Ecuaciones lineales paramétricas - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
Para que una ecuación tenga todas las [tex]x \in R[/tex] como soluciones, debe ser de la forma [tex]0x=0[/tex]. Lo que significa que
[tex]\begin{array}{|l}a^2-7a+10=0 \\ a^2-8a+15=0\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}a^2-5a-2a+10=0 \\ a^2-5a-3a+15=0 \end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}(a-5)(a-2)=0 \\ (a-5)(a-3)=0\end{array}[/tex]
La solución común a ambas ecuaciones es [tex]a=5[/tex], que es también la respuesta al problema.

Solución:
Antes de hablar de casos hay que llevar la ecuación a la forma [tex]mx=b[/tex]. Multiplicamos ambos miembros por [tex]4[/tex]:
[tex](ax-3)-2(x-a)=4[/tex]
[tex]ax-3-2x+2a=4[/tex]
Dejamos los términos con [tex]x[/tex] a la izquierda y pasamos los demás a la derecha:
[tex](a-2)x=7-2a[/tex]
Ahora el análisis es el de siempre. El coeficiente es cero para [tex]a=2[/tex], y entonces el segundo miembro vale [tex]7-4=3[/tex], que no es cero. La ecuación queda [tex]0x=3[/tex] y no tiene solución.
(Para [tex]a\neq 2[/tex] hay exactamente una solución, [tex]x=\frac{7-2a}{a-2}[/tex].)
Respuesta: [tex]a=2[/tex]

Solución:
Quitamos los paréntesis en ambos miembros:
[tex]ax-a=2ax+6-x[/tex]
Pasamos todos los términos con [tex]x[/tex] a la izquierda y los demás a la derecha:
[tex]ax-2ax+x=a+6[/tex]
[tex](1-a)x=a+6[/tex]
Cuidado con el signo aquí — el coeficiente es [tex]1-a[/tex], no [tex]a-1[/tex].
Se anula para [tex]a=1[/tex], y entonces el segundo miembro vale [tex]1+6=7[/tex], que no es cero. La ecuación queda [tex]0x=7[/tex] y no tiene solución.
Respuesta: [tex]a=1[/tex]

Solución:
Factorizamos ambos miembros:
[tex](a-1)(a+1)x=a(a+1)[/tex]
El coeficiente se anula para dos valores, [tex]a=1[/tex] y [tex]a=-1[/tex], y se comportan de forma distinta, así que necesitamos tres casos.
Caso 1: [tex]a\neq 1[/tex] y [tex]a\neq -1[/tex]. Cancelamos [tex]a+1[/tex] y dividimos entre [tex]a-1[/tex]: [tex]x=\frac{a}{a-1}[/tex].
Caso 2: [tex]a=-1[/tex]. Ambos miembros se anulan, la ecuación es [tex]0x=0[/tex] y todo número real es solución.
Caso 3: [tex]a=1[/tex]. El primer miembro es cero pero el segundo vale [tex]1+1=2[/tex], así que la ecuación es [tex]0x=2[/tex] y no tiene solución.
Ese es el sentido del problema: las dos raíces del coeficiente no dan la misma respuesta, y no se puede saber cuál es cuál sin sustituir.

Solución:
Factorizamos ambos miembros:
[tex]a(a-2)(a+2)x=a(a-2)[/tex]
El coeficiente se anula para tres valores: [tex]a=0[/tex], [tex]a=2[/tex] y [tex]a=-2[/tex]. Cada uno hay que comprobarlo por separado en el segundo miembro.
[tex]a=0[/tex]: el segundo miembro es [tex]0[/tex], la ecuación es [tex]0x=0[/tex] — infinitas soluciones.
[tex]a=2[/tex]: el segundo miembro es [tex]4-4=0[/tex], la ecuación es [tex]0x=0[/tex] — infinitas soluciones.
[tex]a=-2[/tex]: el segundo miembro es [tex]4+4=8[/tex], la ecuación es [tex]0x=8[/tex] — no tiene solución, así que este valor no pertenece a [tex]A[/tex].
Por lo tanto [tex]A=\{0, 2\}[/tex] y la suma de sus elementos es [tex]0+2=2[/tex].
Respuesta: [tex]2[/tex]

Solución:
Primero inspeccionemos el conjunto [tex]A[/tex]. Si tiene un elemento cero, entonces el producto de todos sus elementos es cero, ya que cualquier número, multiplicado por cero, es cero. Comprobemos si [tex]a=0[/tex] pertenece al conjunto. Al sustituirlo en la ecuación, obtenemos [tex]0x=10[/tex], lo que no tiene solución. Por lo tanto, [tex]a=0[/tex] pertenece al conjunto [tex]A[/tex] y el producto de sus elementos es cero.

