Ley de los cosenos - problemas y soluciones

Solución:
Por el teorema del coseno en el triángulo [tex]ABC[/tex]: [tex]AB^2=AC^2+BC^2-2 \times AC \times BC \times \cos\angle ACB[/tex].
Obtenemos [tex]49=64+BC^2-8BC[/tex], es decir, [tex]BC^2-8BC+15=0[/tex], de donde [tex]BC=3[/tex] o [tex]BC=5[/tex].
En ambos casos el triángulo existe, así que comprobamos cuál es acutángulo. El lado mayor es [tex]AC=8[/tex], por lo que revisamos el ángulo opuesto, [tex]\angle ABC[/tex].
Si [tex]BC=3[/tex]: [tex]64=49+9-2 \times 7 \times 3 \times \cos\angle ABC[/tex], luego [tex]\cos\angle ABC=-\frac{1}{7}<0[/tex] y el ángulo es obtuso.
Si [tex]BC=5[/tex]: [tex]64=49+25-2 \times 7 \times 5 \times \cos\angle ABC[/tex], luego [tex]\cos\angle ABC=\frac{1}{7}>0[/tex] y el ángulo es agudo.
Por lo tanto, [tex]BC=5[/tex].

Solución:
De la ley de los cosenos se obtiene la fórmula de la mediana [tex]CM^2=\frac{2AC^2+2BC^2-AB^2}{4}[/tex].
[tex]4 \times 6{,}5^2=2 \times 64+2 \times 49-AB^2[/tex], [tex]169=226-AB^2[/tex], [tex]AB^2=57[/tex].
Por la ley de los cosenos en [tex]\triangle ABC[/tex]:
[tex]\cos\angle ACB=\frac{AC^2+BC^2-AB^2}{2 \times AC \times BC}=\frac{64+49-57}{2 \times 8 \times 7}=\frac{56}{112}=\frac{1}{2}[/tex].
Por lo tanto, [tex]\angle ACB=60^\circ[/tex].

Solución:
Sean [tex]a=13[/tex], [tex]b=15[/tex] y [tex]\gamma[/tex] el ángulo entre ellos.
[tex]S=\frac{1}{2}ab\sen \gamma \Rightarrow 84=\frac{1}{2} \times 13 \times 15 \times \sen \gamma \Rightarrow \sen \gamma=\frac{168}{195}=\frac{56}{65}[/tex].
El triángulo es acutángulo, por eso [tex]\cos\gamma>0[/tex] y [tex]\cos\gamma=\sqrt{1-\frac{3136}{4225}}=\frac{33}{65}[/tex].
Por la ley de los cosenos: [tex]c^2=13^2+15^2-2 \times 13 \times 15 \times \frac{33}{65}=169+225-198=196[/tex], [tex]c=14[/tex].
Comprobación: [tex]15^2=225<13^2+14^2=365[/tex], es decir, el mayor ángulo también es agudo.

Solución:
Sean [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] los lados. Entonces [tex]a+b=11[/tex].
La diagonal menor es opuesta al ángulo agudo de [tex]60^\circ[/tex]. Por la ley de los cosenos:
[tex]7^2=a^2+b^2-2ab\cos 60^\circ=a^2+b^2-ab=(a+b)^2-3ab[/tex].
[tex]49=121-3ab \Rightarrow ab=24[/tex].
[tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] son las raíces de [tex]t^2-11t+24=0[/tex]: [tex]3[/tex] y [tex]8[/tex].

