Ecuaciones lineales paramétricas - problemas y soluciones

Solución:
Una ecuación del tipo [tex]mx=b[/tex] puede no tener soluciones solo si [tex]m=0[/tex]. En nuestro caso, esto es [tex]a-2=0[/tex], o [tex]a=2[/tex]. Sustituyendo [tex]a=2[/tex] en la ecuación, obtenemos [tex]0x=5[/tex], lo cual no tiene soluciones.

Solución:
El coeficiente debe ser cero: [tex]a^2-9=0[/tex], es decir [tex]a=3[/tex] o [tex]a=-3[/tex]. Hay que comprobar ambos en el segundo miembro.
Para [tex]a=3[/tex]: [tex]9-6-3=0[/tex], la ecuación es [tex]0x=0[/tex] — todo [tex]x[/tex] es solución.
Para [tex]a=-3[/tex]: [tex]9+6-3=12[/tex], la ecuación es [tex]0x=12[/tex] — no tiene ninguna solución.
Solo una de las dos raíces da infinitas soluciones.
Respuesta: [tex]a=3[/tex]

Solución:
Mientras el coeficiente sea distinto de cero podemos dividir entre él y obtenemos exactamente una solución. Por eso la ecuación deja de tener exactamente una solución justo cuando el coeficiente se anula:
[tex]a^2-5a+6=0[/tex]
[tex](a-2)(a-3)=0[/tex]
es decir [tex]a=2[/tex] o [tex]a=3[/tex].
Observa que no se pregunta cuál de los casos ocurre — ambos sirven. Aun así conviene mirarlo: para [tex]a=2[/tex] queda [tex]0x=0[/tex] (infinitas soluciones) y para [tex]a=3[/tex] queda [tex]0x=1[/tex] (sin solución). Ninguno es «exactamente una».
La suma buscada es [tex]2+3=5[/tex].

Solución:
El parámetro está en un denominador, así que primero [tex]a\neq 0[/tex]. Multiplicamos ambos miembros por [tex]2a[/tex]:
[tex]a(x-a)+2(x-2)=4a[/tex]
[tex]ax-a^2+2x-4=4a[/tex]
Agrupamos los términos con [tex]x[/tex] a la izquierda y los demás a la derecha:
[tex](a+2)x=a^2+4a+4[/tex]
[tex](a+2)x=(a+2)^2[/tex]
La ecuación tiene infinitas soluciones cuando toma la forma [tex]0x=0[/tex], es decir cuando [tex]a+2=0[/tex], o sea [tex]a=-2[/tex]. Este valor es admisible porque [tex]-2\neq 0[/tex].
(Para cualquier otro [tex]a\neq 0[/tex] la ecuación tiene la única solución [tex]x=a+2[/tex].)
Respuesta: [tex]a=-2[/tex].

Solución:
Primero agrupamos los términos con [tex]x[/tex] a la izquierda y los demás a la derecha:
[tex]ax-3x=a-2[/tex]
[tex](a-3)x=a-2[/tex]
Primer caso: [tex]a\neq 3[/tex]. Dividimos entre [tex]a-3[/tex] y obtenemos la única solución [tex]x=\frac{a-2}{a-3}[/tex].
Segundo caso: [tex]a=3[/tex]. La ecuación queda [tex]0x=1[/tex], que es falsa para todo [tex]x[/tex], así que no tiene solución.

Solución:
Factorizamos el primer miembro:
[tex]a(a^2+a+1)x=186(a^2+a+1)[/tex]
La expresión [tex]a^2+a+1[/tex] nunca es cero para [tex]a[/tex] real — su discriminante [tex]1-4=-3[/tex] es negativo — así que podemos dividir ambos miembros entre ella:
[tex]ax=186[/tex]
Ahora todo depende de [tex]a[/tex].
Si [tex]a\neq 0[/tex], dividimos entre [tex]a[/tex] y obtenemos la única solución [tex]x=\frac{186}{a}[/tex].
Si [tex]a=0[/tex], la ecuación queda [tex]0x=186[/tex], que no tiene solución.

Solución:
Es tentador cancelar de inmediato una [tex]a[/tex] en ambos miembros, pero eso solo se permite cuando [tex]a\neq 0[/tex] — y el caso [tex]a=0[/tex] es justamente el interesante.
Primer caso: [tex]a\neq 0[/tex]. Entonces [tex]a^2\neq 0[/tex] y dividimos: [tex]x=\frac{a}{a^2}=\frac{1}{a}[/tex].
Segundo caso: [tex]a=0[/tex]. La ecuación queda [tex]0x=0[/tex], que se cumple para todo [tex]x[/tex], así que todo número real es solución.
Fíjate en la diferencia con [tex]ax=1[/tex]: aquí el segundo miembro se anula junto con el coeficiente, por eso obtenemos infinitas soluciones en lugar de ninguna.

Solución:
Para [tex]a=0[/tex] la ecuación es [tex]0x=12[/tex] y no tiene ninguna solución, así que [tex]a=0[/tex] no se cuenta.
Para [tex]a\neq 0[/tex] la solución es [tex]x=\frac{12}{a}[/tex], y es entera exactamente cuando [tex]a[/tex] divide a [tex]12[/tex].
Los divisores positivos de [tex]12[/tex] son [tex]1, 2, 3, 4, 6, 12[/tex] — seis. No olvides los negativos: [tex]-1, -2, -3, -4, -6, -12[/tex] también sirven, porque dividir entre un número negativo sigue dando un entero.
En total [tex]6+6=12[/tex] valores.
Respuesta: [tex]12[/tex]