Propiedades de los triángulos - problemas y soluciones

Solución:
30 + 40 < 80 por lo que 30, 40, 80 no pueden ser lados de un triangulo.

Solución:
Cada lado debe ser menor que la suma de los otros dos:
[tex]70+60=130\gt 100; 70+100=170\gt 60; 60+100=160\gt 70[/tex]
Respuesta: sí.

Solución:
La suma de los ángulos de un triángulo es [tex]180^\circ[/tex].
[tex]30^\circ+40^\circ+100^\circ=170^\circ\ne 180^\circ[/tex]
Respuesta: no.

Solución:
La suma de los ángulos de un triángulo es [tex]180^\circ[/tex].
[tex]20^\circ+60^\circ+95^\circ=175^\circ\ne 180^\circ[/tex]
Respuesta: no.

Solución:
La suma de los ángulos de un triángulo es [tex]180^\circ[/tex].
[tex]50^\circ+53^\circ+77^\circ=180^\circ[/tex]
Respuesta: sí.

Solución:
La suma de los ángulos de un triángulo es 180°.
Sea el ángulo desconocido 'x' => 31 + 60 + x = 180
=> 91 + x = 180
=> x = 180 - 91
=> x = 89
El tercer ángulo es 89°

Solución:
El ángulo interior adyacente al ángulo exterior de [tex]82^\circ[/tex] mide [tex]180^\circ-82^\circ=98^\circ[/tex]. Es obtuso, y un triángulo tiene como mucho un ángulo obtuso, así que no puede ser uno de los dos ángulos iguales de la base. Por tanto, el ángulo del vértice mide [tex]98^\circ[/tex] y cada ángulo de la base mide:
[tex]\dfrac{180^\circ-98^\circ}{2}=41^\circ[/tex]
[tex]98^\circ-41^\circ=57^\circ[/tex]

Solución:
Los ángulos exteriores (uno en cada vértice) suman [tex]360^\circ[/tex]:
[tex]4k+3k+2k=360^\circ \Rightarrow k=40^\circ[/tex]
Los ángulos exteriores miden [tex]160^\circ[/tex], [tex]120^\circ[/tex] y [tex]80^\circ[/tex], así que los interiores son:
[tex]180^\circ-160^\circ=20^\circ; 180^\circ-120^\circ=60^\circ; 180^\circ-80^\circ=100^\circ[/tex]

Solución:
[tex]\angle B+(\angle B+40^\circ)+(\angle B+20^\circ)=180^\circ \Rightarrow \angle B=40^\circ; \angle A=80^\circ; \angle C=60^\circ[/tex]
En un triángulo, al mayor ángulo se opone el mayor lado. Como [tex]\angle A\gt \angle C\gt \angle B[/tex]:
[tex]BC\gt AB\gt AC[/tex]

Solución:
Si la base es [tex]x[/tex] y los lados iguales miden [tex]x+6[/tex]:
[tex]x+2(x+6)=24 \Rightarrow x=4[/tex]
Los lados son [tex]10; 10; 4[/tex] y [tex]4+10\gt 10[/tex], así que este triángulo existe.
Si los lados iguales miden [tex]y[/tex] y la base [tex]y+6[/tex]:
[tex]2y+y+6=24 \Rightarrow y=6[/tex]
Los lados serían [tex]6; 6; 12[/tex], pero [tex]6+6=12[/tex], así que ese triángulo no existe.

Solución:
Sea [tex]b[/tex] el lado igual; la base mide [tex]b+5[/tex]. Por la desigualdad triangular:
[tex]b+b\gt b+5 \Rightarrow b\gt 5 \Rightarrow b\ge 6[/tex]
La menor base es [tex]6+5=11[/tex] (triángulo [tex]6; 6; 11[/tex]).

Solución:
En el triángulo rectángulo [tex]AHC[/tex] el cateto [tex]CH[/tex] se opone al ángulo de [tex]30^\circ[/tex], así que mide la mitad de la hipotenusa [tex]AC[/tex]:
[tex]AC=2CH=8[/tex]
[tex]P=AB+BC+AC=20+8=28[/tex]

Solución:
Un punto equidistante de los lados de un ángulo está en su bisectriz, así que [tex]CN[/tex] es la bisectriz de [tex]\angle ACB[/tex]. Sea [tex]P[/tex] el pie de la perpendicular desde [tex]N[/tex] a [tex]CA[/tex]. En el triángulo rectángulo [tex]CPN[/tex] el cateto [tex]NP=13[/tex] es la mitad de la hipotenusa [tex]CN=26[/tex], por lo que:
[tex]\angle NCP=30^\circ \Rightarrow \angle ACB=2\times 30^\circ=60^\circ[/tex]

Solución:
El triángulo [tex]AMC[/tex] es isósceles y su ángulo exterior en [tex]A[/tex] es [tex]\angle BAC=60^\circ[/tex]. Es igual a la suma de los dos ángulos iguales de la base, así que [tex]\angle ACM=30^\circ[/tex]. Del mismo modo, [tex]\angle BCN=\frac{50^\circ}{2}=25^\circ[/tex]. Además, [tex]\angle ACB=180^\circ-60^\circ-50^\circ=70^\circ[/tex]:
[tex]\angle MCN=30^\circ+70^\circ+25^\circ=125^\circ[/tex]
En general, [tex]\angle MCN=90^\circ+\frac{\angle C}{2}[/tex].

Solución:
[tex]\angle BAC+2\angle BAC=90^\circ \Rightarrow \angle BAC=30^\circ; \angle ACB=60^\circ[/tex]
El cateto [tex]BC[/tex] se opone al ángulo de [tex]30^\circ[/tex], así que [tex]AC=2BC=20[/tex]. La mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de la hipotenusa:
[tex]BM=\dfrac{AC}{2}=10[/tex]

Solución:
[tex]CB=CA=CM[/tex], así que los triángulos [tex]ABC[/tex] y [tex]CBM[/tex] son isósceles. Sean [tex]\angle CAB=\angle CBA=x[/tex] y [tex]\angle CBM=\angle CMB=y[/tex]. Como [tex]C[/tex] está en el segmento [tex]AM[/tex], [tex]\angle ABM=x+y[/tex]. En el triángulo [tex]ABM[/tex]:
[tex]x+(x+y)+y=180^\circ \Rightarrow x+y=90^\circ \Rightarrow \angle ABM=90^\circ[/tex]