Problemas de trigonometría - sen, cos, tan, cot - problemas difíciles y soluciones

Solución:
[tex]\cos^4x-\sen^4x=(\cos^2x)^2-(\sen^2x)^2[/tex]
[tex]=(\cos^2 x+\sen^2 x)(\cos^2 x-\sen^2 x)[/tex]             [tex]/a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex]

[tex]=\cos^2x-\sen^2x[/tex]         [tex]/\cos^2 x+\sen^2 x = 1[/tex]
[tex]=\cos^2x-(1-\cos^2x)[/tex]         [tex]/\sen^2 x = 1 - \cos^2 x[/tex]

[tex]=2\cos^2x-1[/tex]

Solución:
[tex]tan4\alpha-{\frac{1}{cos4\alpha}}={\frac{tan4\alpha cos4\alpha-1}{cos4\alpha}}={\frac{sen4\alpha-1}{cos4\alpha}}={\frac{2sen2\alpha cos2\alpha-(sen^22\alpha+cos^22\alpha)}{cos^22\alpha-sen^22\alpha}}={\frac{-(cos^22\alpha-sen^22\alpha)^2}{(cos2\alpha-sen2\alpha)(cos2\alpha+sen2\alpha)}}={\frac{sen2\alpha-cos2\alpha}{sen2\alpha+cos2\alpha}}[/tex]

Solución:
[tex]{\frac{1-cos2x}{2}}+cos2x={\frac{1}{4}}; 1+cos2x={\frac{1}{2}}; cos2x=-{\frac{1}{2}}; 2x=2\kappa \pi \pm{\frac{2\pi}{3}}; x=\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{3}}[/tex].

Solución:
[tex]sen5x-cos7x=0; sen5x-sen({\frac{\pi}{2}}-7x)=0; 2sen(6x-{\frac{\pi}{4}})cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0; sen(6x-{\frac{\pi}{4}})cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0[/tex]. [tex]sen(6x-{\frac{\pi}{4}})=0;6x-{\frac{\pi}{4}}=\kappa \pi;x=\kappa{\frac{\pi}{6}}+{\frac{\pi}{24}}[/tex].
[tex]cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0; x-{\frac{\pi}{4}}=2\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{2}}, x=2\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{2}}+{\frac{\pi}{4}}[/tex].

Solución:
Usando [tex]\cos^2 x=1-\operatorname{sen} ^2 x[/tex], se obtiene una ecuación cuadrática en [tex]\operatorname{sen} x[/tex]:
[tex]1-\operatorname{sen} ^2 x+\operatorname{sen} x=\frac{5}{4}\iff 4\operatorname{sen} ^2 x-4\operatorname{sen} x+1=0\iff(2\operatorname{sen} x-1)^2=0[/tex]
Por lo tanto, [tex]\operatorname{sen} x=\frac{1}{2}[/tex], es decir, [tex]x=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex] o [tex]x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}[/tex].

Solución:
[tex]2sen^2x+3sen x \cos x+7\cos ^2x=6(sen^2x+\cos ^2x), 4sen^2x-3sen x \cos x-\cos ^2x=0[/tex] por lo que [tex]\cos x\ne0[/tex]. Entonces divida ambos lados por [tex]\cos ^2x[/tex]
[tex]{\frac{4sen^2x}{\cos ^2x}}-{\frac{3sen x \cos x}{\cos ^2x}}-{\frac{\cos ^2x}{\cos ^2x}}=0; 4\tan ^2x-3\tan x-1=0;\tan x={\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{8}}={\frac{3\pm5}{8}}[/tex].
[tex]a)\tan x =1; x=k\pi +{\frac{\pi}{4}}.[/tex]
[tex]b)\tan x=-{\frac{1}{4}}; x\approx180^{\circ}k-14^{\circ}2'.[/tex]

Solución:
Aplique la fórmula: [tex]sen\alpha cos\beta={\frac{sen(\alpha+\beta)+sen(\alpha-\beta)}{2}}; {\frac{sen4x+sen2x}{2}}={\frac{sen12x+sen2x}{2}}; sie4x=sen12x; sen12x-sen4x=0; 2sen4x cos8x=0[/tex]. a) [tex]sen4x=0; 4x=\kappa\pi; x=\kappa{\frac{\pi}{4}}[/tex]. b)[tex]cos8x=0; 8x=2\kappa\pi\pm{\frac{\pi}{2}}; x=\kappa{\frac{\pi}{4}}\pm{\frac{x}{16}}[/tex].