Solución:
Los segmentos tangentes desde un mismo punto son iguales: [tex]AM=AN=2[/tex], [tex]CD=CN=3[/tex], [tex]BM=BD=x[/tex].
Entonces [tex]AC=5[/tex], [tex]BC=x+3[/tex], [tex]AB=x+2[/tex].
Por la ley de los cosenos para [tex]\angle ACB[/tex]: [tex](x+2)^2=5^2+(x+3)^2-2 \times 5 \times (x+3) \times \frac{1}{2}[/tex].
[tex]x^2+4x+4=x^2+x+19 \Rightarrow x=5[/tex], es decir, [tex]AB=7[/tex], [tex]BC=8[/tex].
[tex]\cos\angle ABC=\frac{AB^2+BC^2-AC^2}{2 \times AB \times BC}=\frac{49+64-25}{2 \times 7 \times 8}=\frac{88}{112}=\frac{11}{14}[/tex].
En el [tex]\triangle MBD[/tex], [tex]BM=BD=5[/tex]: [tex]MD^2=25+25-2 \times 5 \times 5 \times \frac{11}{14}=50-\frac{275}{7}=\frac{75}{7}[/tex].
[tex]MD=\sqrt{\frac{75}{7}}=\frac{5\sqrt{21}}{7}[/tex].

Solución:
Por la ley de los cosenos en [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]AC^2=64+225-2 \times 8 \times 15 \times \frac{1}{2}=169[/tex], [tex]AC=13[/tex].
El cuadrilátero es inscrito, por eso [tex]\angle ADC=180^\circ-60^\circ=120^\circ[/tex].
Sea [tex]AD=x[/tex]. Por la ley de los cosenos en [tex]\triangle ACD[/tex]:
[tex]169=49+x^2-2 \times 7 \times x \times \left(-\frac{1}{2}\right)=49+x^2+7x[/tex].
[tex]x^2+7x-120=0 \Rightarrow x_1=8;\ x_2=-15[/tex] (no es solución).
Por lo tanto, [tex]AD=8[/tex].

Solución:
Sean [tex]d_1[/tex] y [tex]d_2[/tex] las diagonales. Se cortan en su punto medio y forman ángulos de [tex]45^\circ[/tex] y [tex]135^\circ[/tex].
El lado mayor es opuesto al ángulo de [tex]135^\circ[/tex]:
[tex]6^2=\frac{d_1^2}{4}+\frac{d_2^2}{4}+2 \times \frac{d_1}{2} \times \frac{d_2}{2} \times \cos 45^\circ[/tex], [tex]4^2=\frac{d_1^2}{4}+\frac{d_2^2}{4}-2 \times \frac{d_1}{2} \times \frac{d_2}{2} \times \cos 45^\circ[/tex].
Restando: [tex]36-16=d_1d_2\cos 45^\circ \Rightarrow d_1d_2=\frac{20}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=20\sqrt{2}[/tex].
[tex]S=\frac{1}{2}d_1d_2\sen 45^\circ=\frac{1}{2} \times 20\sqrt{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=10[/tex].

Solución:
Del teorema del coseno se obtiene la fórmula de la mediana: [tex]BN^2=\frac{2AB^2+2BD^2-AD^2}{4}[/tex].
[tex]324=338+2BD^2-256 \Rightarrow BD^2=121[/tex], [tex]BD=11[/tex].
En un paralelogramo [tex]AC^2+BD^2=2(AB^2+AD^2)[/tex]: [tex]AC^2=2(169+256)-121=729[/tex], [tex]AC=27[/tex].

Solución:
Sean los lados [tex]x-d[/tex], [tex]x[/tex], [tex]x+d[/tex] [tex](d>0)[/tex]. El lado mayor [tex]x+d[/tex] es opuesto al ángulo de [tex]120^\circ[/tex]:
[tex](x+d)^2=(x-d)^2+x^2+x(x-d)[/tex].
[tex]x^2+2xd+d^2=3x^2-3xd+d^2 \Rightarrow 2x^2=5xd \Rightarrow x=\frac{5d}{2}[/tex].
Los lados son [tex]\frac{3d}{2}[/tex], [tex]\frac{5d}{2}[/tex], [tex]\frac{7d}{2}[/tex], es decir, su razón es [tex]3:5:7[/tex].

Solución:
Sea [tex]G[/tex] el baricentro, [tex]a=BC[/tex], [tex]b=AC[/tex], [tex]c=AB[/tex]. Entonces [tex]AG=\frac{2}{3}m_a[/tex], [tex]BG=\frac{2}{3}m_b[/tex] y [tex]\angle AGB=90^\circ[/tex]:
[tex]c^2=\frac{4}{9}(m_a^2+m_b^2)[/tex].
De las fórmulas de las medianas (que se deducen del teorema del coseno) [tex]m_a^2+m_b^2=\frac{a^2+b^2+4c^2}{4}[/tex].
[tex]9c^2=a^2+b^2+4c^2 \Rightarrow 5c^2=16+9=25[/tex].
Por lo tanto, [tex]AB=\sqrt{5}[/tex].

