Ecuaciones trigonométricas - problemas difíciles y soluciones

Solución:
Dominio: [tex]\cos x\ne 0[/tex] (entonces también [tex]\operatorname{sen} x\ne-1[/tex]). Con denominador común:
[tex]\tan x+\frac{\cos x}{1+\operatorname{sen} x}=\frac{\operatorname{sen} x(1+\operatorname{sen} x)+\cos^2 x}{\cos x(1+\operatorname{sen} x)}=\frac{1+\operatorname{sen} x}{\cos x(1+\operatorname{sen} x)}=\frac{1}{\cos x}[/tex]
Así, [tex]\frac{1}{\cos x}=2[/tex], [tex]\cos x=\frac{1}{2}[/tex] y [tex]x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi[/tex]. Estos valores pertenecen al dominio.

Solución:
Escribimos [tex]\operatorname{sen} x=\operatorname{sen} x\left(\operatorname{sen} ^2 x+\cos^2 x\right)[/tex]. La ecuación se vuelve homogénea de grado [tex]3[/tex]:
[tex]3\cos^3 x-\operatorname{sen} ^2 x\cos x-\operatorname{sen} ^3 x-\operatorname{sen} x\cos^2 x=0[/tex]
Si [tex]\cos x=0[/tex], entonces [tex]\operatorname{sen} ^3 x=0[/tex], lo cual es imposible, así que dividimos entre [tex]\cos^3 x[/tex]. Con [tex]t=\tan x[/tex]:
[tex]t^3+t^2+t-3=0\iff(t-1)\left(t^2+2t+3\right)=0[/tex]
El factor cuadrático no tiene raíces reales, así que [tex]\tan x=1[/tex] y [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex].

Solución:
Dividimos entre [tex]2[/tex]:
[tex]\cos 2x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cos x+\frac{1}{2}\operatorname{sen} x=\cos\left(x-\frac{\pi}{6}\right)\iff 2x=\pm\left(x-\frac{\pi}{6}\right)+2k\pi[/tex]
Con el signo más: [tex]x=-\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex]. Con el signo menos: [tex]3x=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex], de donde [tex]x=\frac{\pi}{18}+\frac{2k\pi}{3}[/tex].

Solución:
Sea [tex]t=\cos x-\operatorname{sen} x[/tex], [tex]|t|\le\sqrt{2}[/tex]. Entonces [tex]t^2=1-\operatorname{sen} 2x[/tex], es decir, [tex]\operatorname{sen} 2x=1-t^2[/tex], y la ecuación se convierte en
[tex]t^2-6t+5=0[/tex]
con raíces [tex]t=1[/tex] y [tex]t=5[/tex]; la raíz [tex]t=5[/tex] es imposible. De
[tex]\cos x-\operatorname{sen} x=\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1\iff x+\frac{\pi}{4}=\pm\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex]
se obtiene [tex]x=2k\pi[/tex] o [tex]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex].

Solución:
Sea [tex]t=\cos 2x[/tex]. Entonces [tex]\operatorname{sen} ^2 x=\frac{1-t}{2}[/tex], así que [tex]16\operatorname{sen} ^6 x=2(1-t)^3[/tex], y [tex]\cos 4x=2t^2-1[/tex]. El lado izquierdo es
[tex]2\left(1-3t+3t^2-t^3\right)+6t-6t^2+3=5-2t^3[/tex]
Así, [tex]5-2t^3=\frac{19}{4}[/tex], [tex]t^3=\frac{1}{8}[/tex] y [tex]t=\frac{1}{2}[/tex]. De [tex]\cos 2x=\frac{1}{2}[/tex]: [tex]2x=\pm\frac{\pi}{3}+2k\pi[/tex], [tex]x=\pm\frac{\pi}{6}+k\pi[/tex].

Solución:
Usamos [tex]\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x[/tex] y [tex]\operatorname{sen} 3x=3\operatorname{sen} x-4\operatorname{sen} ^3 x[/tex]. Los términos [tex]\pm 4\operatorname{sen} ^3 x\cos^3 x[/tex] se cancelan y el lado izquierdo queda
[tex]3\operatorname{sen} x\cos^3 x-3\operatorname{sen} ^3 x\cos x=3\operatorname{sen} x\cos x\left(\cos^2 x-\operatorname{sen} ^2 x\right)=\frac{3}{2}\operatorname{sen} 2x\cos 2x=\frac{3}{4}\operatorname{sen} 4x[/tex]
Así, [tex]\operatorname{sen} 4x=1[/tex], [tex]4x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] y [tex]x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{2}[/tex].