Solución:
Usaremos fórmulas que expresan el [tex]sen x[/tex] y [tex]cos x[/tex] en función de la [tex]tan{\frac{x}{2}}[/tex]. Tenemos que resolver la ecuación cuadrática para [tex]tan{\frac{x}{2}}[/tex]: [tex]3{\frac{1-tg^2{\frac{x}{2}}}{1+tan^2{\frac{x}{2}}}}+2\sqrt{3}\cdot{\frac{2tan{\frac{x}{2}}}{1+tan^2{\frac{x}{2}}}}={\frac{9}{2}}; 15tan^2{\frac{x}{2}}-8\sqrt{3}tan{\frac{x}{2}}+3=0[/tex]. a)[tex]tan{\frac{\sqrt{3}}{3}}; {\frac{x}{2}}=\kappa\pi+{\frac{\pi}{6}}; x=2\kappa\pi+{\frac{\pi}{3}}[/tex]. b)[tex]tan{\frac{x}{2}}={\frac{\sqrt{3}}{5}}; {\frac{x}{2}}\approx180^{\circ}\kappa+13^{\circ}; x\approx360^{\circ}\kappa+26^{\circ}[/tex].

Solución:
Usemos la fórmula [tex]sen\alpha cos\alpha={\frac{sen2\alpha}{2}}; {\frac{sen2x}{2}}cos2x={\frac{1}{8}}; sen2x cos2x={\frac{1}{4}}[/tex]. Usando [tex]sen\alpha cos\alpha={\frac{sen2\alpha}{2}}[/tex] de nuevo obtenemos: [tex]{\frac{sen4x}{2}}={\frac{1}{4}}; sen4x={\frac{1}{2}}; 4x=n\pi+(-1)^n{\frac{\pi}{24}}[/tex].

Solución:
Agregar al lado izquierdo de la ecuación [tex]2sen^2x cos^2x[/tex] y [tex]-2sen^2x cos^2x[/tex]:
[tex]sen^4x+2sen^2cos^2x+2cos^4x-2sen^2x cos^2x={\frac{5}{8}}; 1-2\cdot({\frac{sen2x}{2}})^2={\frac{5}{8}}; {\frac{sen^22x}{2}}={\frac{3}{8}}; sen^22x={\frac{3}{4}}; sen2x=\pm{\frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex].
[tex]sen2x={\frac{\sqrt{3}}{2}}; 2x=n\pi+(-1)^2{\frac{\pi}{3}}; x=n{\frac{\pi}{2}}+(-1)^n{\frac{\pi}{6}}[/tex].

Solución:
Si [tex]cos x=0[/tex] entonces [tex]sen x =0[/tex]. Pero [tex]sen x[/tex] y [tex]cos x[/tex] no pueden ser cero al mismo tiempo. Dividimos ambos lados de la ecuación por [tex]cos x[/tex]:[tex]{\frac{sen x}{cos x}}-{\frac{cos x}{sen x}}=0;tan x=1; x=\kappa \pi+{\frac{\pi}{4}}[/tex]

Solución:
Dividamos el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación por [tex]\sqrt{2}[/tex]: [tex]{\frac{1}{\sqrt{2}}}sen x+{\frac{1}{\sqrt{2}}}cos x=sen5x; cos{\frac{\pi}{4}}sen x+sen{\frac{\pi}{4}}cos x=sen5x; sen(x+{\frac{\pi}{4}})=sen5x; sen5x-sen(x+{\frac{\pi}{4}})=0; 2sen(2x-{\frac{\pi}{8}})cos(3x+{\frac{\pi}{8}})=0[/tex].
[tex]sen(2x-{\frac{\pi}{8}})=0; 2x-{\frac{\pi}{8}}=n\pi; x=n{\frac{\pi}{2}}+{\frac{\pi}{16}}[/tex].

Solución:
Transformamos el lado izquierdo de la ecuación [tex]sen3x=sen({\frac{\pi}{2}}-2x)[/tex]. Entonces [tex]3x-({\frac{\pi}{2}}-2x)=2\kappa\pi[/tex] y [tex]3x+({\frac{\pi}{2}}-2x)=(2\kappa+1)\pi[/tex]. Así que [tex]x={\frac{2\kappa\pi}{5}}+{\frac{\pi}{10}}[/tex] y [tex]x=(2\kappa+1)\pi-{\frac{\pi}{2}}[/tex].

Solución:
[tex]tan3x=tan({\frac{\pi}{2}}-2x)\cdot 3x-({\frac{\pi}{2}}-2x)=\kappa\pi; 5x=\kappa\pi+{\frac{\pi}{2}}; x=\kappa{\frac{\pi}{5}}+{\frac{\pi}{10}}[/tex].

Solución:
La función [tex]\cos x[/tex] decrece en [tex]\left[0; \pi\right][/tex] y crece en [tex]\left[\pi; 2\pi\right][/tex]. La función [tex]-\cos x[/tex] hace lo contrario, y sumar [tex]-1[/tex] no cambia la monotonía. Así, [tex]f[/tex] crece en [tex]\left[0; \pi\right][/tex] y decrece en [tex]\left[\pi; 2\pi\right][/tex]. En [tex]\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right][/tex] y [tex]\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right][/tex] cambia de sentido (en [tex]0[/tex] y en [tex]\pi[/tex]), así que ahí no es creciente.

