Circunferencia: cuerdas y tangentes - problemas y soluciones

Solución:
La menor distancia se mide sobre la recta que pasa por el centro [tex]O[/tex], por eso [tex]OA=R+25[/tex]. El radio al punto de tangencia [tex]T[/tex] es perpendicular a la tangente: [tex]\angle OTA=90^\circ[/tex], [tex]OT=R[/tex].
Por el teorema de Pitágoras [tex](R+25)^2=R^2+35^2[/tex], es decir, [tex]50R+625=1225[/tex], por eso [tex]R=12[/tex].

Solución:
[tex]R=\frac{6+14}{2}=10[/tex], y la distancia del centro [tex]O[/tex] a [tex]P[/tex] es [tex]OP=10-6=4[/tex].
La distancia de [tex]O[/tex] a la cuerda es [tex]d=OP\sen 45^\circ=2\sqrt{2}[/tex].
[tex]\frac{AB}{2}=\sqrt{R^2-d^2}=\sqrt{100-8}=\sqrt{92}=2\sqrt{23}[/tex], por eso [tex]AB=4\sqrt{23}[/tex].

Solución:
El radio al punto de tangencia es perpendicular a la tangente: [tex]OB \perp t[/tex], por eso [tex]OB \perp AC[/tex]. Un diámetro perpendicular a una cuerda la biseca a ella y a su arco, por eso [tex]BA=BC=10[/tex].
Sea [tex]H[/tex] el punto medio de [tex]AC[/tex]; entonces [tex]BH=\sqrt{10^2-6^2}=8[/tex].
[tex]R=\frac{AB \times BC}{2 \times BH}=\frac{100}{16}=\frac{25}{4}[/tex].

Solución:
La distancia entre los centros es [tex]O_1O_2=3+1=4[/tex]. La tangente común interior pasa por el punto de contacto y es perpendicular a [tex]O_1O_2[/tex].
La tangente exterior forma con [tex]O_1O_2[/tex] un ángulo [tex]\varphi[/tex], donde [tex]\sen \varphi=\frac{3-1}{4}=\frac{1}{2}[/tex] (diferencia de radios entre la distancia de los centros), por eso [tex]\varphi=30^\circ[/tex].
Por lo tanto, el ángulo entre las dos tangentes es [tex]90^\circ-30^\circ=60^\circ[/tex].

Solución:
El ángulo entre la tangente y la cuerda [tex]TA[/tex] es igual al ángulo inscrito sobre el mismo arco: [tex]\angle MTA=\angle MBT[/tex].
Los triángulos tienen además el [tex]\angle M[/tex] común, por eso [tex]\triangle MTA \sim \triangle MBT[/tex].
Por lo tanto, [tex]\frac{MT}{MB}=\frac{MA}{MT}[/tex], es decir, [tex]MT^2=MA \times MB[/tex].

Solución:
[tex]BC=8[/tex]. El ángulo entre la tangente y la cuerda [tex]CA[/tex] es igual al ángulo inscrito sobre el mismo arco: [tex]\angle MCA=\angle MBC[/tex]; con el ángulo común en [tex]M[/tex], [tex]\triangle MCA \sim \triangle MBC[/tex].
Así, [tex]\frac{MC}{MB}=\frac{MA}{MC}=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}[/tex]. [tex]M[/tex] está más allá de [tex]A[/tex]; sea [tex]MA=x[/tex], entonces [tex]MB=x+10[/tex].
De las razones [tex]x=\frac{3}{4}MC=\frac{9}{16}(x+10)[/tex], por eso [tex]x=\frac{90}{7}[/tex] y [tex]MC=\frac{4}{3}x=\frac{120}{7}[/tex].

Solución:
Sea [tex]\theta[/tex] el ángulo entre la cuerda y la tangente en [tex]A[/tex]; es igual al ángulo inscrito sobre el arco [tex]AB[/tex], por eso [tex]AB=2R\sen \theta[/tex]. La distancia de [tex]B[/tex] a la tangente es [tex]d=AB\sen \theta=\frac{AB^2}{2R}[/tex].
Así, [tex]\frac{AB^2}{4}+AB=3[/tex], es decir, [tex]AB^2+4AB-12=0[/tex], y la raíz positiva es [tex]AB=2[/tex].

