Ecuaciones trigonométricas - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
Dominio: [tex]\operatorname{sen} x\ne 0[/tex]. Multiplicando por [tex]\operatorname{sen} ^2 x[/tex]:
[tex]3\cos^2 x+8\operatorname{sen} x\cos x+3\operatorname{sen} ^2 x=0\iff 3+4\operatorname{sen} 2x=0\iff\operatorname{sen} 2x=-\frac{3}{4}[/tex]
Sea [tex]\beta=\operatorname{arcsen} \frac{3}{4}[/tex]. Para [tex]x\in\left[0; 2\pi\right][/tex] se tiene [tex]2x\in\left[0; 4\pi\right][/tex], y ahí [tex]\operatorname{sen} 2x=-\frac{3}{4}[/tex] tiene cuatro soluciones:
[tex]2x=\pi+\beta; \ 2\pi-\beta; \ 3\pi+\beta; \ 4\pi-\beta[/tex]
Ninguna de ellas da [tex]\operatorname{sen} x=0[/tex]. Su suma es [tex]10\pi[/tex], así que la suma de las raíces [tex]x[/tex] es [tex]5\pi[/tex].

Solución:
[tex]\cos A=\cos B[/tex] significa [tex]A=\pm B+2k\pi[/tex]. Con el signo más:
[tex]x^2-x+1=x-1+2k\iff x^2-2x+2-2k=0\iff x=1\pm\sqrt{2k-1}[/tex]
([tex]k\ge 1[/tex]). Una raíz negativa exige [tex]\sqrt{2k-1}\gt 1[/tex], es decir, [tex]k\ge 2[/tex]; la mayor de ellas es [tex]1-\sqrt{3}\approx-0{,} 73[/tex] (para [tex]k=2[/tex]). Con el signo menos:
[tex]x^2-x+1=-x+1+2k\iff x^2=2k[/tex]
y la mayor raíz negativa es [tex]-\sqrt{2}\approx-1{,} 41[/tex]. Como [tex]1-\sqrt{3}\gt-\sqrt{2}[/tex], la respuesta es [tex]x=1-\sqrt{3}[/tex].

Solución:
Dominio: [tex]\tan \left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 0[/tex], es decir, [tex]-\frac{\pi}{2}+k\pi\lt x-\frac{\pi}{4}\le k\pi[/tex], de donde [tex]x\in\left(-\frac{\pi}{4}+k\pi; \frac{\pi}{4}+k\pi\right][/tex]. El primer factor se anula para [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex]. Para el segundo factor:
[tex]\operatorname{sen} x+\operatorname{sen} 5x+2\operatorname{sen} 3x=2\operatorname{sen} 3x\cos 2x+2\operatorname{sen} 3x=2\operatorname{sen} 3x(1+\cos 2x)=4\operatorname{sen} 3x\cos^2 x[/tex]
[tex]\cos x=0[/tex] da [tex]x=\frac{\pi}{2}+k\pi[/tex], que no está en el dominio. [tex]\operatorname{sen} 3x=0[/tex] da [tex]x=\frac{k\pi}{3}[/tex]; como [tex]\frac{\pi}{3}\gt\frac{\pi}{4}[/tex], solo [tex]x=k\pi[/tex] está en el dominio.

Solución:
Dominio: [tex]\operatorname{sen} x\ne 0[/tex], [tex]\cos x\ne 0[/tex]. Multiplicando por [tex]\operatorname{sen} x\cos x[/tex]:
[tex]8\operatorname{sen} x\cos^2 x=\sqrt{3}\cos x+\operatorname{sen} x[/tex]
El lado izquierdo es [tex]4\operatorname{sen} 2x\cos x=2(\operatorname{sen} 3x+\operatorname{sen} x)[/tex]. Así,
[tex]2\operatorname{sen} 3x=\sqrt{3}\cos x-\operatorname{sen} x=2\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{3}-x\right)[/tex]
De [tex]\operatorname{sen} 3x=\operatorname{sen} \left(\frac{\pi}{3}-x\right)[/tex]: [tex]3x=\frac{\pi}{3}-x+2k\pi[/tex], es decir, [tex]x=\frac{\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}[/tex]; o [tex]3x=\pi-\frac{\pi}{3}+x+2k\pi[/tex], es decir, [tex]x=\frac{\pi}{3}+k\pi[/tex]. Ambas series están en el dominio.