Solución:
Sea [tex]\angle C=90^\circ[/tex] y [tex]O[/tex] el incentro. [tex]AO[/tex] y [tex]BO[/tex] son bisectrices, así que [tex]\angle OAB+\angle OBA=\frac{\angle A+\angle B}{2}=45^\circ[/tex] y [tex]\angle AOB=135^\circ[/tex].
Por el teorema del coseno: [tex]AB^2=5+10-2 \times \sqrt{5} \times \sqrt{10} \times \cos 135^\circ=15+2\sqrt{50} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=15+10=25[/tex].
La hipotenusa mide [tex]5[/tex].

Solución:
Por el teorema del coseno en el [tex]\triangle AOB[/tex]: [tex]\cos\angle AOB=\frac{25+9-49}{2 \times 5 \times 3}=-\frac{1}{2}[/tex], es decir, [tex]\angle AOB=120^\circ[/tex].
[tex]AO[/tex] y [tex]BO[/tex] son bisectrices, así que [tex]\angle AOB=180^\circ-\frac{\alpha+\beta}{2}=90^\circ+\frac{\gamma}{2}[/tex]. Por lo tanto, [tex]\gamma=60^\circ[/tex].
Por el teorema del seno: [tex]R=\frac{AB}{2\sen 60^\circ}=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}[/tex].

Solución:
El cuadrilátero es inscrito, así que [tex]\angle ABC=180^\circ-\angle ADC[/tex] y [tex]\cos\angle ABC=-\cos\angle ADC[/tex]. Sea [tex]\cos\angle ADC=x[/tex].
En el [tex]\triangle ADC[/tex]: [tex]AC^2=225+64-2 \times 15 \times 8 \times x=289-240x[/tex].
En el [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]AC^2=49+64+2 \times 7 \times 8 \times x=113+112x[/tex].
[tex]289-240x=113+112x \Rightarrow 352x=176 \Rightarrow x=\frac{1}{2}[/tex].
Por lo tanto, [tex]\angle ADC=60^\circ[/tex].

Solución:
Sea [tex]\angle A=\angle C=\varphi[/tex]. Expresamos [tex]BD^2[/tex] desde dos triángulos:
[tex]\triangle ABD[/tex]: [tex]BD^2=33^2+56^2-2 \times 33 \times 56 \times \cos\varphi=4225-3696\cos\varphi[/tex].
[tex]\triangle CBD[/tex]: [tex]BD^2=63^2+16^2-2 \times 63 \times 16 \times \cos\varphi=4225-2016\cos\varphi[/tex].
[tex]3696\cos\varphi=2016\cos\varphi \Rightarrow \cos\varphi=0[/tex], es decir, [tex]\varphi=90^\circ[/tex].
[tex]BD^2=4225[/tex], [tex]BD=65[/tex].

Solución:
Sea el trapecio [tex]ABCD[/tex] [tex](AB \parallel CD,\ AB=2CD)[/tex], [tex]AD=1[/tex], [tex]BC=2[/tex], y sea [tex]P[/tex] el punto donde se cortan las prolongaciones de los lados no paralelos.
[tex]CD \parallel AB[/tex] y [tex]CD=\frac{AB}{2}[/tex], así que [tex]CD[/tex] es paralela media del [tex]\triangle ABP[/tex]: [tex]PA=2AD=2[/tex], [tex]PB=2BC=4[/tex].
Por el teorema del coseno: [tex]AB^2=4+16-2 \times 2 \times 4 \times \frac{1}{2}=12[/tex], [tex]AB=2\sqrt{3}[/tex], [tex]CD=\sqrt{3}[/tex].

