Problemas básicos de trigonometría - problemas difíciles y soluciones

Solución:
Usamos [tex]\frac{\pi}{2}\approx 1{,} 57[/tex], [tex]\pi\approx 3{,} 14[/tex] y [tex]2\pi\approx 6{,} 28[/tex]. Como [tex]1{,} 57\lt 2\lt 3{,} 14[/tex] y [tex]1{,} 57\lt 3\lt 3{,} 14[/tex], los ángulos [tex]2[/tex] y [tex]3[/tex] están en el segundo cuadrante. Para [tex]-4[/tex] sumamos una vuelta completa: [tex]-4+2\pi\approx 2{,} 28[/tex], que también está entre [tex]1{,} 57[/tex] y [tex]3{,} 14[/tex]. Por lo tanto, los tres ángulos están en el segundo cuadrante.

Solución:
[tex]\operatorname{sen} \frac{7\pi}{6}=\operatorname{sen} \left(\pi+\frac{\pi}{6}\right)=-\frac{1}{2}; \quad\cos\left(-\frac{5\pi}{3}\right)=\cos\left(2\pi-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}[/tex]
Como [tex]\frac{\pi}{7}+\frac{5\pi}{14}=\frac{\pi}{2}[/tex], se tiene [tex]\tan \frac{5\pi}{14}=\cot \frac{\pi}{7}[/tex], así que [tex]\tan \frac{\pi}{7}\times \tan \frac{5\pi}{14}=1[/tex]. El valor es [tex]-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+1=1[/tex].

Solución:
Por las fórmulas de reducción:
[tex]\cos(270^{\circ}-x)=-\operatorname{sen} x; \ \operatorname{sen} (270^{\circ}+x)=-\cos x; \ \tan (180^{\circ}-x)=-\tan x; \ \cos(270^{\circ}+x)=\operatorname{sen} x; \ \operatorname{sen} (180^{\circ}-x)=\operatorname{sen} x[/tex]
El numerador es [tex]2(-\operatorname{sen} x)(-\cos x)(-\tan x)=-2\operatorname{sen} ^2 x[/tex] y el denominador [tex]\operatorname{sen} ^2 x[/tex], así que el valor es [tex]-2[/tex] para todo [tex]x[/tex] admisible.

Solución:
[tex]\operatorname{sen} (\alpha-270^{\circ})=\cos\alpha; \quad\cos(\alpha-90^{\circ})=\operatorname{sen} \alpha; \quad\tan (\alpha+90^{\circ})=-\cot \alpha[/tex]
El producto es
[tex]\cos\alpha\times \operatorname{sen} \alpha\times \left(-\frac{\cos\alpha}{\operatorname{sen} \alpha}\right)=-\cos^2\alpha=-\frac{1}{1+\tan ^2\alpha}=-\frac{1}{1+\frac{1}{4}}=-\frac{4}{5}[/tex]

Solución:
[tex]x-2\pi\in\left[\frac{\pi}{2}; \pi\right)[/tex], así que el lado terminal de [tex]x[/tex] está en el segundo cuadrante: [tex]\operatorname{sen} x\gt 0[/tex] y [tex]\cos x\lt 0[/tex]. De [tex]\cot x=\frac{\cos x}{\operatorname{sen} x}=-2[/tex] se obtiene [tex]\cos x=-2\operatorname{sen} x[/tex], de donde [tex]\operatorname{sen} ^2 x+4\operatorname{sen} ^2 x=1[/tex] y [tex]\operatorname{sen} ^2 x=\frac{1}{5}[/tex]. Por lo tanto,
[tex]\operatorname{sen} x=\frac{\sqrt{5}}{5}; \quad\cos x=-\frac{2\sqrt{5}}{5}[/tex]

Solución:
En el segundo cuadrante [tex]\cos\alpha\lt 0[/tex], así que
[tex]\cos\alpha=-\sqrt{1-\frac{9}{16}}=-\frac{\sqrt{7}}{4}; \quad\tan \alpha=\frac{\operatorname{sen} \alpha}{\cos\alpha}=-\frac{3}{\sqrt{7}}=-\frac{3\sqrt{7}}{7}[/tex]
Así, [tex]7\tan \alpha=-3\sqrt{7}[/tex] y [tex]-8\cos\alpha=2\sqrt{7}[/tex], y el valor es [tex]-3\sqrt{7}+2\sqrt{7}=-\sqrt{7}[/tex].