Solución:
Escribimos [tex]\operatorname{sen} x\operatorname{sen} 3x=\frac{1}{2}(\cos 2x-\cos 4x)[/tex] y [tex]\operatorname{sen} 4x=2\operatorname{sen} 2x\cos 2x[/tex]. La ecuación se convierte en
[tex]\frac{1}{2}\operatorname{sen} 2x(\cos 2x-\cos 4x)=\frac{1}{2}\operatorname{sen} 2x\cos 2x\iff\operatorname{sen} 2x\cos 4x=0[/tex]
[tex]\operatorname{sen} 2x=0[/tex] da [tex]x=\frac{k\pi}{2}[/tex]; [tex]\cos 4x=0[/tex] da [tex]4x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], [tex]x=\frac{\pi}{8}+\frac{k\pi}{4}[/tex]. No dividas entre [tex]\operatorname{sen} 2x[/tex]: así se pierden raíces.

Solución:
El lado izquierdo es no negativo, así que se necesita [tex]\cos x\le 0[/tex]. Elevando al cuadrado:
[tex]1+\operatorname{sen} x=\cos^2 x=1-\operatorname{sen} ^2 x\iff\operatorname{sen} x(\operatorname{sen} x+1)=0[/tex]
Si [tex]\operatorname{sen} x=0[/tex], entonces [tex]\cos x=\pm 1[/tex], y la condición [tex]\cos x\le 0[/tex] deja solo [tex]\cos x=-1[/tex]: [tex]x=\pi+2k\pi[/tex]. Si [tex]\operatorname{sen} x=-1[/tex], entonces [tex]\cos x=0[/tex], lo cual está permitido: [tex]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]. Los valores [tex]x=2k\pi[/tex] son raíces extrañas.

Solución:
Escribimos [tex]3\cos^2 x-2=1-3\operatorname{sen} ^2 x[/tex].
Caso [tex]0\le x\le\frac{\pi}{2}[/tex]: [tex]\operatorname{sen} x\ge 0[/tex], así que [tex]\operatorname{sen} ^2 x=1-3\operatorname{sen} ^2 x[/tex], [tex]\operatorname{sen} ^2 x=\frac{1}{4}[/tex], [tex]\operatorname{sen} x=\frac{1}{2}[/tex] y [tex]x=\frac{\pi}{6}[/tex]. Caso [tex]-\frac{\pi}{2}\le x\lt 0[/tex]: [tex]\operatorname{sen} x\lt 0[/tex], así que [tex]-\operatorname{sen} ^2 x=1-3\operatorname{sen} ^2 x[/tex], [tex]\operatorname{sen} ^2 x=\frac{1}{2}[/tex], [tex]\operatorname{sen} x=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] y [tex]x=-\frac{\pi}{4}[/tex].

Solución:
Agrupamos los términos:
[tex]2\operatorname{sen} x(\cos x+1)+(\cos x+1)=(\cos x+1)(2\operatorname{sen} x+1)=0[/tex]
[tex]\cos x=-1[/tex] da [tex]x=\pi+2k\pi[/tex]; en [tex]\left(0; 5\right)[/tex] solo [tex]x=\pi\approx 3{,} 14[/tex]. [tex]\operatorname{sen} x=-\frac{1}{2}[/tex] da [tex]x=\frac{7\pi}{6}+2k\pi[/tex] o [tex]x=\frac{11\pi}{6}+2k\pi[/tex]; en [tex]\left(0; 5\right)[/tex] solo [tex]\frac{7\pi}{6}\approx 3{,} 67[/tex], porque [tex]\frac{11\pi}{6}\approx 5{,} 76\gt 5[/tex]. Por lo tanto, hay [tex]2[/tex] raíces.

Solución:
Como [tex]2\cos^2 3x-1=\cos 6x[/tex], la ecuación es
[tex]\cos 6x-\cos 4x=0\iff-2\operatorname{sen} 5x\operatorname{sen} x=0[/tex]
[tex]\operatorname{sen} x=0[/tex] da [tex]x=k\pi[/tex] y [tex]\operatorname{sen} 5x=0[/tex] da [tex]x=\frac{k\pi}{5}[/tex]; la primera serie está contenida en la segunda. En [tex]\left[0; \frac{\pi}{2}\right][/tex] las raíces son [tex]0; \frac{\pi}{5}; \frac{2\pi}{5}[/tex] (la siguiente, [tex]\frac{3\pi}{5}[/tex], es demasiado grande). Por lo tanto, hay [tex]3[/tex] raíces.