Solución:
Por el teorema del coseno en el [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]\cos\angle BAC=\frac{256+144-64}{2 \times 16 \times 12}=\frac{336}{384}=\frac{7}{8}[/tex].
[tex]AB \parallel CD[/tex], así que [tex]\angle ACD=\angle BAC[/tex] (ángulos alternos internos).
Por el teorema del coseno en el [tex]\triangle ACD[/tex]: [tex]AD^2=144+81-2 \times 12 \times 9 \times \frac{7}{8}=225-189=36[/tex].
Por lo tanto, [tex]AD=6[/tex].

Solución:
Sea [tex]AB=6[/tex], [tex]CD=3[/tex], [tex]AC=7[/tex], [tex]BD=8[/tex]. Por [tex]C[/tex] trazamos [tex]CE \parallel BD[/tex], con [tex]E[/tex] en la recta [tex]AB[/tex]. [tex]DBEC[/tex] es un paralelogramo: [tex]CE=8[/tex], [tex]BE=3[/tex], [tex]AE=9[/tex].
El ángulo [tex]ACE[/tex] es igual al ángulo entre las diagonales:
[tex]\cos\angle ACE=\frac{49+64-81}{2 \times 7 \times 8}=\frac{32}{112}=\frac{2}{7}[/tex].
[tex]\cos\angle ACE>0[/tex], así que es el ángulo agudo. Respuesta: [tex]\frac{2}{7}[/tex].

Solución:
Sea [tex]CD=x[/tex] y [tex]AC=BC=b[/tex].
En el [tex]\triangle BDC[/tex]: [tex]b^2=x^2+64-2 \times 8 \times x \times \frac{1}{2}=x^2-8x+64[/tex].
[tex]\angle ADC=120^\circ[/tex]. En el [tex]\triangle ADC[/tex]: [tex]b^2=x^2+9-2 \times 3 \times x \times \left(-\frac{1}{2}\right)=x^2+3x+9[/tex].
[tex]-8x+64=3x+9 \Rightarrow x=5[/tex], [tex]b^2=25+15+9=49[/tex].
Por lo tanto, [tex]AC=7[/tex].

Solución:
Sea [tex]PC=x[/tex]. En el [tex]\triangle BPC[/tex]: [tex]49=25+x^2-2 \times 5 \times x \times \frac{1}{2} \Rightarrow x^2-5x-24=0 \Rightarrow x=8[/tex].
[tex]AP:PC=13:8[/tex], así que [tex]AP=13[/tex] y [tex]AC=21[/tex].
En el [tex]\triangle ABC[/tex]: [tex]AB^2=441+25-2 \times 21 \times 5 \times \frac{1}{2}=361[/tex].
Por lo tanto, [tex]AB=19[/tex].

Solución:
En el [tex]\triangle AMC[/tex]: [tex]\cos\angle AMC=\frac{16+64-36}{2 \times 4 \times 8}=\frac{44}{64}=\frac{11}{16}[/tex].
[tex]\angle BMC=180^\circ-\angle AMC[/tex], así que [tex]\cos\angle BMC=-\frac{11}{16}[/tex].
En el [tex]\triangle BMC[/tex]: [tex]BC^2=25+64+2 \times 5 \times 8 \times \frac{11}{16}=89+55=144[/tex].
Por lo tanto, [tex]BC=12[/tex].

Solución:
Sea [tex]AC=2k[/tex], [tex]BC=3k[/tex]. Entonces [tex]AB^2=4k^2+9k^2-2 \times 2k \times 3k \times \frac{1}{2}=7k^2[/tex].
Sea [tex]CM=y[/tex]. En el [tex]\triangle MBC[/tex]: [tex]MB^2=y^2+9k^2-3ky=7k^2 \Rightarrow y^2-3ky+2k^2=0[/tex].
[tex]y=2k[/tex] da [tex]M \equiv A[/tex], así que [tex]CM=k[/tex] y [tex]AM=k[/tex].
[tex]AM:MC=1:1[/tex].