Solución:
Dominio: [tex]\cos 2x\ne 0[/tex], [tex]\cos 3x\ne 0[/tex]. Multiplicando por [tex]\cos^2 2x\cos 3x[/tex]:
[tex]\operatorname{sen} ^2 2x\cos 3x+2\operatorname{sen} 2x\cos 2x\operatorname{sen} 3x-\cos^2 2x\cos 3x=0\iff\operatorname{sen} 4x\operatorname{sen} 3x-\cos 4x\cos 3x=0\iff\cos 7x=0[/tex]
Entonces [tex]x=\frac{(2k+1)\pi}{14}[/tex], y en [tex]\left[0; \pi\right][/tex] se obtiene [tex]k=0; 1; \dots; 6[/tex] (siete valores). Para [tex]x=\frac{7\pi}{14}=\frac{\pi}{2}[/tex] se tiene [tex]\cos 3x=0[/tex], así que se descarta; para todos los valores [tex]\cos 2x\ne 0[/tex]. Por lo tanto, hay [tex]6[/tex] raíces.

Solución:
Sea [tex]t=\operatorname{sen} x+\cos x=\sqrt{2}\operatorname{sen} \left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex], [tex]|t|\le\sqrt{2}[/tex]. Entonces [tex]\operatorname{sen} x\cos x=\frac{t^2-1}{2}[/tex] y
[tex]\operatorname{sen} ^3 x+\cos^3 x=t(1-\operatorname{sen} x\cos x)=\frac{t\left(3-t^2\right)}{2}[/tex]
La ecuación se convierte en
[tex]2+3t-t^3=3t^2-3\iff t^3+3t^2-3t-5=0\iff(t+1)\left(t^2+2t-5\right)=0[/tex]
Las raíces [tex]t=-1\pm\sqrt{6}[/tex] se descartan, porque [tex]\sqrt{6}-1\approx 1{,} 45\gt\sqrt{2}[/tex] y [tex]-1-\sqrt{6}\lt-\sqrt{2}[/tex]. Así, [tex]\operatorname{sen} \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex]: [tex]x+\frac{\pi}{4}=-\frac{\pi}{4}+2k\pi[/tex] o [tex]x+\frac{\pi}{4}=\frac{5\pi}{4}+2k\pi[/tex], es decir, [tex]x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi[/tex] o [tex]x=\pi+2k\pi[/tex].

Solución:
Dominio: [tex]\operatorname{sen} x\cos x\ne 0[/tex]. El lado izquierdo es [tex]2\operatorname{sen} \left(7x+\frac{\pi}{4}\right)\in\left[-2; 2\right][/tex]. El lado derecho es [tex]t+\frac{1}{t}[/tex] con [tex]t=\tan x[/tex], así que [tex]|\tan x+\cot x|\ge 2[/tex], con igualdad solo para [tex]\tan x=\pm 1[/tex]. Caso [tex]\tan x=1[/tex]: [tex]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex], el lado derecho es [tex]2[/tex], pero [tex]7x+\frac{\pi}{4}=2\pi+7k\pi[/tex] y el lado izquierdo es [tex]0[/tex]; no hay raíces. Caso [tex]\tan x=-1[/tex]: [tex]x=-\frac{\pi}{4}+k\pi[/tex], el lado derecho es [tex]-2[/tex], y se necesita
[tex]\operatorname{sen} \left(7x+\frac{\pi}{4}\right)=\operatorname{sen} \left(-\frac{3\pi}{2}+7k\pi\right)=-1[/tex]
Esto se cumple exactamente para [tex]k=2m+1[/tex] impar, así que [tex]x=-\frac{\pi}{4}+(2m+1)\pi=\frac{3\pi}{4}+2m\pi[/tex].

Solución:
Dominio: [tex]x\ge 0[/tex]. El lado izquierdo es al menos [tex]1[/tex] y el derecho como máximo [tex]1[/tex], así que ambos valen [tex]1[/tex]: [tex]\cos x=1[/tex] y [tex]\operatorname{sen} \sqrt{2x}=0[/tex]. Entonces [tex]x=2k\pi[/tex] con [tex]k\ge 0[/tex] entero, y [tex]\sqrt{2x}=n\pi[/tex], es decir, [tex]x=\frac{n^2\pi^2}{2}[/tex] con [tex]n\ge 0[/tex] entero. Así, [tex]2k\pi=\frac{n^2\pi^2}{2}[/tex], es decir, [tex]4k=n^2\pi[/tex]. Si [tex]n\ne 0[/tex], entonces [tex]\pi=\frac{4k}{n^2}[/tex] sería racional, lo cual es falso. Por lo tanto, [tex]n=k=0[/tex] y la única raíz es [tex]x=0[/tex].

Solución:
El lado izquierdo es [tex]\ge 0[/tex] y el derecho [tex]\le 0[/tex], así que ambos deben valer [tex]0[/tex]:
[tex]\cos 6x=1; \quad\operatorname{sen} (x-a)=-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex]
La primera condición da [tex]x=\frac{k\pi}{3}[/tex]. La segunda da [tex]x-a=-\frac{\pi}{3}+2n\pi[/tex] o [tex]x-a=-\frac{2\pi}{3}+2n\pi[/tex]. Por lo tanto, [tex]a=\frac{(k+1)\pi}{3}-2n\pi[/tex] o [tex]a=\frac{(k+2)\pi}{3}-2n\pi[/tex]: [tex]a[/tex] debe ser un múltiplo entero de [tex]\frac{\pi}{3}[/tex], y todo múltiplo así sirve. En [tex]\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)[/tex] son [tex]-\frac{\pi}{3}; 0; \frac{\pi}{3}[/tex].