Solución:
El producto [tex]AB \times AC[/tex] es el mismo para toda secante por [tex]A[/tex]; para la secante que pasa por el centro vale [tex](9-7)(9+7)=32[/tex].
Como [tex]AB=BC[/tex], [tex]AC=2AB[/tex], por eso [tex]2AB^2=32[/tex] y [tex]AB=4[/tex].

Solución:
Sean [tex]MC=mk;\ MD=nk[/tex]. El diámetro perpendicular a la cuerda la biseca: [tex]AM=MB=\frac{a}{2}[/tex].
Por el teorema de las cuerdas que se cortan [tex]AM \times MB=MC \times MD[/tex], es decir, [tex]\frac{a^2}{4}=mnk^2[/tex], por eso [tex]k=\frac{a}{2\sqrt{mn}}[/tex].
[tex]2R=(m+n)k[/tex], por lo tanto [tex]R=\frac{(m+n)a}{4\sqrt{mn}}[/tex].

Solución:
El ángulo central sobre el arco es [tex]\angle AOB=2\alpha[/tex]; en el [tex]\triangle AOB[/tex] isósceles de lados [tex]R[/tex]: [tex]AB=2R\sen \alpha[/tex].
[tex]M[/tex] divide el arco por la mitad, por eso [tex]\angle AOM=\alpha[/tex], y análogamente [tex]AM=2R\sen \frac{\alpha}{2}[/tex].

Solución:
Sea [tex]P[/tex] el punto de la bóveda sobre [tex]C[/tex]; la altura es [tex]CP[/tex]. El [tex]\triangle APB[/tex] es rectángulo porque abarca el diámetro, y [tex]CP[/tex] es su altura sobre la hipotenusa.
Como [tex]CB=5[/tex], [tex]CP[/tex]² = [tex]AC \times CB=1 \times 5=5[/tex], por eso [tex]h=\sqrt{5}[/tex] m.

Solución:
[tex]\angle AMD=\angle CMB[/tex] (opuestos por el vértice) y [tex]\angle DAB=\angle DCB[/tex] (ángulos inscritos sobre el arco [tex]DB[/tex]), por eso [tex]\triangle AMD \sim \triangle CMB[/tex] con razón [tex]\frac{AM}{CM}=\frac{4}{3}[/tex].
Las áreas de triángulos semejantes están en la razón de los cuadrados de los lados correspondientes, por eso [tex]S_{CMB}=S_{AMD} \times \left(\frac{3}{4}\right)^2=\frac{9}{8}[/tex].

Solución:
El ángulo entre la tangente [tex]BC[/tex] y la cuerda [tex]CD[/tex] es igual al ángulo inscrito sobre el mismo arco: [tex]\angle BCD=\angle BAC[/tex]; con el ángulo común en [tex]B[/tex], [tex]\triangle BCD \sim \triangle BAC[/tex].
Así, [tex]\frac{BC}{BA}=\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{BC}[/tex]: [tex]\frac{12}{BA}=\frac{6}{9}[/tex], de donde [tex]BA=18[/tex] y [tex]BD=\frac{BC^2}{BA}=\frac{144}{18}=8[/tex].

Solución:
Por el teorema de las dos secantes [tex]MA \times MB=MD \times MC[/tex]: [tex]3MB=36[/tex], por eso [tex]MB=12[/tex] y [tex]AB=MB-MA=9[/tex].
Los triángulos tienen el ángulo común en [tex]M[/tex] y lados proporcionales [tex]\frac{MA}{MC}=\frac{MD}{MB}=\frac{1}{3}[/tex], por eso [tex]\triangle MAD \sim \triangle MCB[/tex]; por lo tanto [tex]\frac{AD}{CB}=\frac{1}{3}[/tex] y [tex]BC=6[/tex].