Solución:
Primero determinaremos el conjunto [tex]A[/tex].
[tex]3<2a<15[/tex] es equivalente a
[tex]\begin{array}{|l}2a>3 \\ 2a<15\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}a>\frac{3}{2}=1\frac{1}{2} \\ a < \frac{15}{2}=7\frac{1}{2} \end{array}[/tex]
Por lo tanto, los números [tex]a_1,a_2,\dots,a_n[/tex] son todos los enteros (todos ellos números naturales) entre [tex]1\frac{1}{2}[/tex] y [tex]7 \frac{1}{2}[/tex]. Estos números son [tex]2,3,4,5,6,7[/tex] y respectivamente [tex]a_1=2,a_2=3,a_3=4,a_4=5,a_5=6,a_6=7[/tex].
También encontraremos una fórmula explícita para la solución de la ecuación.
[tex](a-1)(a+1)x=(a+1)^2[/tex]. Obviamente [tex]a \ne -1[/tex], dividimos por [tex]a+1[/tex] y obtenemos
[tex](a-1)x=a+1[/tex]. Ya que cada [tex]a \ge 2[/tex], [tex]a-1 \ne 0[/tex] las soluciones son
[tex]x=\frac{a+1}{a-1}[/tex]. Sustituimos con cada [tex]a[/tex]: [tex]x_1=\frac{a_1+1}{a_1-1}=\frac{2+1}{2-1}=3[/tex]
[tex]x_2=\frac{a_2+1}{a_2-1}=\frac{3+1}{3-1}=\frac{4}{2}=2[/tex]
[tex]x_3=\frac{a_3+1}{a_3-1}=\frac{4+1}{4-1}=\frac{5}{3}[/tex]
[tex]x_4=\frac{a_4+1}{a_4-1}=\frac{5+1}{5-1}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}[/tex]
[tex]x_5=\frac{a_5+1}{a_5-1}=\frac{6+1}{6-1}=\frac{7}{5}[/tex]
[tex]x_6=\frac{a_6+1}{a_6-1}=\frac{7+1}{7-1}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}[/tex]. Los multiplicamos:
[tex]x_1x_2x_3x_4x_5x_6=3\cdot2\cdot\frac{5}{3}\cdot\frac{3}{2}\cdot\frac{7}{5}\cdot\frac{4}{3}=\frac{3\cdot2\cdot5\cdot3\cdot7\cdot4}{3\cdot2\cdot5\cdot3}=7\cdot4=28[/tex]

Solución:
El coeficiente de [tex]x[/tex] es [tex]3[/tex] y nunca es cero, así que la ecuación siempre tiene exactamente una solución:
[tex]x=\frac{a+6}{3}[/tex]
En vez de buscar los valores de [tex]a[/tex] directamente, conviene invertir el problema: elegimos primero la solución. La condición dice que [tex]x[/tex] puede ser cualquiera de [tex]1, 2, 3, \ldots, 10[/tex].
De [tex]3x=a+6[/tex] despejamos el parámetro: [tex]a=3x-6[/tex]. Cada una de las diez elecciones de [tex]x[/tex] da exactamente un valor de [tex]a[/tex], y valores distintos de [tex]x[/tex] dan valores distintos de [tex]a[/tex]:
[tex]x=1\Rightarrow a=-3,\quad x=2\Rightarrow a=0,\quad \ldots,\quad x=10\Rightarrow a=24[/tex]
Por lo tanto hay exactamente diez valores del parámetro.
Respuesta: [tex]10[/tex]

