Problemas básicos de trigonometría - problemas y soluciones

Solución:
Como [tex]180^{\circ}=\pi[/tex] rad, [tex]1^{\circ}=\frac{\pi}{180}[/tex] rad. Entonces
[tex]735^{\circ}=735\times \frac{\pi}{180}=\frac{49\pi}{12}[/tex]
Comprobación: [tex]735^{\circ}=720^{\circ}+15^{\circ}=4\pi+\frac{\pi}{12}=\frac{49\pi}{12}[/tex].

Solución:
Sumar vueltas completas no cambia el lado terminal:
[tex]-800^{\circ}+3\times 360^{\circ}=280^{\circ}[/tex]
Como [tex]270^{\circ}\lt 280^{\circ}\lt 360^{\circ}[/tex], el lado terminal está en el cuarto cuadrante.

Solución:
El ángulo [tex]340^{\circ}[/tex] está en el cuarto cuadrante, donde [tex]\cos x\gt 0[/tex]. Los ángulos [tex]195^{\circ}[/tex] y [tex]200^{\circ}[/tex] están en el tercer cuadrante, donde [tex]\tan x\gt 0[/tex] y [tex]\cot x\gt 0[/tex]. El ángulo [tex]115^{\circ}[/tex] está en el segundo cuadrante, donde [tex]\cot x\lt 0[/tex]. Por lo tanto, solo [tex]\cot 115^{\circ}[/tex] es negativo.

Solución:
La longitud del arco es [tex]l=r\varphi[/tex], donde [tex]\varphi[/tex] es el ángulo central en radianes. Así,
[tex]\varphi=\frac{l}{r}=\frac{2{,} 5}{2}=\frac{5}{4}\approx 71{,} 6^{\circ}[/tex]

Solución:
[tex]\operatorname{sen} 120^{\circ}=\operatorname{sen} 60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}; \quad\cot 150^{\circ}=-\cot 30^{\circ}=-\sqrt{3}; \quad\tan 150^{\circ}=-\tan 30^{\circ}=-\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
El valor es
[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}\times \left(-\sqrt{3}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\times \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=-2[/tex]

Solución:
[tex]\operatorname{sen} 120^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}; \quad\cos 1125^{\circ}=\cos\left(3\times 360^{\circ}+45^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}; \quad\tan 750^{\circ}=\tan \left(4\times 180^{\circ}+30^{\circ}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex]
La suma es
[tex]\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{5\sqrt{3}+3\sqrt{2}}{6}[/tex]

Solución:
En radianes
[tex]1'=\frac{1^{\circ}}{60}=\frac{\pi}{10800}[/tex]
La longitud del arco es [tex]l=R\varphi[/tex] con [tex]\varphi[/tex] en radianes, así que [tex]l=6370\times \frac{\pi}{10800}\approx 1{,} 853[/tex] km.

Solución:
El coseno es par, así que [tex]\cos\alpha=\cos(-\alpha)=-\frac{1}{3}[/tex]. Entonces [tex]\operatorname{sen} ^2\alpha=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}[/tex]. En el tercer cuadrante [tex]\operatorname{sen} \alpha\lt 0[/tex], así que [tex]\operatorname{sen} \alpha=-\frac{2\sqrt{2}}{3}[/tex] y
[tex]\tan \alpha=\frac{\operatorname{sen} \alpha}{\cos\alpha}=\frac{-\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{1}{3}}=2\sqrt{2}[/tex]

Solución:
[tex]7\operatorname{sen} \alpha+13\cos\alpha=15\operatorname{sen} \alpha-51\cos\alpha\iff 64\cos\alpha=8\operatorname{sen} \alpha[/tex]
Si [tex]\cos\alpha=0[/tex], entonces también [tex]\operatorname{sen} \alpha=0[/tex], lo cual es imposible. Así, [tex]\cos\alpha\ne 0[/tex] y [tex]\tan \alpha=\frac{64}{8}=8[/tex].

Solución:
Sea [tex]AA_1\perp BC[/tex], [tex]A_1\in BC[/tex]. El triángulo [tex]AA_1C[/tex] es rectángulo en [tex]A_1[/tex], así que
[tex]AA_1=AC\times \operatorname{sen} 60^{\circ}=5\times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{5\sqrt{3}}{2}[/tex]

Solución:
En el triángulo [tex]ABC[/tex] se tiene [tex]\angle ABC=90^{\circ}-\angle BAC[/tex], así que [tex]\operatorname{sen} \angle ABC=\cos\angle BAC=\frac{\sqrt{3}}{4}[/tex]. El triángulo [tex]BCD[/tex] es rectángulo en [tex]D[/tex], así que
[tex]CD=BC\times \operatorname{sen} \angle ABC=4\sqrt{3}\times \frac{\sqrt{3}}{4}=3[/tex]

Solución:
[tex]\tan \alpha=\frac{a}{b}=2{,} 4=\frac{12}{5}[/tex], así que [tex]a=12k[/tex] y [tex]b=5k[/tex]. El área es [tex]\frac{ab}{2}=30k^2=30[/tex], de donde [tex]k=1[/tex]. Los catetos miden [tex]12[/tex] y [tex]5[/tex], y la hipotenusa es
[tex]c=\sqrt{12^2+5^2}=13[/tex]

Solución:
[tex]\cos\alpha=0{,} 28=\frac{7}{25}[/tex]. Sea [tex]CH[/tex] la altura sobre la base [tex]AB[/tex]; [tex]H[/tex] es el punto medio de [tex]AB[/tex]. En el triángulo rectángulo [tex]AHC[/tex]: [tex]\frac{AH}{AC}=\frac{7}{25}[/tex], así que [tex]AH=7k[/tex], [tex]AC=BC=25k[/tex] y [tex]AB=14k[/tex]. El perímetro es [tex]64k=64[/tex], de donde [tex]k=1[/tex]. Entonces
[tex]CH=\sqrt{25^2-7^2}=24[/tex]

Solución:
Como [tex]\operatorname{sen} (180^{\circ}+x)=-\operatorname{sen} x[/tex] y [tex]\operatorname{sen} (180^{\circ}-x)=\operatorname{sen} x[/tex], se obtiene [tex]\operatorname{sen} 110^{\circ}+\operatorname{sen} 250^{\circ}=\operatorname{sen} 70^{\circ}-\operatorname{sen} 70^{\circ}=0[/tex]. Del mismo modo, los pares [tex]\left(130^{\circ}; 230^{\circ}\right)[/tex], [tex]\left(150^{\circ}; 210^{\circ}\right)[/tex] y [tex]\left(170^{\circ}; 190^{\circ}\right)[/tex] dan [tex]0[/tex]. Solo queda [tex]\operatorname{sen} 270^{\circ}=-1[/tex], así que la suma es [tex]-1[/tex].