Solución:
Del teorema del coseno se obtienen las fórmulas [tex]m_a^2=\frac{2b^2+2c^2-a^2}{4}[/tex] (y las análogas para [tex]m_b[/tex], [tex]m_c[/tex]). Resolviendo el sistema respecto a los lados se obtiene [tex]a^2=\frac{4}{9}(2m_b^2+2m_c^2-m_a^2)[/tex] y análogamente para [tex]b^2[/tex], [tex]c^2[/tex].
[tex]a^2=\frac{4}{9}(8+14-13)=4[/tex], [tex]a=2[/tex].
[tex]b^2=\frac{4}{9}(26+14-4)=16[/tex], [tex]b=4[/tex].
[tex]c^2=\frac{4}{9}(26+8-7)=12[/tex], [tex]c=2\sqrt{3}[/tex].

Solución:
Por la fórmula de la mediana (que se deduce del teorema del coseno): [tex]CM^2=\frac{2AC^2+2BC^2-AB^2}{4}[/tex].
[tex]84=50+98-AB^2 \Rightarrow AB^2=64[/tex], [tex]AB=8[/tex].
[tex]\cos\angle ACB=\frac{25+49-64}{2 \times 5 \times 7}=\frac{1}{7}[/tex], [tex]\sen\angle ACB=\sqrt{1-\frac{1}{49}}=\frac{4\sqrt{3}}{7}[/tex].
[tex]S=\frac{1}{2} \times 5 \times 7 \times \frac{4\sqrt{3}}{7}=10\sqrt{3}[/tex].

Solución:
Sea [tex]a[/tex] el tercer lado. Entonces la mediana relativa a él mide [tex]a-2{,}5[/tex].
Por la fórmula de la mediana (que se deduce del teorema del coseno): [tex]4(a-2{,}5)^2=2 \times 25+2 \times 100-a^2[/tex].
[tex]4a^2-20a+25=250-a^2 \Rightarrow a^2-4a-45=0 \Rightarrow a_1=9;\ a_2=-5[/tex] (se descarta).
El tercer lado mide [tex]9[/tex].

Solución:
Sea [tex]\angle ACL=\angle BCL=\varphi[/tex]. [tex]S_{ABC}=S_{ACL}+S_{BCL}[/tex]:
[tex]\frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times \sen 2\varphi=\frac{1}{2} \times 5 \times \frac{10}{3} \times \sen\varphi+\frac{1}{2} \times 4 \times \frac{10}{3} \times \sen\varphi[/tex].
[tex]40\sen\varphi\cos\varphi=30\sen\varphi \Rightarrow \cos\varphi=\frac{3}{4}[/tex], [tex]\cos\angle ACB=\cos 2\varphi=2 \times \frac{9}{16}-1=\frac{1}{8}[/tex].
Por el teorema del coseno: [tex]AB^2=25+16-2 \times 5 \times 4 \times \frac{1}{8}=36[/tex].
Por lo tanto, [tex]AB=6[/tex].

Solución:
Por el teorema de la bisectriz: [tex]\frac{AC}{BC}=\frac{AL}{LB}=\frac{35}{21}=\frac{5}{3}[/tex]. Sea [tex]AC=5k[/tex], [tex]BC=3k[/tex]; [tex]AB=56[/tex].
Por el teorema del coseno: [tex]56^2=25k^2+9k^2-2 \times 5k \times 3k \times \left(-\frac{1}{2}\right)=49k^2[/tex].
[tex]7k=56 \Rightarrow k=8[/tex], [tex]AC=40[/tex], [tex]BC=24[/tex].

Solución:
Sea [tex]AC=b[/tex]. [tex]S_{ABC}=S_{ACL}+S_{BCL}[/tex]:
[tex]\frac{1}{2} \times 5 \times b \times \sen 60^\circ=\frac{1}{2} \times CL \times (5+b) \times \sen 30^\circ \Rightarrow CL=\frac{5b\sqrt{3}}{5+b}[/tex].
[tex]\frac{5b\sqrt{3}}{5+b}=\frac{40\sqrt{3}}{13} \Rightarrow 65b=200+40b \Rightarrow b=8[/tex].
Por el teorema del coseno: [tex]AB^2=25+64-2 \times 5 \times 8 \times \frac{1}{2}=49[/tex], [tex]AB=7[/tex].
[tex]P=5+8+7=20[/tex].

