Ecuaciones lineales paramétricas - problemas difíciles y soluciones

Solución:
Una ecuación del tipo [tex]mx=b[/tex] puede no tener soluciones solo si [tex]m=0[/tex]. En nuestro caso, esto es [tex]a-2=0[/tex], o [tex]a=2[/tex]. Sustituyendo [tex]a=2[/tex] en la ecuación, obtenemos [tex]0x=5[/tex], lo cual no tiene soluciones.

Solución:
El coeficiente debe ser cero: [tex]a^2-9=0[/tex], es decir [tex]a=3[/tex] o [tex]a=-3[/tex]. Hay que comprobar ambos en el segundo miembro.
Para [tex]a=3[/tex]: [tex]9-6-3=0[/tex], la ecuación es [tex]0x=0[/tex] — todo [tex]x[/tex] es solución.
Para [tex]a=-3[/tex]: [tex]9+6-3=12[/tex], la ecuación es [tex]0x=12[/tex] — no tiene ninguna solución.
Solo una de las dos raíces da infinitas soluciones.
Respuesta: [tex]a=3[/tex]

Solución:
Mientras el coeficiente sea distinto de cero podemos dividir entre él y obtenemos exactamente una solución. Por eso la ecuación deja de tener exactamente una solución justo cuando el coeficiente se anula:
[tex]a^2-5a+6=0[/tex]
[tex](a-2)(a-3)=0[/tex]
es decir [tex]a=2[/tex] o [tex]a=3[/tex].
Observa que no se pregunta cuál de los casos ocurre — ambos sirven. Aun así conviene mirarlo: para [tex]a=2[/tex] queda [tex]0x=0[/tex] (infinitas soluciones) y para [tex]a=3[/tex] queda [tex]0x=1[/tex] (sin solución). Ninguno es «exactamente una».
La suma buscada es [tex]2+3=5[/tex].

Solución:
El parámetro está en un denominador, así que primero [tex]a\neq 0[/tex]. Multiplicamos ambos miembros por [tex]2a[/tex]:
[tex]a(x-a)+2(x-2)=4a[/tex]
[tex]ax-a^2+2x-4=4a[/tex]
Agrupamos los términos con [tex]x[/tex] a la izquierda y los demás a la derecha:
[tex](a+2)x=a^2+4a+4[/tex]
[tex](a+2)x=(a+2)^2[/tex]
La ecuación tiene infinitas soluciones cuando toma la forma [tex]0x=0[/tex], es decir cuando [tex]a+2=0[/tex], o sea [tex]a=-2[/tex]. Este valor es admisible porque [tex]-2\neq 0[/tex].
(Para cualquier otro [tex]a\neq 0[/tex] la ecuación tiene la única solución [tex]x=a+2[/tex].)
Respuesta: [tex]a=-2[/tex].

Solución:
Primero agrupamos los términos con [tex]x[/tex] a la izquierda y los demás a la derecha:
[tex]ax-3x=a-2[/tex]
[tex](a-3)x=a-2[/tex]
Primer caso: [tex]a\neq 3[/tex]. Dividimos entre [tex]a-3[/tex] y obtenemos la única solución [tex]x=\frac{a-2}{a-3}[/tex].
Segundo caso: [tex]a=3[/tex]. La ecuación queda [tex]0x=1[/tex], que es falsa para todo [tex]x[/tex], así que no tiene solución.

Solución:
Factorizamos el primer miembro:
[tex]a(a^2+a+1)x=186(a^2+a+1)[/tex]
La expresión [tex]a^2+a+1[/tex] nunca es cero para [tex]a[/tex] real — su discriminante [tex]1-4=-3[/tex] es negativo — así que podemos dividir ambos miembros entre ella:
[tex]ax=186[/tex]
Ahora todo depende de [tex]a[/tex].
Si [tex]a\neq 0[/tex], dividimos entre [tex]a[/tex] y obtenemos la única solución [tex]x=\frac{186}{a}[/tex].
Si [tex]a=0[/tex], la ecuación queda [tex]0x=186[/tex], que no tiene solución.