Solución:
Como [tex]\angle AA_1B=\angle AB_1B=90^\circ[/tex], los puntos [tex]A;\ B;\ A_1;\ B_1[/tex] están en la circunferencia de diámetro [tex]AB[/tex].
[tex]AA_1;\ BB_1[/tex] son dos cuerdas de esta circunferencia que se cortan en [tex]H[/tex], por eso por el teorema de las cuerdas que se cortan [tex]AH \times HA_1=BH \times HB_1[/tex].
Análogamente (circunferencia de diámetro [tex]BC[/tex]) [tex]BH \times HB_1=CH \times HC_1[/tex].

Solución:
Sea [tex]O[/tex] el punto de corte de las diagonales; las biseca. [tex]AC=81[/tex], por eso [tex]AO=\frac{81}{2}[/tex] y [tex]OL=65-\frac{81}{2}=\frac{49}{2}[/tex].
Por el teorema de las cuerdas [tex]AL[/tex] y [tex]BD[/tex] que se cortan: [tex]OB \times OD=OA \times OL[/tex], es decir, [tex]OB^2=\frac{81}{2} \times \frac{49}{2}[/tex], por eso [tex]OB=\frac{63}{2}[/tex].
Entonces [tex]BD=63[/tex] y [tex]AB=BD=63[/tex].

Solución:
Como [tex]\angle BAD=\angle DAC=60^\circ[/tex], las cuerdas que abarcan ángulos inscritos iguales son iguales: [tex]BD=CD[/tex]. El cuadrilátero [tex]ABDC[/tex] es inscrito, por eso [tex]\angle BDC=180^\circ-120^\circ=60^\circ[/tex], luego el [tex]\triangle BCD[/tex] es equilátero: [tex]BC=BD=CD[/tex].
Por el teorema de Ptolomeo [tex]AD \times BC=AB \times CD+AC \times BD[/tex]; dividiendo entre [tex]BC[/tex] se obtiene [tex]AD=AB+AC=3[/tex].

Solución:
Para la tangente exterior, una paralela a la tangente por el centro menor da un triángulo rectángulo de hipotenusa igual a la distancia entre los centros y cateto igual a la diferencia de los radios: [tex]\sqrt{25^2-(11-4)^2}=\sqrt{625-49}=24[/tex].
Para la tangente interior el cateto es la suma de los radios: [tex]\sqrt{25^2-(11+4)^2}=\sqrt{625-225}=20[/tex].

Solución:
Sea [tex]\overset{\frown}{BC}=3k;\ \overset{\frown}{AC}=5k[/tex]. Un ángulo con vértice exterior a la circunferencia es igual a la semidiferencia de los arcos comprendidos entre sus lados: [tex]\angle AMC=\frac{\overset{\frown}{AC}-\overset{\frown}{BC}}{2}[/tex].
Así, [tex]\frac{5k-3k}{2}=32^\circ[/tex], [tex]k=32^\circ[/tex] y [tex]\overset{\frown}{BC}=96^\circ;\ \overset{\frown}{AC}=160^\circ[/tex].

Solución:
Sea [tex]O[/tex] el centro y [tex]CH[/tex] la altura; [tex]AH=3[/tex] y [tex]CH=4[/tex]. El radio al punto de tangencia es perpendicular a la tangente: [tex]OA \perp AC[/tex], por eso [tex]\angle OAH=\angle ACH[/tex].
Los triángulos rectángulos dan [tex]\triangle OAH \sim \triangle ACH[/tex], por eso [tex]\frac{OA}{AC}=\frac{AH}{CH}[/tex] y [tex]OA=\frac{5 \times 3}{4}=\frac{15}{4}[/tex].

Solución:
[tex]O_1T_1T_2O_2[/tex] es un trapecio rectángulo cuyos lados paralelos son los radios [tex]3[/tex] y [tex]9[/tex] (perpendiculares a la tangente). La distancia [tex]AK[/tex] de [tex]A[/tex] a la tangente es el segmento por [tex]A[/tex] paralelo a ellos, y [tex]A[/tex] divide [tex]O_1O_2[/tex] en la razón [tex]1:3[/tex], pues [tex]\frac{O_1A}{O_1O_2}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}[/tex].
Por lo tanto, [tex]AK=3+\frac{1}{4}(9-3)=\frac{9}{2}[/tex].