Solución:
Una función es impar si su dominio es simétrico respecto de [tex]0[/tex] y [tex]f(-x)=-f(x)[/tex]. Para [tex]f(x)=\frac{1-\cos 5x}{x}[/tex] el dominio es [tex]x\ne 0[/tex] y, como el coseno es par,
[tex]f(-x)=\frac{1-\cos(-5x)}{-x}=-\frac{1-\cos 5x}{x}=-f(x)[/tex]
Las otras tres funciones no son ni pares ni impares; por ejemplo, para [tex]y=\operatorname{sen} (x+1)[/tex] se tiene [tex]y(-1)=0[/tex], pero [tex]y(1)=\operatorname{sen} 2\ne 0[/tex].

Solución:
Usamos
[tex]\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}[/tex]
La función [tex]\cos 2x[/tex] tiene período principal [tex]\frac{2\pi}{2}=\pi[/tex], así que [tex]y[/tex] tiene período [tex]\pi[/tex]. No hay un período positivo menor: [tex]y=1[/tex] solo en [tex]x=k\pi[/tex], y los puntos vecinos de este tipo distan [tex]\pi[/tex]. El número [tex]2\pi[/tex] también es un período, pero no el principal.

Solución:
Como [tex]\cos^2 x\le 1[/tex], se tiene [tex]y\le-2[/tex]. El valor máximo [tex]-2[/tex] se alcanza cuando [tex]\cos^2 x=1[/tex], es decir, [tex]\cos x=\pm 1[/tex], de donde [tex]x=k\pi[/tex]. En [tex]\left[0; 3\pi\right][/tex] son [tex]0; \pi; 2\pi; 3\pi[/tex], así que hay [tex]4[/tex] valores.

Solución:
Escribimos
[tex]\operatorname{sen} (2x+1)=\operatorname{sen} 2\left(x+\frac{1}{2}\right)[/tex]
Si [tex]g(x)=\operatorname{sen} 2x[/tex], entonces [tex]y=g\left(x+\frac{1}{2}\right)[/tex]. La gráfica de [tex]g(x+a)[/tex] con [tex]a\gt 0[/tex] es la gráfica de [tex]g[/tex] desplazada [tex]a[/tex] unidades a la izquierda. Así que la gráfica se desplaza [tex]\frac{1}{2}[/tex] (no [tex]1[/tex]) a la izquierda, y [tex]m=-\frac{1}{2}[/tex].

Solución:
Por la fórmula del seno del ángulo triple, [tex]\operatorname{sen} 3x=3\operatorname{sen} x-4\operatorname{sen} ^3 x[/tex], así que [tex]y=\operatorname{sen} 3x[/tex]. Cuando [tex]x[/tex] recorre todos los números reales, también lo hace [tex]3x[/tex], por lo que [tex]y[/tex] toma todos los valores de [tex]-1[/tex] a [tex]1[/tex]: el conjunto de valores es [tex]\left[-1; 1\right][/tex].

Solución:
El número [tex]2\pi[/tex] es período de [tex]\operatorname{sen} x[/tex] y de [tex]\tan x[/tex], así que es período de [tex]y[/tex]. Escribimos
[tex]y=\frac{\operatorname{sen} x(1+\cos x)}{\cos x}[/tex]
Sus ceros son [tex]x=k\pi[/tex]. Si [tex]T[/tex] es un período, entonces [tex]y(T)=y(0)=0[/tex], así que [tex]T[/tex] es un cero; un período positivo menor solo podría ser [tex]\pi[/tex]. Pero [tex]y\left(\frac{\pi}{4}\right)=1+\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] y [tex]y\left(\frac{5\pi}{4}\right)=1-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] son distintos. Por lo tanto, el período principal es [tex]2\pi[/tex].

Solución:
[tex]2\cos^2 x+\operatorname{sen} 2x=1+\cos 2x+\operatorname{sen} 2x=1+\sqrt{2}\operatorname{sen} \left(2x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex]
El seno toma todos los valores de [tex]\left[-1; 1\right][/tex], así que el conjunto de valores es [tex]\left[1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}\right][/tex].

Solución:
Usando [tex]2\operatorname{sen} A\cos B=\operatorname{sen} (A+B)+\operatorname{sen} (A-B)[/tex]:
[tex]y=2\left(\operatorname{sen} 2\alpha+\operatorname{sen} \frac{\pi}{3}\right)=2\operatorname{sen} 2\alpha+\sqrt{3}[/tex]
Para [tex]\alpha\in\left(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}\right)[/tex] se tiene [tex]2\alpha\in\left(-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}\right)[/tex]. Ahí [tex]\operatorname{sen} 2\alpha[/tex] toma todos los valores de [tex]\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right][/tex]: el valor [tex]1[/tex] se alcanza en [tex]2\alpha=\frac{\pi}{2}[/tex], y [tex]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] no se alcanza. Por lo tanto, [tex]y\in\left(0; 2+\sqrt{3}\right][/tex].