Solución:
[tex]\frac{3\operatorname{sen} \alpha+2\tan \alpha}{\cot \alpha}=\left(3\operatorname{sen} \alpha+\frac{2\operatorname{sen} \alpha}{\cos\alpha}\right)\times \frac{\operatorname{sen} \alpha}{\cos\alpha}=\frac{\operatorname{sen} ^2\alpha}{\cos\alpha}\left(3+\frac{2}{\cos\alpha}\right)[/tex]
Solo aparece [tex]\operatorname{sen} ^2\alpha[/tex], así que el signo de [tex]\operatorname{sen} \alpha[/tex] no importa: [tex]\operatorname{sen} ^2\alpha=1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}[/tex] y [tex]3+\frac{2}{\cos\alpha}=9[/tex]. El valor es
[tex]\frac{\frac{8}{9}}{\frac{1}{3}}\times 9=\frac{8}{3}\times 9=24[/tex]

Solución:
Sustituimos [tex]\operatorname{sen} ^2\alpha=1-\cos^2\alpha[/tex]:
[tex]20\cos^2\alpha-21\cos\alpha+4=0[/tex]
de donde [tex]\cos\alpha=\frac{4}{5}[/tex] o [tex]\cos\alpha=\frac{1}{4}[/tex]. Para [tex]\alpha\in\left(315^{\circ}; 360^{\circ}\right)[/tex] se tiene [tex]\cos\alpha\gt\cos 315^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}\approx 0{,} 71[/tex], así que [tex]\cos\alpha=\frac{4}{5}[/tex]. En el cuarto cuadrante [tex]\operatorname{sen} \alpha\lt 0[/tex], así que [tex]\operatorname{sen} \alpha=-\frac{3}{5}[/tex] y [tex]\tan \alpha=-\frac{3}{4}[/tex].

Solución:
Sea [tex]ABC[/tex] con [tex]\angle C=90^{\circ}[/tex] y altura [tex]CH[/tex]. Sea [tex]AH=x[/tex] la proyección de [tex]AC[/tex]; entonces [tex]AB=5x[/tex] y [tex]HB=4x[/tex]. En un triángulo rectángulo [tex]CH^2=AH\times HB=4x^2[/tex], así que [tex]CH=2x[/tex]. El ángulo agudo adyacente a [tex]AC[/tex] es [tex]\angle A[/tex], y en el triángulo rectángulo [tex]AHC[/tex]:
[tex]\tan A=\frac{CH}{AH}=\frac{2x}{x}=2[/tex]

Solución:
Sea [tex]CM[/tex] la mediana sobre la hipotenusa; entonces [tex]CM=MA=MB=\frac{AB}{2}=2CH[/tex]. En el triángulo rectángulo [tex]CHM[/tex]: [tex]\operatorname{sen} \angle CMH=\frac{CH}{CM}=\frac{1}{2}[/tex], así que el ángulo agudo entre [tex]CM[/tex] y [tex]AB[/tex] es [tex]30^{\circ}[/tex]. Sea [tex]\angle A[/tex] el menor ángulo. El triángulo [tex]AMC[/tex] es isósceles ([tex]MA=MC[/tex]), así que su ángulo exterior [tex]\angle CMB=2\angle A\lt 90^{\circ}[/tex]. Por lo tanto, [tex]2\angle A=30^{\circ}[/tex] y [tex]\angle A=15^{\circ}[/tex].