Solución:
Sea [tex]BC=x[/tex]. Por el teorema del coseno: [tex]49=25+x^2-5x \Rightarrow x^2-5x-24=0 \Rightarrow x=8[/tex].
[tex]R=\frac{AB}{2\sen 60^\circ}=\frac{7}{\sqrt{3}}[/tex].
La perpendicular desde el centro [tex]O[/tex] a la cuerda [tex]BC[/tex] la divide por la mitad, así que [tex]d^2=R^2-\left(\frac{BC}{2}\right)^2=\frac{49}{3}-16=\frac{1}{3}[/tex].
[tex]d=\frac{\sqrt{3}}{3}[/tex].

Solución:
Sea [tex]a[/tex] el lado. [tex]\angle ABC=120^\circ[/tex], [tex]BM=\frac{a}{2}[/tex].
En el [tex]\triangle MBC[/tex]: [tex]CM^2=a^2+\frac{a^2}{4}-2 \times a \times \frac{a}{2} \times \left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{7a^2}{4}[/tex].
[tex]49=\frac{7a^2}{4} \Rightarrow a^2=28[/tex].
[tex]S=a^2\sen 60^\circ=28 \times \frac{\sqrt{3}}{2}=14\sqrt{3}[/tex].

Solución:
Sea [tex]2a[/tex] el lado. [tex]\angle ABC=120^\circ[/tex], [tex]BM=a[/tex].
En el [tex]\triangle ABM[/tex]: [tex]AM^2=4a^2+a^2-2 \times 2a \times a \times \left(-\frac{1}{2}\right)=7a^2[/tex]. Análogamente [tex]AN^2=7a^2[/tex].
El [tex]\triangle ABD[/tex] es equilátero, así que [tex]BD=2a[/tex], y [tex]MN[/tex] es paralela media del [tex]\triangle BCD[/tex]: [tex]MN=a[/tex].
[tex]\cos\angle MAN=\frac{7a^2+7a^2-a^2}{2 \times 7a^2}=\frac{13}{14}[/tex].

Solución:
[tex]S=pr=15\sqrt{3}[/tex], donde [tex]p=15[/tex] es el semiperímetro. Sean [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] los lados que forman el ángulo de [tex]120^\circ[/tex] y [tex]c[/tex] el tercer lado:
[tex]S=\frac{1}{2}ab\sen 120^\circ=\frac{\sqrt{3}}{4}ab \Rightarrow ab=60[/tex].
[tex]c^2=a^2+b^2+ab=(a+b)^2-60[/tex] y [tex]c=30-(a+b)[/tex]. Si [tex]s=a+b[/tex]: [tex](30-s)^2=s^2-60 \Rightarrow s=16[/tex], [tex]c=14[/tex].
[tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] son las raíces de [tex]t^2-16t+60=0[/tex]: [tex]6[/tex] y [tex]10[/tex].
Los lados miden [tex]6[/tex], [tex]10[/tex] y [tex]14[/tex].

Solución:
Los segmentos tangentes desde [tex]B[/tex] miden [tex]p-b[/tex], donde [tex]p[/tex] es el semiperímetro, y del triángulo rectángulo de catetos [tex]r[/tex] y [tex]p-b[/tex]: [tex]p-b=r\cot 30^\circ=\frac{2}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3}=2[/tex].
[tex]\frac{a+c-b}{2}=2 \Rightarrow b=11-4=7[/tex].
Por el teorema del coseno: [tex]49=a^2+c^2-ac=(a+c)^2-3ac=121-3ac \Rightarrow ac=24[/tex].
[tex]a[/tex] y [tex]c[/tex] son las raíces de [tex]t^2-11t+24=0[/tex], y [tex]c>a[/tex]: [tex]a=3[/tex], [tex]c=8[/tex].