Solución:
[tex]x^2-4=0 \Rightarrow x=2[/tex] o [tex]x=-2[/tex]
[tex]m^2x-m^2=4mx-8m+16 \Rightarrow (m^2-4m)x=m^2-8m+16=(m-4)^2[/tex]
Una ecuación lineal con dos raíces distintas tiene infinitas raíces, así que debe ser [tex]0\times x=0[/tex]:
[tex]m(m-4)=0[/tex] y [tex](m-4)^2=0 \Rightarrow m=4[/tex]
Respuesta: [tex]m=4[/tex]

Solución:
[tex]2x+3=5-2x \Rightarrow 4x=2 \Rightarrow x=\frac{1}{2}[/tex]
[tex]2x+3=-(5-2x)=2x-5 \Rightarrow 3=-5[/tex], imposible.
Así, [tex]|2x+3|=|5-2x|[/tex] tiene la única raíz [tex]x=\frac{1}{2}[/tex].
[tex](a^2-25)x=-5-a \Rightarrow (a-5)(a+5)x=-(a+5)[/tex]
[tex]a=-5[/tex]: [tex]0\times x=0[/tex]; todo [tex]x[/tex] es raíz, no son equivalentes.
[tex]a=5[/tex]: [tex]0\times x=-10[/tex]; no hay raíces, no son equivalentes.
[tex]a\neq\pm 5[/tex]: [tex]x=-\frac{1}{a-5}[/tex], y necesitamos [tex]-\frac{1}{a-5}=\frac{1}{2}[/tex]:
[tex]a-5=-2 \Rightarrow a=3[/tex]

Solución:
[tex]a=1[/tex]: ambas ecuaciones son [tex]0\times x=0[/tex]; todo [tex]x[/tex] es raíz de las dos, así que son equivalentes.
[tex]a=-1[/tex]: la primera es [tex]0\times x=2[/tex] (sin raíces) y la segunda [tex]2x=0[/tex] ([tex]x=0[/tex]); no son equivalentes.
[tex]a\neq\pm 1[/tex]: las raíces son [tex]x=\frac{1-a}{(1-a)(1+a)}=\frac{1}{1+a}[/tex] y [tex]x=\frac{(1-a)(1+a)}{1-a}=1+a[/tex]. Deben ser iguales:
[tex]\frac{1}{1+a}=1+a \Rightarrow (1+a)^2=1[/tex]
[tex]1+a=1 \Rightarrow a=0[/tex]; [tex]1+a=-1 \Rightarrow a=-2[/tex]
Respuesta: [tex]a\in\{-2; 0; 1\}[/tex]

Solución:
Primera ecuación: [tex]4x^2-9-4x^2-16x-16=7 \Rightarrow -16x=32 \Rightarrow x=-2[/tex]
Segunda ecuación: [tex]|5+2a|(x+3)=1[/tex]
Si [tex]|5+2a|=0[/tex], queda [tex]0=1[/tex]; no hay raíces. Si no, [tex]x=\frac{1}{|5+2a|}-3[/tex] y necesitamos:
[tex]\frac{1}{|5+2a|}-3=-2 \Rightarrow |5+2a|=1[/tex]
[tex]5+2a=1 \Rightarrow a=-2[/tex]; [tex]5+2a=-1 \Rightarrow a=-3[/tex]
Respuesta: [tex]a\in\{-3; -2\}[/tex]

Solución:
[tex]a^2x-4x+8a=4a-8 \Rightarrow (a^2-4)x=-4a-8 \Rightarrow (a-2)(a+2)x=-4(a+2)[/tex]
[tex]a=-2[/tex]: [tex]0\times x=0[/tex], todo [tex]x[/tex] es raíz, incluidos los enteros negativos (por ejemplo, [tex]x=-1[/tex]).
[tex]a=2[/tex]: [tex]0\times x=-16[/tex]; no hay raíces.
[tex]a\neq\pm 2[/tex]: [tex]x=-\frac{4}{a-2}[/tex]. Es un entero negativo cuando [tex]a-2[/tex] es un divisor positivo de [tex]4[/tex]:
[tex]a-2\in\{1; 2; 4\} \Rightarrow a\in\{3; 4; 6\}[/tex]
Respuesta: [tex]a\in\{-2; 3; 4; 6\}[/tex]