Solución:
Como [tex]-1\le\cos 4x\le 1[/tex], el lado izquierdo cumple [tex]5\le 8-3\cos 4x\le 11[/tex]. Como [tex]1\le 3-2\operatorname{sen} x\le 5[/tex], el lado derecho cumple [tex]1\le\frac{5}{3-2\operatorname{sen} x}\le 5[/tex]. La igualdad solo es posible cuando ambos lados valen [tex]5[/tex]:
[tex]\cos 4x=1; \quad 3-2\operatorname{sen} x=1\iff\operatorname{sen} x=1[/tex]
Entonces [tex]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex], y para estos valores [tex]4x=2\pi+8k\pi[/tex], así que [tex]\cos 4x=1[/tex] se cumple.

Solución:
Dominio: [tex]\cos x\ne 0[/tex], [tex]\cos 2x\ne 0[/tex], [tex]\cos 3x\ne 0[/tex]. Usando [tex]\tan a+\tan b=\frac{\operatorname{sen} (a+b)}{\cos a\cos b}[/tex]:
[tex]\frac{\operatorname{sen} 3x}{\cos x\cos 2x}-\frac{\operatorname{sen} 3x}{\cos 3x}=\operatorname{sen} 3x\times \frac{\cos 3x-\cos x\cos 2x}{\cos x\cos 2x\cos 3x}=\frac{-\operatorname{sen} 3x\operatorname{sen} x\operatorname{sen} 2x}{\cos x\cos 2x\cos 3x}[/tex]
Así, [tex]\operatorname{sen} 3x\operatorname{sen} 2x\operatorname{sen} x=0[/tex]. [tex]\operatorname{sen} 3x=0[/tex] da [tex]x=\frac{k\pi}{3}[/tex], y todos estos valores están en el dominio. [tex]\operatorname{sen} x=0[/tex] da [tex]x=k\pi[/tex], ya incluidos. [tex]\operatorname{sen} 2x=0[/tex] añade [tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], pero ahí [tex]\cos x=0[/tex], así que se descartan.

Solución:
Dominio: [tex]\operatorname{sen} x\ne 0[/tex] (entonces también [tex]\cos x\ne 1[/tex]). Multiplicando por [tex]\operatorname{sen} ^2 x(1-\cos x)[/tex]:
[tex]\cos^2 x-\cos^3 x=\operatorname{sen} ^2 x-\operatorname{sen} ^3 x[/tex]
[tex]\left(\cos^2 x-\operatorname{sen} ^2 x\right)-\left(\cos^3 x-\operatorname{sen} ^3 x\right)=(\cos x-\operatorname{sen} x)(\cos x+\operatorname{sen} x-1-\operatorname{sen} x\cos x)=-(\cos x-\operatorname{sen} x)(1-\operatorname{sen} x)(1-\cos x)=0[/tex]
[tex]\cos x=\operatorname{sen} x[/tex] da [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex]; [tex]\operatorname{sen} x=1[/tex] da [tex]x=\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex]; [tex]\cos x=1[/tex] implica [tex]\operatorname{sen} x=0[/tex] y se descarta.

Solución:
Una ecuación [tex]p\cos x+q\operatorname{sen} x=r[/tex] con [tex]p^2+q^2\gt 0[/tex] tiene solución exactamente cuando [tex]r^2\le p^2+q^2[/tex] (se divide entre [tex]\sqrt{p^2+q^2}[/tex] y se usa un ángulo auxiliar). Aquí
[tex]p^2+q^2=(a-1)^2+(a+1)^2=2a^2+2\gt 0[/tex]
La condición es [tex]4a^2\le 2a^2+2[/tex], es decir, [tex]a^2\le 1[/tex] y [tex]-1\le a\le 1[/tex].

Solución:
Dominio: [tex]\cos x\ne 0[/tex], [tex]\cos 2x\ne 0[/tex], [tex]\cos 3x\ne 0[/tex], [tex]\cos 4x\ne 0[/tex]. De
[tex]\tan 3x=\frac{\tan x+\tan 2x}{1-\tan x\tan 2x}[/tex]
(aquí [tex]1-\tan x\tan 2x=\frac{\cos 3x}{\cos x\cos 2x}\ne 0[/tex]) se obtiene [tex]\tan x+\tan 2x+\tan x\tan 2x\tan 3x=\tan 3x[/tex]. La ecuación se convierte en [tex]\tan 4x=0[/tex], es decir, [tex]x=\frac{k\pi}{4}[/tex]. Para [tex]k[/tex] impar se tiene [tex]\cos 2x=0[/tex], y para [tex]x=\frac{m\pi}{2}[/tex] con [tex]m[/tex] impar se tiene [tex]\cos x=0[/tex]. Solo quedan [tex]x=k\pi[/tex], que cumplen todas las condiciones.