Problemas de ecuaciones recíprocas - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
[tex]x\ne 0[/tex]. Hacemos el cambio [tex]y=\dfrac{x}{3}-\dfrac{4}{x}; y^2=\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{8}{3}+\dfrac{16}{x^2}[/tex]:
[tex]\dfrac{x^2}{3}+\dfrac{48}{x^2}=3\left(\dfrac{x^2}{9}+\dfrac{16}{x^2}\right)=3y^2+8[/tex]
[tex]3y^2+8=10y \iff 3y^2-10y+8=0 \Rightarrow y=2; y=\dfrac{4}{3}[/tex]
[tex]y=2:\ x^2-6x-12=0 \Rightarrow x=3\pm\sqrt{21}[/tex]
[tex]y=\dfrac{4}{3}:\ x^2-4x-12=0 \Rightarrow x=6; x=-2[/tex]

Solución:
[tex]x=0:\ 0\ne 1[/tex]. Dividimos entre [tex]x[/tex]; Hacemos el cambio [tex]t=4x+\dfrac{7}{x}[/tex]:
[tex]\dfrac{4}{t-8}+\dfrac{2}{t-12}=1 \iff 4(t-12)+2(t-8)=(t-8)(t-12) \iff t^2-26t+160=0 \Rightarrow t=10; t=16[/tex]
[tex]t=10:\ 4x^2-10x+7=0; D\lt 0[/tex] — no tiene raíces reales.
[tex]t=16:\ 4x^2-16x+7=0 \Rightarrow x=\dfrac{1}{2}; x=\dfrac{7}{2}[/tex]

Solución:
Dividimos entre [tex]x^2\ne 0[/tex] y hacemos [tex]t=x+\dfrac{1}{x}[/tex] [tex]\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\right)[/tex]:
[tex]t^2-(m-1)t+m-2=0 \iff (t-1)(t-m+2)=0[/tex]
Para [tex]x[/tex] real: [tex]\left|x+\dfrac{1}{x}\right|\ge 2[/tex]. [tex]t=1[/tex] — no tiene raíces reales.
[tex]t=m-2:\ |m-2|\lt 2 \iff 0\lt m\lt 4[/tex]

Solución:
Dividimos entre [tex]x^2\ne 0[/tex] y hacemos [tex]t=x+\dfrac{1}{x}[/tex] [tex]\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\right)[/tex]: [tex]h(t)=3t^2+2(a-3)t+2a-6=0[/tex]
Un valor [tex]|t|\gt 2[/tex] da dos [tex]x[/tex] reales distintos, [tex]t=\pm 2[/tex] da [tex]x=\pm 1[/tex] y [tex]|t|\lt 2[/tex] no da [tex]x[/tex] real. Así que una raíz [tex]t[/tex] debe estar fuera de [tex][-2; 2][/tex] y la otra en [tex](-2; 2)[/tex]:
[tex]h(2)\times h(-2)\lt 0; h(2)=6(a-1); h(-2)=2(9-a) \Rightarrow (a-1)(9-a)\lt 0 \iff a\lt 1[/tex] o [tex]a\gt 9[/tex]
Casos límite: para [tex]a=1[/tex] obtenemos [tex]t=2[/tex] o [tex]t=-\dfrac{2}{3}[/tex] (solo [tex]x=1[/tex]); para [tex]a=9[/tex] la raíz doble [tex]t=-2[/tex] da solo [tex]x=-1[/tex].

Solución:
Dividimos entre [tex]x^2\ne 0[/tex] y hacemos [tex]t=x+\dfrac{1}{x}[/tex] [tex]\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}=t^2-2\right)[/tex]: [tex]f(t)=t^2+pt+3p+27=0[/tex]
Cuatro [tex]x[/tex] reales distintos exigen dos raíces distintas [tex]t[/tex], ambas con [tex]|t|\gt 2[/tex].
[tex]D=(p-18)(p+6); f(2)=5p+31; f(-2)=p+31[/tex]
[tex]t_1\lt -2\lt 2\lt t_2:\ f(2)\lt 0; f(-2)\lt 0 \Rightarrow p\lt -31[/tex]
[tex]2\lt t_1\lt t_2:\ D\gt 0; -\dfrac{p}{2}\gt 2; f(2)\gt 0 \Rightarrow -\dfrac{31}{5}\lt p\lt -6[/tex]
[tex]t_1\lt t_2\lt -2:\ D\gt 0; -\dfrac{p}{2}\lt -2; f(-2)\gt 0 \Rightarrow p\gt 18[/tex]
Respuesta: [tex]p\in(-\infty; -31)\cup\left(-\dfrac{31}{5}; -6\right)\cup(18; +\infty)[/tex]