)=20(u+v) \Rightarrow 130u=170v \Rightarrow v=\dfrac{13}{17}u[/tex]
[tex]L=150\left(1-\dfrac{13}{17}\right)=150\times \dfrac{4}{17}=\dfrac{600}{17}=35\dfrac{5}{17}[/tex]

Solución:
La bicicleta puede llevar a alguien como mucho [tex]12[/tex] km en total, así que una de las dos va en bici como mucho [tex]6[/tex] km y camina al menos [tex]6[/tex] km. Esa persona necesita al menos
[tex]\dfrac{6}{20}+\dfrac{6}{5}=0{,}3+1{,}2=1{,}5[/tex]
horas, es decir, [tex]90[/tex] minutos. Este tiempo se consigue: la primera va en bici [tex]6[/tex] km, deja la bicicleta y sigue a pie; la segunda camina [tex]6[/tex] km (en [tex]1{,}2[/tex] h, cuando la bici ya está allí) y hace el resto en bici. Ambas llegan a los [tex]90[/tex] minutos.

Solución:
Observemos el movimiento desde el camión A (como si A estuviera parado). Entonces B y C avanzan con ciertas velocidades [tex]b[/tex] y [tex]c[/tex] respecto de A. Al principio ambos están [tex]18[/tex] detrás de A. Mientras C recorre esos [tex]18[/tex], B recorre solo [tex]18-13{,}5=4{,}5[/tex], así que
[tex]\dfrac{b}{c}=\dfrac{4{,}5}{18}=\dfrac{1}{4}[/tex]
B llega a A tras recorrer [tex]18[/tex]; en ese tiempo C recorre [tex]4\times 18=72[/tex], es decir, está [tex]72-18=54[/tex] km por delante de A.

Solución:
Sea [tex]v[/tex] la velocidad del camión. El motorista alcanza al camión [tex]t[/tex] horas después de salir:
[tex]50t=v\left(t+\dfrac{1}{2}\right) \Rightarrow t=\dfrac{v}{2(50-v)}[/tex]
Vuelve la misma distancia en el mismo tiempo [tex]t[/tex], así que está de vuelta en A [tex]\frac{1}{2}+2t[/tex] horas después de que saliera el camión, que es el tiempo de viaje del camión:
[tex]\dfrac{1}{2}+\dfrac{v}{50-v}=\dfrac{180}{v}\ \Big|\times 2v(50-v)[/tex]
[tex]v(50-v)+2v^2=360(50-v) \Rightarrow v^2+410v-18000=0[/tex]
[tex](v-40)(v+450)=0 \Rightarrow v=40[/tex]
Comprobación: el motorista alcanza al camión a las [tex]2[/tex] h, a [tex]100[/tex] km de A, y vuelve a A [tex]4{,}5[/tex] h después de la salida del camión; el camión necesita [tex]180\div 40=4{,}5[/tex] h.

Solución:
Supongamos que amaneció [tex]x[/tex] horas antes del mediodía y que las velocidades son [tex]a[/tex] (desde A) y [tex]b[/tex] (desde B). El tramo que la primera recorrió antes del mediodía lo recorre la segunda después del mediodía en [tex]9[/tex] horas, y al revés (en [tex]4[/tex] horas):
[tex]ax=9b[/tex], [tex]bx=4a[/tex]
[tex]ab\times x^2=36ab \Rightarrow x^2=36 \Rightarrow x=6[/tex]
Amaneció a las [tex]6{:}00[/tex].

Solución:
Sean [tex]a[/tex] (motorista) y [tex]b[/tex] (ciclista) las velocidades. Hasta el encuentro, en [tex]\frac{7}{6}[/tex] h:
[tex]\dfrac{7}{6}(a+b)=84 \Rightarrow a+b=72[/tex]
Tras el encuentro el motorista recorre el tramo del ciclista, [tex]\frac{7}{6}b[/tex], hasta B, descansa [tex]\frac{1}{3}[/tex] h y vuelve el resto de la hora. Una hora después del encuentro ambos están en el mismo punto; su distancia a B es:
[tex]a\left(1-\dfrac{1}{3}\right)-\dfrac{7}{6}b=\dfrac{7}{6}b+b \Rightarrow \dfrac{2}{3}a=\dfrac{10}{3}b \Rightarrow a=5b[/tex]
[tex]6b=72 \Rightarrow b=12[/tex], [tex]a=60[/tex]

Solución:
Sean [tex]L[/tex] la longitud y [tex]v[/tex] la velocidad de los trenes. Al adelantarlo, el tren pasa junto a él con velocidad relativa [tex]v-5[/tex]; al cruzarse, con [tex]v+5[/tex]:
[tex]L=9(v-5)=7(v+5)[/tex]
[tex]9v-45=7v+35 \Rightarrow v=40[/tex], [tex]L=9\times 35=315[/tex]