Problemas de movimiento - distancia, velocidad, tiempo - problemas difíciles y soluciones

Solución:
Sean [tex]d[/tex] la distancia, [tex]v[/tex] la velocidad de la lancha en aguas tranquilas y [tex]c[/tex] la velocidad de la corriente:
[tex]v+c=\dfrac{d}{2}[/tex], [tex]v-c=\dfrac{d}{3}[/tex]
[tex]2c=\dfrac{d}{2}-\dfrac{d}{3}=\dfrac{d}{6} \Rightarrow c=\dfrac{d}{12}[/tex]
La balsa se mueve con la velocidad de la corriente, así que necesita [tex]d\div \frac{d}{12}=12[/tex] horas.

Solución:
El salvavidas flota con la corriente; en [tex]5[/tex] horas recorre [tex]10[/tex], así que la corriente es [tex]c=2[/tex]. Si [tex]d[/tex] es la distancia y [tex]v[/tex] la velocidad propia de la barca:
[tex]\dfrac{d}{5}-\dfrac{d}{10}=(v+c)-(v-c)=2c=4[/tex]
[tex]\dfrac{d}{10}=4 \Rightarrow d=40[/tex]

Solución:
Miremos el movimiento respecto al agua (como si el agua estuviera quieta). Entonces el sombrero está quieto y la lancha se aleja de él durante [tex]10[/tex] minutos y vuelve con la misma velocidad [tex]12[/tex], es decir, también en [tex]10[/tex] minutos. Así, el sombrero se recoge [tex]20[/tex] minutos después de caer. En ese tiempo flotó con la corriente:
[tex]3\times \dfrac{20}{60}=1[/tex]

Solución:
Sean [tex]L[/tex] la longitud, [tex]e[/tex] la velocidad de la escalera y [tex]u[/tex] la velocidad propia del hombre:
[tex]L=30(e+u)=20(e+3u)[/tex]
[tex]30e+30u=20e+60u \Rightarrow 10e=30u \Rightarrow e=3u[/tex]
[tex]L=30(3u+u)=120u[/tex], [tex]\dfrac{L}{e}=\dfrac{120u}{3u}=40[/tex]

Solución:
Sea [tex]AB=d[/tex]. Hasta el primer cruce los dos coches juntos recorren una distancia [tex]d[/tex]; hasta el segundo, tres distancias [tex]3d[/tex]. Con velocidades constantes, cada coche recorre hasta el segundo cruce [tex]3[/tex] veces más que hasta el primero. El coche de A recorrió [tex]70[/tex] hasta el primer cruce, así que hasta el segundo recorrió [tex]3\times 70=210[/tex], que es [tex]d+40[/tex]:
[tex]d+40=210 \Rightarrow d=170[/tex]

Solución:
Sean [tex]a[/tex] (coche) y [tex]b[/tex] (camión) las velocidades y [tex]AB=D[/tex]; medimos las posiciones desde A. Tras [tex]1[/tex] hora el coche está en [tex]a[/tex] y el camión en [tex]D-b[/tex]:
[tex]a=\dfrac{0+(D-b)}{2} \Rightarrow D=2a+b[/tex]
Tras [tex]t[/tex] horas el coche está en [tex]at[/tex], el camión en [tex]D-bt[/tex] y el punto medio entre el camión y B en [tex]\frac{(D-bt)+D}{2}=D-\frac{bt}{2}[/tex]:
[tex]at=D-\dfrac{bt}{2} \Rightarrow t\left(a+\dfrac{b}{2}\right)=2a+b \Rightarrow t=2[/tex]
Así que ocurre a las [tex]14{:}00[/tex].

Solución:
Yendo en sentidos opuestos, se encuentran cada vez que entre los dos completan una vuelta:
[tex]400\div (10+15)=16[/tex]
[tex]7\times 16=112[/tex]

Solución:
Cada día Viernes se adelanta [tex]33-23=10[/tex]. Vuelven a estar juntos cuando él le saca una vuelta entera ([tex]100[/tex]), es decir, al cabo de [tex]10[/tex] días. Para entonces Robinson ha recorrido
[tex]23\times 10=230=2\times 100+30[/tex]
es decir, dos vueltas completas y [tex]30[/tex] más. Se encuentran a [tex]30[/tex] km de la barca.

Solución:
Supongamos que pasa por C [tex]T[/tex] horas después de las [tex]10{:}30[/tex]. El primer día [tex]AC=8T[/tex]. El segundo día salió [tex]2{,}5[/tex] horas más tarde en el reloj, así que [tex]BC=10(T-2{,}5)[/tex]:
[tex]8T+10(T-2{,}5)=38 \Rightarrow 18T=63 \Rightarrow T=3{,}5[/tex]
Pasó por C a las [tex]10{:}30[/tex] + [tex]3[/tex] h [tex]30[/tex] min = [tex]14{:}00[/tex]. (Comprobación: [tex]AC=28[/tex], [tex]BC=10[/tex].)

Solución:
El motorista va a [tex]2{,}5\times 20=50[/tex] y necesita [tex]60\div 50=1{,}2[/tex] h. En esas últimas [tex]1{,}2[/tex] h el ciclista recorre [tex]20\times 1{,}2=24[/tex], así que cuando salió el motorista el ciclista estaba a
[tex]60-24=36[/tex]
km de A.

Solución:
Hasta ser alcanzado, Pedro corrió de [tex]1200[/tex] m a [tex]4800[/tex] m, es decir, [tex]3600[/tex] m, lo que le llevó [tex]3600\div 180=20[/tex] min. En esos [tex]20[/tex] min Iván corrió [tex]4800[/tex] m:
[tex]4800\div 20=240[/tex]
Iván corre los últimos [tex]200[/tex] m en [tex]\frac{200}{240}=\frac{5}{6}[/tex] min; mientras tanto Pedro corre [tex]180\times \frac{5}{6}=150[/tex] m y está a [tex]200-150=50[/tex] m de la meta.

Solución:
Sean [tex]u[/tex] su velocidad propia y [tex]c[/tex] la de la corriente (por minuto). Contra la corriente retrocedió:
[tex]4(c-u)=80 \Rightarrow c=u+20[/tex]
Tras dar la vuelta, la corriente lo llevó [tex]3[/tex] minutos y remó [tex]2[/tex] minutos a favor de ella:
[tex]3c+2(u+c)=240 \Rightarrow 5c+2u=240[/tex]
[tex]5(u+20)+2u=240 \Rightarrow 7u=140 \Rightarrow u=20[/tex]

Solución:
Sean las distancias [tex]x[/tex], [tex]45x[/tex], [tex]4x[/tex] y los tiempos [tex]4y[/tex], [tex]20y[/tex], [tex]y[/tex]:
[tex]\dfrac{x+45x+4x}{4y+20y+y}=\dfrac{50x}{25y}=\dfrac{2x}{y}=32 \Rightarrow \dfrac{x}{y}=16[/tex]
Velocidad a pie:
[tex]\dfrac{x}{4y}=\dfrac{16}{4}=4[/tex]

Solución:
Midamos todo en pasos de ratón. El gato está [tex]5\times 10=50[/tex] pasos detrás del ratón. En cada salto el gato avanza [tex]10[/tex] y el ratón [tex]3[/tex], así que el gato recorta [tex]7[/tex] pasos por salto y necesita [tex]\frac{50}{7}=7\frac{1}{7}[/tex] saltos para alcanzarlo.
El ratón llega a su agujero en el tiempo de [tex]\frac{20}{3}=6\frac{2}{3}[/tex] saltos, es decir, antes. El ratón se salva.