Solución:
Es tentador cancelar de inmediato una [tex]a[/tex] en ambos miembros, pero eso solo se permite cuando [tex]a\neq 0[/tex] — y el caso [tex]a=0[/tex] es justamente el interesante.
Primer caso: [tex]a\neq 0[/tex]. Entonces [tex]a^2\neq 0[/tex] y dividimos: [tex]x=\frac{a}{a^2}=\frac{1}{a}[/tex].
Segundo caso: [tex]a=0[/tex]. La ecuación queda [tex]0x=0[/tex], que se cumple para todo [tex]x[/tex], así que todo número real es solución.
Fíjate en la diferencia con [tex]ax=1[/tex]: aquí el segundo miembro se anula junto con el coeficiente, por eso obtenemos infinitas soluciones en lugar de ninguna.

Solución:
Para [tex]a=0[/tex] la ecuación es [tex]0x=12[/tex] y no tiene ninguna solución, así que [tex]a=0[/tex] no se cuenta.
Para [tex]a\neq 0[/tex] la solución es [tex]x=\frac{12}{a}[/tex], y es entera exactamente cuando [tex]a[/tex] divide a [tex]12[/tex].
Los divisores positivos de [tex]12[/tex] son [tex]1, 2, 3, 4, 6, 12[/tex] — seis. No olvides los negativos: [tex]-1, -2, -3, -4, -6, -12[/tex] también sirven, porque dividir entre un número negativo sigue dando un entero.
En total [tex]6+6=12[/tex] valores.
Respuesta: [tex]12[/tex]

Solución:
Primera ecuación: [tex]7x-17=3x-15 \Rightarrow 4x=2 \Rightarrow x=\frac{1}{2}[/tex]
Segunda ecuación: [tex]bx-2b=3x+3b-2b+1 \Rightarrow (b-3)x=3b+1[/tex]
Debe tener la única raíz [tex]x=\frac{1}{2}[/tex] (por eso [tex]b\neq 3[/tex]):
[tex]\frac{b-3}{2}=3b+1 \Rightarrow b-3=6b+2 \Rightarrow b=-1[/tex]

Solución:
[tex]ax-bx=a^2-b^2 \Rightarrow (a-b)x=(a-b)(a+b)[/tex]
Si [tex]a\neq b[/tex], dividimos entre [tex]a-b[/tex]: [tex]x=a+b[/tex].
Si [tex]a=b[/tex], la ecuación queda [tex]0\times x=0[/tex] y todo [tex]x[/tex] es solución.

Solución:
[tex]x^2-ax-2ax-a=x^2+ax-x-a-5[/tex]
[tex]-3ax-ax+x=-5 \Rightarrow (1-4a)x=-5[/tex]
Para [tex]a=\frac{1}{4}[/tex] no hay raíz. Para [tex]a\neq\frac{1}{4}[/tex]:
[tex]x=\frac{-5}{1-4a}=\frac{5}{4a-1}>0 \Rightarrow 4a-1>0 \Rightarrow a>\frac{1}{4}[/tex]

Solución:
[tex]x-m+2=3[/tex] o [tex]x-m+2=-3[/tex]
[tex]x_1=m+1[/tex], [tex]x_2=m-5[/tex]
[tex]x_1+x_2=2m-4\ge 0 \Rightarrow m\ge 2[/tex]

Solución:
[tex]m^2x^2-4mx+4-2(m-1)x-9x^2+6=0[/tex]
[tex](m^2-9)x^2+(2-6m)x+10=0[/tex]
La ecuación es de primer grado cuando el coeficiente de [tex]x^2[/tex] es [tex]0[/tex] y el de [tex]x[/tex] no es [tex]0[/tex]:
[tex]m^2-9=0 \Rightarrow m=\pm 3[/tex]
[tex]m=3[/tex]: [tex]2-6m=-16\neq 0[/tex]; [tex]m=-3[/tex]: [tex]2-6m=20\neq 0[/tex]

Solución:
[tex]x=1[/tex]: [tex]|2+a|=|2-a|[/tex]
Dos números tienen el mismo valor absoluto cuando son iguales u opuestos:
[tex]2+a=2-a \Rightarrow a=0[/tex]
[tex]2+a=-(2-a)=a-2 \Rightarrow 2=-2[/tex], imposible.
[tex]a=0[/tex]: [tex]|2x|=|3x-1|[/tex]
[tex]2x=3x-1 \Rightarrow x=1[/tex]
[tex]2x=-(3x-1) \Rightarrow 5x=1 \Rightarrow x=\frac{1}{5}[/tex]