Propiedades de los triángulos - problemas difíciles y soluciones

Solución:
[tex]\angle A+\angle B=160^\circ[/tex]. Como [tex]AC\gt BC[/tex], el ángulo opuesto a [tex]AC[/tex] es mayor: [tex]\angle B\gt \angle A[/tex], de donde [tex]\angle A\lt 80^\circ[/tex]. El triángulo es acutángulo, así que [tex]\angle B=160^\circ-\angle A\lt 90^\circ[/tex], es decir, [tex]\angle A\gt 70^\circ[/tex]:
[tex]70^\circ\lt \angle A\lt 80^\circ \Rightarrow \angle A\in\{71^\circ; 72^\circ; \dots; 79^\circ\}[/tex]
Hay [tex]9[/tex] valores posibles.

Solución:
Sea [tex]\angle ACB=\gamma[/tex]. Como [tex]MA=MC[/tex], [tex]\angle MAC=\gamma[/tex], y el ángulo exterior [tex]AMB[/tex] del triángulo [tex]AMC[/tex] mide [tex]2\gamma[/tex]. Como [tex]AM=AB[/tex], [tex]\angle ABM=\angle AMB=2\gamma[/tex]. Así, los dos ángulos de la base del triángulo [tex]ABC[/tex] miden [tex]2\gamma[/tex]:
[tex]\gamma+2\gamma+2\gamma=180^\circ \Rightarrow \gamma=36^\circ[/tex]

Solución:
Sea [tex]I[/tex] el punto de corte de las bisectrices. En el triángulo [tex]BIC[/tex]:
[tex]\angle BIC=180^\circ-\dfrac{\angle B+\angle C}{2}=180^\circ-\dfrac{180^\circ-\angle A}{2}=90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}[/tex]
Este ángulo siempre es obtuso, así que los [tex]40^\circ[/tex] dados corresponden al ángulo adyacente y [tex]\angle BIC=140^\circ[/tex]:
[tex]90^\circ+\dfrac{\angle A}{2}=140^\circ \Rightarrow \angle A=100^\circ[/tex]

Solución:
Sea [tex]J[/tex] el punto de corte de las bisectrices exteriores. Cada una divide un ángulo exterior por la mitad:
[tex]\angle JBC=\dfrac{180^\circ-\angle B}{2}; \angle JCB=\dfrac{180^\circ-\angle C}{2}[/tex]
[tex]\angle BJC=180^\circ-\angle JBC-\angle JCB=\dfrac{\angle B+\angle C}{2}=\dfrac{180^\circ-48^\circ}{2}=66^\circ[/tex]

Solución:
Sean [tex]\angle A=65^\circ[/tex] y [tex]\angle B=87^\circ[/tex]; entonces [tex]\angle C=28^\circ[/tex]. Sea [tex]CH[/tex] la altura y [tex]CL[/tex] la bisectriz. Los ángulos [tex]A[/tex] y [tex]B[/tex] son agudos, así que [tex]H[/tex] está en el lado [tex]AB[/tex]:
[tex]\angle ACH=90^\circ-65^\circ=25^\circ; \angle ACL=\dfrac{28^\circ}{2}=14^\circ[/tex]
[tex]\angle LCH=25^\circ-14^\circ=11^\circ[/tex]

Solución:
Todo punto de la mediatriz de [tex]BC[/tex] equidista de [tex]B[/tex] y [tex]C[/tex], así que [tex]PB=PC[/tex]:
[tex]P_{ABP}=AB+BP+PA=AB+PC+PA=AB+AC=13 \Rightarrow AC=8[/tex]
[tex]P_{ABC}=AB+2AC=5+16=21[/tex]

Solución:
La mediana sobre la hipotenusa mide la mitad de esta, así que [tex]MA=MC[/tex] y [tex]\angle MCA=\angle A[/tex]. La bisectriz da [tex]\angle LCA=45^\circ[/tex]. Por tanto:
[tex]|\angle A-45^\circ|=20^\circ[/tex]
Así, [tex]\angle A=65^\circ[/tex] o [tex]\angle A=25^\circ[/tex]; ambos casos son posibles (solo se diferencian en intercambiar [tex]A[/tex] y [tex]B[/tex]).