Solución:
Por el teorema del coseno: [tex]49=a^2+b^2+ab=(a+b)^2-ab=64-ab \Rightarrow ab=15[/tex].
Entonces [tex]a[/tex] y [tex]b[/tex] son [tex]3[/tex] y [tex]5[/tex]. El ángulo intermedio es opuesto al lado intermedio, [tex]5[/tex]:
[tex]\cos\varphi=\frac{3^2+7^2-5^2}{2 \times 3 \times 7}=\frac{33}{42}=\frac{11}{14}[/tex].

Solución:
Por el teorema del seno [tex]AB=2R\sen\angle ACB \Rightarrow \sen\angle ACB=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], es decir, [tex]\angle ACB=60^\circ[/tex] o [tex]120^\circ[/tex].
Si es [tex]60^\circ[/tex]: [tex]AB^2=9+36-18=27[/tex] y [tex]AB^2+BC^2=36=CA^2[/tex], el triángulo sería rectángulo y no obtusángulo.
Por lo tanto, [tex]\angle ACB=120^\circ[/tex]: [tex]AB^2=9+36+18=63[/tex], [tex]AB=3\sqrt{7}[/tex].
[tex]R=\frac{AB}{\sqrt{3}}=\sqrt{21}[/tex].

Solución:
Por el teorema del seno: [tex]BC=2R\sen 60^\circ=2 \times \frac{7\sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=7[/tex].
Sea [tex]AC=x[/tex]. Por el teorema del coseno: [tex]49=9+x^2-3x \Rightarrow x^2-3x-40=0 \Rightarrow x_1=8;\ x_2=-5[/tex] (se descarta).
Por lo tanto, [tex]AC=8[/tex].

Solución:
Sea [tex]AB=c[/tex]. [tex]\cos A=\frac{b}{c}[/tex], [tex]AM=\frac{c}{3}[/tex]. En el [tex]\triangle AMC[/tex]:
[tex]CM^2=b^2+\frac{c^2}{9}-2 \times b \times \frac{c}{3} \times \frac{b}{c}=\frac{b^2}{3}+\frac{a^2+b^2}{9}=\frac{4b^2+a^2}{9}[/tex].
Análogamente, en el [tex]\triangle BNC[/tex]: [tex]CN^2=\frac{4a^2+b^2}{9}[/tex].
[tex]4b^2+a^2=360[/tex], [tex]4a^2+b^2=225 \Rightarrow b^2=81[/tex], [tex]a^2=36[/tex].
[tex]a=6[/tex], [tex]b=9[/tex].

Solución:
Sea [tex]AC=5k[/tex], [tex]AM=AB=2k[/tex], [tex]BC=a[/tex]. Por la fórmula de la mediana (que se deduce del teorema del coseno):
[tex]4AM^2=2AB^2+2AC^2-BC^2 \Rightarrow 16k^2=8k^2+50k^2-a^2 \Rightarrow a=k\sqrt{42}[/tex].
[tex]2k+5k>k\sqrt{42}[/tex], así que el triángulo existe y [tex]BC[/tex] es su lado mayor.
[tex]\cos\angle BAC=\frac{4k^2+25k^2-42k^2}{2 \times 2k \times 5k}=-\frac{13}{20}<0[/tex].
El triángulo es obtusángulo.

Solución:
Sea [tex]AC=x-5[/tex], [tex]MC=x[/tex], [tex]BC=x+5[/tex]. Por la fórmula de la mediana (que se deduce del teorema del coseno):
[tex]4MC^2=2AC^2+2BC^2-AB^2[/tex].
[tex]4x^2=2(x-5)^2+2(x+5)^2-AB^2=4x^2+100-AB^2[/tex].
[tex]AB^2=100[/tex], [tex]AB=10[/tex].

Solución:
Desigualdad triangular: [tex](x-3)+x>x+2 \Rightarrow x>5[/tex].
El lado mayor es [tex]x+2[/tex]. El triángulo es acutángulo exactamente cuando el ángulo opuesto a este lado es agudo, es decir, [tex]x^2+(x-3)^2-(x+2)^2>0[/tex].
[tex]x^2-10x+5>0 \Rightarrow x<5-2\sqrt{5}[/tex] o [tex]x>5+2\sqrt{5}[/tex].
Junto con [tex]x>5[/tex]: [tex]x \in (5+2\sqrt{5};+\infty)[/tex].