Solución:
Para [tex]k_1[/tex], la tangente desde [tex]N[/tex] y la secante por [tex]A[/tex] y [tex]B[/tex] dan [tex]NT_1^2=NA \times NB[/tex]. Análogamente para [tex]k_2[/tex]: [tex]NT_2^2=NA \times NB[/tex].
Así, los cuadrados son iguales y [tex]NT_1=NT_2[/tex]: la recta [tex]AB[/tex] biseca el segmento de la tangente común.

Solución:
El diámetro por [tex]C[/tex] queda dividido por [tex]C[/tex] en segmentos de producto [tex](7-3)(7+3)=40[/tex]; por el teorema de las cuerdas que se cortan también [tex]AC \times CB=40[/tex].
Sea [tex]AC=x[/tex]; como [tex]AC+CB=13[/tex], [tex]x(13-x)=40[/tex], es decir, [tex]x^2-13x+40=0[/tex], por eso [tex]x_1=5;\ x_2=8[/tex].
La cuerda queda dividida en segmentos [tex]5;\ 8[/tex].

Solución:
Los radios a los puntos de tangencia son perpendiculares a la tangente, por eso [tex]O_1T_1 \parallel O_2T_2[/tex] y [tex]\triangle PO_1T_1 \sim \triangle PO_2T_2[/tex], de donde [tex]\frac{PO_1}{PO_2}=\frac{R}{r}[/tex].
[tex]P[/tex] está del lado de la circunferencia menor, por eso [tex]PO_1=PO_2+R+r[/tex]. Entonces [tex]\frac{PO_2+R+r}{PO_2}=\frac{R}{r}[/tex], de donde [tex]PO_2=\frac{r(R+r)}{R-r}[/tex].

Solución:
Sea [tex]N[/tex] el punto donde la tangente común en [tex]M[/tex] corta a [tex]AB[/tex]. Los segmentos tangentes desde un punto son iguales: [tex]NA=NM=NB[/tex].
Por eso [tex]M[/tex] está en la circunferencia de diámetro [tex]AB[/tex], de donde [tex]\angle AMB=90^\circ[/tex].
La longitud de la tangente común exterior de dos circunferencias tangentes es el doble de la media geométrica de los radios: [tex]AB=2\sqrt{4 \times 1}=4[/tex].

Solución:
El ángulo entre la tangente [tex]AD[/tex] y la cuerda [tex]AC[/tex] es igual al ángulo inscrito sobre el mismo arco: [tex]\angle DAC=\angle ABC[/tex]. Además [tex]\angle DCA=\angle CAB[/tex] (ángulos alternos).
Así, [tex]\triangle DAC \sim \triangle CBA[/tex], de donde [tex]\frac{DC}{CA}=\frac{CA}{AB}[/tex], es decir, [tex]AC^2=ab[/tex] y [tex]AC=\sqrt{ab}[/tex].

Solución:
El lado del cuadrado mide [tex]25[/tex]. Colocamos [tex]A(0;0),\ B(25;0),\ C(25;25),\ D(0;25)[/tex]; el centro es [tex]Q(r;r)[/tex] y el radio [tex]r[/tex]. La circunferencia corta a [tex]BC[/tex] en el punto [tex](25;2)[/tex], por eso [tex](25-r)^2+(2-r)^2=r^2[/tex], es decir, [tex]r^2-54r+629=0[/tex], y [tex]r_1=17;\ r_2=37[/tex].
El radio es menor que el lado, [tex]r<25[/tex], por eso [tex]r=17[/tex].