Solución:
Sea [tex]\angle ABC=\beta[/tex]. La mediana sobre la hipotenusa da [tex]MC=MB[/tex], así que [tex]\angle MCB=\beta[/tex]. [tex]\angle MOB[/tex] es un ángulo exterior del triángulo [tex]OBC[/tex]:
[tex]\angle MOB=\angle OBC+\angle OCB=\dfrac{\beta}{2}+\beta=\dfrac{3\beta}{2}=60^\circ \Rightarrow \beta=40^\circ[/tex]
[tex]\angle BAC=90^\circ-40^\circ=50^\circ[/tex]

Solución:
Los ángulos agudos miden [tex]30^\circ[/tex] y [tex]60^\circ[/tex]. Sean [tex]\angle C=90^\circ[/tex], [tex]\angle A=60^\circ[/tex], [tex]\angle B=30^\circ[/tex], y sea [tex]L[/tex] el punto donde la bisectriz [tex]AL[/tex] corta a [tex]BC[/tex]. Como [tex]\angle LAB=30^\circ=\angle B[/tex], [tex]AL=BL[/tex]. En el triángulo rectángulo [tex]ACL[/tex], [tex]\angle LAC=30^\circ[/tex], así que [tex]CL=\frac{AL}{2}=\frac{BL}{2}[/tex]:
[tex]BL-CL=CL=7 \Rightarrow BL=14; BC=21[/tex]

Solución:
En los triángulos rectángulos [tex]AMC[/tex] y [tex]ADC[/tex]: [tex]\angle HAC=90^\circ-\angle C[/tex] y [tex]\angle HCA=90^\circ-\angle A[/tex]. En el triángulo [tex]AHC[/tex]:
[tex]\angle AHC=\angle A+\angle C=180^\circ-\angle B=100^\circ \Rightarrow \angle B=80^\circ[/tex]
[tex]\angle A+\angle C=100^\circ; \angle A:\angle C=2:3 \Rightarrow \angle A=40^\circ; \angle C=60^\circ[/tex]

Solución:
En el triángulo [tex]ABL[/tex]: [tex]\angle ALB=180^\circ-\angle B-\frac{\angle A}{2}=105^\circ[/tex], así que:
[tex]\angle B+\dfrac{\angle A}{2}=75^\circ[/tex]
No sabemos qué lados son iguales, así que estudiamos los tres casos. Si [tex]AC=BC[/tex], entonces [tex]\angle A=\angle B[/tex] y [tex]\frac{3\angle A}{2}=75^\circ[/tex]: [tex]\angle A=\angle B=50^\circ[/tex], [tex]\angle C=80^\circ[/tex].
Si [tex]AB=BC[/tex], entonces [tex]\angle A=\angle C[/tex] y [tex]\angle B=180^\circ-2\angle A[/tex]: [tex]180^\circ-2\angle A+\frac{\angle A}{2}=75^\circ[/tex], de donde [tex]\angle A=\angle C=70^\circ[/tex], [tex]\angle B=40^\circ[/tex].
Si [tex]AB=AC[/tex], la bisectriz [tex]AL[/tex] también es altura y [tex]\angle ALB=90^\circ\ne 105^\circ[/tex]. Por tanto, [tex]\angle ACB=80^\circ[/tex] o [tex]\angle ACB=70^\circ[/tex].

Solución:
Sean [tex]b[/tex] los lados iguales y [tex]a[/tex] la base, así que [tex]2b+a=30[/tex]. La mediana desde un vértice de la base al punto medio de un lado igual divide el perímetro en [tex]b+\frac{b}{2}=\frac{3b}{2}[/tex] y [tex]\frac{b}{2}+a[/tex]. Las dos partes son [tex]18[/tex] y [tex]12[/tex] en algún orden:
[tex]\dfrac{3b}{2}=18 \Rightarrow b=12; a=6[/tex]
[tex]\dfrac{3b}{2}=12 \Rightarrow b=8; a=14[/tex]
Los dos triángulos [tex]12; 12; 6[/tex] y [tex]8; 8; 14[/tex] existen, así que la base mide [tex]6[/tex] o [tex]14[/tex].