Solución:
Sea [tex]AH\perp BC[/tex], [tex]H\in BC[/tex], es decir, [tex]AH=h_a[/tex]. Como [tex]\beta[/tex] y [tex]\gamma[/tex] son agudos, [tex]H[/tex] está entre [tex]B[/tex] y [tex]C[/tex], así que [tex]a=BH+HC[/tex]. En el triángulo rectángulo [tex]ABH[/tex]: [tex]\cot \beta=\frac{BH}{AH}[/tex], es decir, [tex]BH=h_a\cot \beta[/tex]. Del mismo modo, [tex]HC=h_a\cot \gamma[/tex]. Entonces
[tex]a=h_a(\cot \beta+\cot \gamma)\iff\frac{a}{h_a}=\cot \beta+\cot \gamma[/tex]

Solución:
Sea [tex]CH\perp AB[/tex]; [tex]H[/tex] es el punto medio de [tex]AB[/tex]. En el triángulo rectángulo [tex]AHC[/tex]: [tex]AH=AC\times \cos\angle BAC=\frac{3}{5}AC[/tex], así que [tex]AB=2AH=\frac{6}{5}AC[/tex]. Por el teorema de la bisectriz
[tex]\frac{CL}{LB}=\frac{AC}{AB}=\frac{AC}{\frac{6}{5}AC}=\frac{5}{6}[/tex]

Solución:
Las diagonales se cortan en su punto medio formando ángulo recto, así que el lado es [tex]a=\sqrt{3^2+4^2}=5[/tex]. El área es [tex]S=\frac{6\times 8}{2}=24[/tex], así que la altura es [tex]h=\frac{S}{a}=\frac{24}{5}[/tex]. En el triángulo rectángulo formado por la altura y un lado:
[tex]\operatorname{sen} \alpha=\frac{h}{a}=\frac{24}{25}; \quad\cos\alpha=\sqrt{1-\frac{576}{625}}=\frac{7}{25}; \quad\tan \alpha=\frac{24}{7}[/tex]

Solución:
La altura es igual al diámetro: [tex]h=2r=4[/tex]. Sea [tex]DD_1\perp AB[/tex]. En el triángulo rectángulo [tex]AD_1D[/tex]: [tex]\tan A=\frac{DD_1}{AD_1}=4[/tex], así que [tex]AD_1=1[/tex] y [tex]AD=\sqrt{1+16}=\sqrt{17}[/tex]. El trapecio tiene una circunferencia inscrita, así que [tex]AB+CD=AD+BC=2\sqrt{17}[/tex]. Además [tex]AB-CD=2AD_1=2[/tex]. Por lo tanto,
[tex]AB=\sqrt{17}+1; \quad CD=\sqrt{17}-1; \quad S=\frac{AB+CD}{2}\times h=\sqrt{17}\times 4=4\sqrt{17}[/tex]

Solución:
Sea [tex]BM[/tex] la mediana, [tex]M[/tex] el punto medio de [tex]AC[/tex]. El punto [tex]C[/tex] está en [tex]BC[/tex], así que la distancia de [tex]M[/tex] a [tex]BC[/tex] es la mitad de la distancia de [tex]A[/tex] a [tex]BC[/tex], es decir, [tex]\frac{h_a}{2}[/tex]. Sea [tex]MP\perp BC[/tex], [tex]P\in BC[/tex]. En el triángulo rectángulo [tex]BPM[/tex]:
[tex]\operatorname{sen} \angle MBP=\frac{MP}{BM}=\frac{\frac{h_a}{2}}{m_b}=\frac{1}{2}\;\Rightarrow\;\angle MBP=30^{\circ}[/tex]

Solución:
Sea [tex]\alpha[/tex] el ángulo de la base; el ángulo del vértice es [tex]180^{\circ}-2\alpha[/tex]. Entonces
[tex]\operatorname{sen} \alpha=3\cos(180^{\circ}-2\alpha)=-3\cos 2\alpha=-3\left(1-2\operatorname{sen} ^2\alpha\right)\iff 6\operatorname{sen} ^2\alpha-\operatorname{sen} \alpha-3=0[/tex]
Así, [tex]\operatorname{sen} \alpha=\frac{1\pm\sqrt{73}}{12}[/tex]. Como [tex]\operatorname{sen} \alpha\gt 0[/tex], [tex]\operatorname{sen} \alpha=\frac{1+\sqrt{73}}{12}\approx 0{,} 795[/tex] (entonces [tex]\alpha\approx 52{,} 7^{\circ}[/tex], lo cual es posible).