Solución:
[tex]AB=5[/tex], [tex]AO=\frac{5\sqrt{2}}{2}[/tex] (la mitad de la diagonal del cuadrado) y [tex]\angle OAB=45^\circ[/tex].
[tex]\cos\angle CAB=\frac{3}{5}[/tex], [tex]\sen\angle CAB=\frac{4}{5}[/tex], y [tex]\angle CAO=\angle CAB+45^\circ[/tex]:
[tex]\cos\angle CAO=\frac{3}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{4}{5} \times \frac{\sqrt{2}}{2}=-\frac{\sqrt{2}}{10}[/tex].
Por el teorema del coseno en el [tex]\triangle ACO[/tex]: [tex]CO^2=9+\frac{25}{2}+2 \times 3 \times \frac{5\sqrt{2}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{10}=9+\frac{25}{2}+3=\frac{49}{2}[/tex].
[tex]CO=\frac{7\sqrt{2}}{2}[/tex].

Solución:
Sea [tex]6[/tex] el lado del cuadrado. Entonces [tex]BM=MC=3[/tex], [tex]DN=2[/tex], [tex]CN=4[/tex].
[tex]AM^2=36+9=45[/tex], [tex]AN^2=36+4=40[/tex], [tex]MN^2=9+16=25[/tex].
Por el teorema del coseno: [tex]\cos\angle MAN=\frac{45+40-25}{2\sqrt{45} \times \sqrt{40}}=\frac{60}{60\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex].
Por lo tanto, [tex]\angle MAN=45^\circ[/tex].

Solución:
[tex]S=\frac{1}{2} \times 2 \times 1 \times \sen\angle BAC=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \sen\angle BAC=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], es decir, [tex]\angle BAC=60^\circ[/tex] o [tex]120^\circ[/tex].
Si es [tex]60^\circ[/tex]: [tex]BC^2=4+1-2=3[/tex] y [tex]BC^2+AC^2=AB^2[/tex], así que [tex]\angle ACB=90^\circ[/tex] sería mayor, lo cual es una contradicción. Por lo tanto, [tex]\angle BAC=120^\circ[/tex].
[tex]M[/tex] es el punto medio de [tex]AB[/tex], [tex]AM=1[/tex]. En el [tex]\triangle AMC[/tex]: [tex]CM^2=1+1-2 \times 1 \times 1 \times \left(-\frac{1}{2}\right)=3[/tex].
[tex]CM=\sqrt{3}[/tex].

Solución:
Sean los catetos [tex]CA=CB=2[/tex]; entonces [tex]AB=2\sqrt{2}[/tex]. Las medianas relativas a los catetos miden [tex]\sqrt{4+1}=\sqrt{5}[/tex].
Para el baricentro [tex]G[/tex]: [tex]GA=GB=\frac{2\sqrt{5}}{3}[/tex].
[tex]\cos\angle AGB=\frac{\frac{20}{9}+\frac{20}{9}-8}{2 \times \frac{20}{9}}=-\frac{4}{5}[/tex].
El ángulo agudo [tex]\varphi=180^\circ-\angle AGB[/tex] cumple [tex]\cos\varphi=\frac{4}{5}[/tex], [tex]\sen\varphi=\frac{3}{5}[/tex].
[tex]\tan\varphi=\frac{3}{4}[/tex].

Solución:
Sea [tex]CA=4[/tex], [tex]CB=8[/tex], [tex]AB=9[/tex]. El mayor ángulo es [tex]\angle ACB[/tex], y la bisectriz [tex]CL[/tex] divide a [tex]AB[/tex] en la razón [tex]4:8[/tex]: [tex]AL=3[/tex], [tex]LB=6[/tex].
[tex]\cos\angle BAC=\frac{16+81-64}{2 \times 4 \times 9}=\frac{33}{72}=\frac{11}{24}[/tex].
En el [tex]\triangle ACL[/tex]: [tex]CL^2=16+9-2 \times 4 \times 3 \times \frac{11}{24}=25-11=14[/tex].
[tex]CL=\sqrt{14}[/tex].