Solución:
La recta [tex]AO[/tex] pasa por el centro y es perpendicular a [tex]BC=6[/tex], por eso la biseca en [tex]H[/tex]; luego [tex]AC=AB=5[/tex].
[tex]AH=\sqrt{25-9}=4[/tex]. El diámetro [tex]AD[/tex] por [tex]O[/tex] da el [tex]\triangle ABD[/tex] rectángulo de altura [tex]AH[/tex], por eso [tex]AB^2=AH \times AD[/tex] y [tex]AD=\frac{25}{4};\ R=\frac{25}{8}[/tex].

Solución:
Los puntos [tex]O;\ O_1;\ T[/tex] están alineados (la recta de los centros pasa por el punto de contacto), por eso [tex]\angle OTA=\angle O_1TA_1[/tex].
El [tex]\triangle TOA[/tex] y el [tex]\triangle TO_1A_1[/tex] son isósceles: [tex]\angle OAT=\angle OTA[/tex], [tex]\angle O_1A_1T=\angle O_1TA_1[/tex]. Así, [tex]\angle OAT=\angle O_1A_1T[/tex], y son ángulos correspondientes, por eso [tex]OA \parallel O_1A_1[/tex].
Además [tex]\triangle TOA \sim \triangle TO_1A_1[/tex] con razón igual a la razón de los radios, por eso [tex]\frac{TA}{TA_1}=\frac{R}{r}[/tex].

Solución:
Los centros de las circunferencias son los puntos medios [tex]M[/tex] y [tex]N[/tex] de los lados no paralelos, por eso la distancia entre los centros es la base media: [tex]MN=\frac{AB+CD}{2}[/tex].
La suma de los radios es [tex]\frac{AD}{2}+\frac{BC}{2}=\frac{AD+BC}{2}[/tex], y por la condición es igual a [tex]MN=\frac{AB+CD}{2}[/tex].
Así, [tex]MN=\frac{AD}{2}+\frac{BC}{2}[/tex]: la distancia entre los centros es igual a la suma de los radios, por eso las circunferencias son tangentes exteriormente.

Solución:
Sea [tex]AB=CD=a[/tex]. Por el teorema de las dos secantes [tex]PA \times PB=PC \times PD[/tex], donde [tex]PA=PB+a[/tex] y [tex]PC=PD+a[/tex].
Así, [tex](PB+a)PB=(PD+a)PD[/tex], es decir, [tex](PB-PD)(PB+PD+a)=0[/tex]. El segundo factor es positivo, por eso [tex]PB=PD[/tex], y entonces [tex]PA=PC[/tex].

Solución:
El centro está en la bisectriz: [tex]\angle ABO=15^\circ[/tex]. En el [tex]\triangle ABO[/tex] rectángulo (el radio [tex]OA[/tex] es perpendicular a la tangente): [tex]AB=BO\cos 15^\circ[/tex]. Los segmentos tangentes son iguales, [tex]BA=BC[/tex], por eso [tex]AC \perp BO[/tex]; sea [tex]H[/tex] el punto de corte de [tex]AC[/tex] y [tex]BO[/tex].
[tex]AH=AB\sen 15^\circ=14\sen 15^\circ\cos 15^\circ=7\sen 30^\circ=\frac{7}{2}[/tex], por eso [tex]AC=2AH=7[/tex].

Solución:
El ángulo entre la tangente y la cuerda [tex]CB[/tex] es igual al ángulo inscrito sobre ella: [tex]\angle PCB=\angle CAB[/tex]. Entonces [tex]\angle PCL=\angle PCB+\angle BCL[/tex], y [tex]\angle PLC=\angle CAL+\angle ACL[/tex] como ángulo exterior del [tex]\triangle ALC[/tex].
Como [tex]\angle BCL=\angle ACL[/tex] y [tex]\angle PCB=\angle CAB[/tex], [tex]\angle PCL=\angle PLC[/tex], por eso el [tex]\triangle PCL[/tex] es isósceles y [tex]PC=PL[/tex].