Solución:
Como [tex]\operatorname{sen} 2x+\cos 2x-1=2\operatorname{sen} x\cos x-2\operatorname{sen} ^2 x[/tex], la ecuación es
[tex]\operatorname{sen} x(2\cos x-2\operatorname{sen} x-a)=0[/tex]
[tex]\operatorname{sen} x=0[/tex] da las raíces [tex]0[/tex] y [tex]\pi[/tex]. Se necesita exactamente una raíz más de [tex]g(x)=\cos x-\operatorname{sen} x=\frac{a}{2}[/tex], distinta de [tex]0[/tex] y [tex]\pi[/tex]. Como [tex]g(x)=\sqrt{2}\cos\left(x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex], en [tex]\left[0; \frac{3\pi}{4}\right][/tex] decrece de [tex]1[/tex] a [tex]-\sqrt{2}[/tex], y en [tex]\left[\frac{3\pi}{4}; \pi\right][/tex] crece de [tex]-\sqrt{2}[/tex] a [tex]-1[/tex].
Para [tex]-1\lt\frac{a}{2}\lt 1[/tex] hay una raíz nueva. Para [tex]\frac{a}{2}=-1[/tex] las raíces de [tex]g[/tex] son [tex]\frac{\pi}{2}[/tex] y [tex]\pi[/tex], así que de nuevo una raíz nueva. Para [tex]\frac{a}{2}=-\sqrt{2}[/tex] la única raíz nueva es [tex]\frac{3\pi}{4}[/tex]. Para [tex]-\sqrt{2}\lt\frac{a}{2}\lt-1[/tex] hay dos raíces nuevas, para [tex]\frac{a}{2}=1[/tex] solo [tex]x=0[/tex], y en los demás casos ninguna. Por lo tanto, [tex]a\in\left\{-2\sqrt{2}\right\}\cup\left[-2; 2\right)[/tex].

Solución:
Sea [tex]S[/tex] el lado izquierdo ([tex]1010[/tex] sumandos). Si [tex]\operatorname{sen} x=0[/tex], todos los sumandos valen [tex]1[/tex] o todos valen [tex]-1[/tex], así que [tex]S=\pm 1010\ne 0[/tex]. Si [tex]\operatorname{sen} x\ne 0[/tex], multiplicamos por [tex]2\operatorname{sen} x[/tex] y usamos
[tex]2\operatorname{sen} x\cos(2j-1)x=\operatorname{sen} 2jx-\operatorname{sen} (2j-2)x[/tex]
La suma es telescópica:
[tex]2\operatorname{sen} x\times S=\operatorname{sen} 2020x[/tex]
Por lo tanto, [tex]S=0[/tex] exactamente cuando [tex]\operatorname{sen} 2020x=0[/tex] y [tex]\operatorname{sen} x\ne 0[/tex], es decir, [tex]x=\frac{k\pi}{2020}[/tex], donde [tex]k[/tex] no es divisible entre [tex]2020[/tex].

Solución:
En este intervalo [tex]\cos x\ne 0[/tex]. Como
[tex]\tan 3x-\tan x=\frac{\operatorname{sen} 2x}{\cos 3x\cos x}=\frac{2\operatorname{sen} x}{\cos 3x}[/tex]
se tiene [tex]\frac{\operatorname{sen} x}{\cos 3x}=\frac{1}{2}(\tan 3x-\tan x)[/tex]. Del mismo modo [tex]\frac{\operatorname{sen} 3x}{\cos 9x}=\frac{1}{2}(\tan 9x-\tan 3x)[/tex] y [tex]\frac{\operatorname{sen} 9x}{\cos 27x}=\frac{1}{2}(\tan 27x-\tan 9x)[/tex]. La suma es
[tex]\frac{1}{2}(\tan 27x-\tan x)=\frac{\operatorname{sen} 26x}{2\cos x\cos 27x}[/tex]
Así, [tex]\operatorname{sen} 26x=0[/tex], [tex]x=\frac{k\pi}{26}[/tex], y el intervalo da [tex]k=-12; \dots; 12[/tex]. Para estos [tex]k[/tex] los denominadores [tex]\cos 3x[/tex], [tex]\cos 9x[/tex], [tex]\cos 27x[/tex] no se anulan: [tex]\cos 3^m x=0[/tex] exigiría [tex]3^m k=13(2j+1)[/tex], lo cual es imposible para [tex]|k|\lt 13[/tex]. Por lo tanto, los [tex]25[/tex] valores son raíces.