Solución:
En el triángulo [tex]ABM[/tex] la bisectriz desde [tex]B[/tex] es también altura (los dos triángulos rectángulos que determina son congruentes), así que es isósceles: [tex]BA=BM=\frac{BC}{2}[/tex]. Sean [tex]AB=x[/tex] y [tex]BC=2x[/tex].
[tex]AB=BC[/tex] daría [tex]x=2x[/tex], lo cual es imposible. [tex]AC=AB=x[/tex] daría los lados [tex]x; x; 2x[/tex], que no cumplen la desigualdad triangular. Por tanto, [tex]AC=BC=2x[/tex]:
[tex]x+2x+2x=25 \Rightarrow x=5[/tex]
[tex]AB=5; BC=CA=10[/tex]

Solución:
Sea [tex]P[/tex] el punto de [tex]BC[/tex] en la mediatriz de [tex]AB[/tex]: [tex]PA=PB[/tex], así que [tex]\angle PAB=\angle B[/tex]. Como [tex]P[/tex] es interior a [tex]BC[/tex], la semirrecta [tex]AP[/tex] está dentro de [tex]\angle A[/tex], luego [tex]\angle B\lt \angle A[/tex], es decir, [tex]AC\lt BC[/tex].
Sea [tex]Q[/tex] el punto de [tex]AB[/tex] en la mediatriz de [tex]AC[/tex]: [tex]QA=QC[/tex], así que [tex]\angle QCA=\angle A[/tex]. Del mismo modo, [tex]\angle A\lt \angle C[/tex], es decir, [tex]BC\lt AB[/tex].
[tex]AB\gt BC\gt AC[/tex]

Solución:
Sea [tex]\angle C=x[/tex]; entonces [tex]\angle B=x-38^\circ[/tex] y [tex]\angle A=x-88^\circ[/tex]:
[tex]3x-126^\circ=180^\circ \Rightarrow x=102^\circ; \angle B=64^\circ; \angle A=14^\circ[/tex]
El lado mayor es [tex]AB[/tex] (opuesto al mayor ángulo [tex]C[/tex]). Como [tex]BC\times h_a=CA\times h_b=AB\times h_c[/tex] (el doble del área), la altura mayor es la trazada sobre el lado menor [tex]BC[/tex], es decir, la altura [tex]AH[/tex] desde [tex]A[/tex]. El ángulo [tex]C[/tex] es obtuso, así que [tex]H[/tex] está en la prolongación de [tex]BC[/tex] más allá de [tex]C[/tex]. En el triángulo rectángulo [tex]ABH[/tex]:
[tex]\angle BAH=90^\circ-\angle B=90^\circ-64^\circ=26^\circ[/tex]

Solución:
Comparamos los triángulos rectángulos [tex]AQH[/tex] y [tex]BQC[/tex] (ángulo recto en [tex]Q[/tex]). Sus hipotenusas son iguales: [tex]AH=BC[/tex]. Además, [tex]\angle QAH=\angle CAD=90^\circ-\angle C[/tex] y [tex]\angle QBC=90^\circ-\angle C[/tex]. Así que los triángulos son congruentes y [tex]AQ=BQ[/tex].
Entonces el triángulo rectángulo [tex]ABQ[/tex] es isósceles, así que [tex]\angle BAC=\angle BAQ=45^\circ[/tex].

Solución:
Tomamos en [tex]AC[/tex] el punto [tex]E[/tex] con [tex]AE=AB[/tex]. Entonces [tex]EC=AC-AB=BD[/tex]. Los triángulos [tex]ABD[/tex] y [tex]AED[/tex] son congruentes (dos lados y el ángulo comprendido), así que [tex]DE=DB=EC[/tex] y [tex]\angle AED=\angle B[/tex].
El triángulo [tex]DEC[/tex] es isósceles, así que [tex]\angle EDC=\angle C[/tex], y su ángulo exterior en [tex]E[/tex] es [tex]\angle AED=2\angle C[/tex]. Por tanto:
[tex]\angle B=2\angle C; \angle B+\angle C=120^\circ \Rightarrow \angle C=40^\circ[/tex]