Solución:
Sea [tex]I[/tex] el punto de corte del segmento [tex]AO[/tex] con la circunferencia. Por simetría, [tex]AO[/tex] es bisectriz del [tex]\angle BAC[/tex] y [tex]I[/tex] es el punto medio del arco cortado por [tex]BC[/tex]: [tex]\overset{\frown}{BI}=\overset{\frown}{IC}[/tex].
El ángulo entre la tangente [tex]AB[/tex] y la cuerda [tex]BI[/tex] es igual al ángulo inscrito sobre ella: [tex]\angle ABI=\angle BCI[/tex], y los arcos iguales dan [tex]\angle BCI=\angle IBC[/tex].
Así, [tex]\angle ABI=\angle IBC[/tex], es decir, [tex]BI[/tex] es bisectriz del ángulo en [tex]B[/tex]. Por eso [tex]I[/tex] está en dos bisectrices del [tex]\triangle ABC[/tex] y es su incentro.

Solución:
Por el teorema de la bisectriz [tex]\frac{AP}{PB}=\frac{AC}{BC}=2[/tex], por eso [tex]BP=2;\ AP=4[/tex].
Por el teorema de las dos secantes desde [tex]B[/tex]: [tex]BP \times BA=BD \times BC[/tex], es decir, [tex]2 \times 6=4 \times BD[/tex], por eso [tex]BD=3[/tex].
Como [tex]\angle ACP=\angle PCD[/tex], las cuerdas que abarcan estos ángulos inscritos iguales son iguales: [tex]PD=PA=4[/tex].

Solución:
El centro de la circunferencia es el punto medio [tex]M[/tex] de [tex]AD[/tex], y el radio es la mitad de [tex]AD[/tex]. Sea [tex]N[/tex] el punto medio de [tex]BC[/tex]; la base media es perpendicular a [tex]BC[/tex] ([tex]MN \perp BC[/tex]), por eso es igual a la distancia de [tex]M[/tex] a [tex]BC[/tex], es decir, al radio: [tex]MN=4[/tex].
Además [tex]MN=\frac{AB+CD}{2}[/tex], por eso [tex]S=\frac{AB+CD}{2} \times BC=4 \times 6=24[/tex].

Solución:
Sea [tex]r[/tex] el radio: [tex]OE=r;\ BO=2r[/tex], por eso [tex]BE=\sqrt{4r^2-r^2}=r\sqrt{3}[/tex]. Las bases son tangentes a [tex]k(O)[/tex] en los extremos del diámetro, por eso los segmentos tangentes dan [tex]BA=BE;\ CD=CE[/tex] y [tex]AB+CD=BE+EC=16[/tex].
En el [tex]\triangle BOC[/tex], [tex]\angle BOC=90^\circ[/tex] y [tex]OE[/tex] es la altura, por eso [tex]OE^2=BE \times EC[/tex], es decir, [tex]EC=\frac{r^2}{r\sqrt{3}}=\frac{r}{\sqrt{3}}[/tex].
Entonces [tex]r\sqrt{3}+\frac{r}{\sqrt{3}}=16[/tex], por eso [tex]r=4\sqrt{3};\ AD=8\sqrt{3}[/tex] y [tex]S=\frac{AB+CD}{2} \times AD=\frac{16}{2} \times 8\sqrt{3}=64\sqrt{3}[/tex].

Solución:
Por el teorema de la tangente y la secante desde [tex]A[/tex]: [tex]AC^2=AD \times AB=\frac{a}{3} \times a[/tex], por eso [tex]AC=\frac{a}{\sqrt{3}}[/tex]. Por la ley de los cosenos [tex]BC^2=a^2+\frac{a^2}{3}-2a \times \frac{a}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2}{3}[/tex], por eso [tex]BC=\frac{a}{\sqrt{3}}[/tex] y [tex]\angle CBA=\angle CAB=30^\circ[/tex].
El ángulo entre la tangente [tex]AC[/tex] y la cuerda [tex]CD[/tex] es igual al ángulo inscrito sobre ella: [tex]\angle ACD=\angle CBD=30^\circ[/tex]. Entonces [tex]\angle ADC=120^\circ;\ \angle BDC=60^\circ[/tex].
Por la ley de los senos en [tex]k[/tex]: [tex]R=\frac{BC}{2\sen 60^\circ}=\frac{a}{3}[/tex].