Problemas de trigonometría - sen, cos, tan, cot - problemas y soluciones

Solución:
$\cos^4x-\sen^4x=(\cos^2x)^2-(\sen^2x)^2$
$=(\cos^2 x+\sen^2 x)(\cos^2 x-\sen^2 x)$             $/a^2-b^2=(a+b)(a-b)$

$=\cos^2x-\sen^2x$         $/\cos^2 x+\sen^2 x = 1$
$=\cos^2x-(1-\cos^2x)$         $/\sen^2 x = 1 - \cos^2 x$

$=2\cos^2x-1$

Solución:
[tex]tan4\alpha-{\frac{1}{cos4\alpha}}={\frac{tan4\alpha cos4\alpha-1}{cos4\alpha}}={\frac{sen4\alpha-1}{cos4\alpha}}={\frac{2sen2\alpha cos2\alpha-(sen^22\alpha+cos^22\alpha)}{cos^22\alpha-sen^22\alpha}}={\frac{-(cos^22\alpha-sen^22\alpha)^2}{(cos2\alpha-sen2\alpha)(cos2\alpha+sen2\alpha)}}={\frac{sen2\alpha-cos2\alpha}{sen2\alpha+cos2\alpha}}[/tex]

Solución:
[tex]{\frac{1-cos2x}{2}}+cos2x={\frac{1}{4}}; 1+cos2x={\frac{1}{2}}; cos2x=-{\frac{1}{2}}; 2x=2\kappa \pi \pm{\frac{2\pi}{3}}; x=\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{3}}[/tex].

Solución:
[tex]sen5x-cos7x=0; sen5x-sen({\frac{\pi}{2}}-7x)=0; 2sen(6x-{\frac{\pi}{4}})cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0; sen(6x-{\frac{\pi}{4}})cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0[/tex]. [tex]sen(6x-{\frac{\pi}{4}})=0;6x-{\frac{\pi}{4}}=\kappa \pi;x=\kappa{\frac{\pi}{6}}+{\frac{\pi}{24}}[/tex].
[tex]cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0; x-{\frac{\pi}{4}}=2\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{2}}, x=2\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{2}}+{\frac{\pi}{4}}[/tex].

Solución:
[tex]\cos^2x = 1-sen^2x[/tex], obtenemos una ecuación cuadrática en [tex]sen x[/tex]:
[tex]1-sen^2x+sen x={\frac{5}{4}}[/tex]
[tex]4sen^2x-4sen x+1=0[/tex]
[tex](2sen x-1)^2=0[/tex]
[tex]2sen x-1=0[/tex]
[tex]sen x={\frac{1}{2}}[/tex]
[tex]x=n\pi+(-1)^n{\frac{\pi}{6}}[/tex]

Solución:
[tex]2sen^2x+3sen x cos x+7cos^2x=6(sen^2x+cos^2x), 4sen^2x-3sen x cos x-cos^2x=0[/tex] por lo que [tex]cos x\ne0[/tex]. Entonces divida ambos lados por [tex]cos^2x[/tex]
[tex]{\frac{4sen^2x}{cos^2x}}-{\frac{3sen x cos x}{cos^2x}}-{\frac{cos^2x}{cos^2x}}=0; 4tan^2x-3tg x-1=0;tan x={\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{8}}={\frac{3\pm5}{8}}[/tex].
a)[tex]tan x =1; x=\kappa \pi \pm+{\frac{\pi}{4}}[/tex].
b)[tex]tan x=-{\frac{1}{4}}; x\approx180^{\circ}\kappa-13^{\circ}30\prime[/tex].

Solución:
Aplique la fórmula: [tex]sen\alpha cos\beta={\frac{sen(\alpha+\beta)+sen(\alpha-\beta)}{2}}; {\frac{sen4x+sen2x}{2}}={\frac{sen12x+sen2x}{2}}; sie4x=sen12x; sen12x-sen4x=0; 2sen4x cos8x=0[/tex]. a) [tex]sen4x=0; 4x=\kappa\pi; x=\kappa{\frac{\pi}{4}}[/tex]. b)[tex]cos8x=0; 8x=2\kappa\pi\pm{\frac{\pi}{2}}; x=\kappa{\frac{\pi}{4}}\pm{\frac{x}{16}}[/tex].

Solución:
Usaremos fórmulas que expresan el [tex]sen x[/tex] y [tex]cos x[/tex] en función de la [tex]tan{\frac{x}{2}}[/tex]. Tenemos que resolver la ecuación cuadrática para [tex]tan{\frac{x}{2}}[/tex]: [tex]3{\frac{1-tg^2{\frac{x}{2}}}{1+tan^2{\frac{x}{2}}}}+2\sqrt{3}\cdot{\frac{2tan{\frac{x}{2}}}{1+tan^2{\frac{x}{2}}}}={\frac{9}{2}}; 15tan^2{\frac{x}{2}}-8\sqrt{3}tan{\frac{x}{2}}+3=0[/tex]. a)[tex]tan{\frac{\sqrt{3}}{3}}; {\frac{x}{2}}=\kappa\pi+{\frac{\pi}{6}}; x=2\kappa\pi+{\frac{\pi}{3}}[/tex]. b)[tex]tan{\frac{x}{2}}={\frac{\sqrt{3}}{5}}; {\frac{x}{2}}\approx180^{\circ}\kappa+13^{\circ}; x\approx360^{\circ}\kappa+26^{\circ}[/tex].

Solución:
Usemos la fórmula [tex]sen\alpha cos\alpha={\frac{sen2\alpha}{2}}; {\frac{sen2x}{2}}cos2x={\frac{1}{8}}; sen2x cos2x={\frac{1}{4}}[/tex]. Usando [tex]sen\alpha cos\alpha={\frac{sen2\alpha}{2}}[/tex] de nuevo obtenemos: [tex]{\frac{sen4x}{2}}={\frac{1}{4}}; sen4x={\frac{1}{2}}; 4x=n\pi+(-1)^n{\frac{\pi}{24}}[/tex].

Solución:
Agregar al lado izquierdo de la ecuación [tex]2sen^2x cos^2x[/tex] y [tex]-2sen^2x cos^2x[/tex]:
[tex]sen^4x+2sen^2cos^2x+2cos^4x-2sen^2x cos^2x={\frac{5}{8}}; 1-2\cdot({\frac{sen2x}{2}})^2={\frac{5}{8}}; {\frac{sen^22x}{2}}={\frac{3}{8}}; sen^22x={\frac{3}{4}}; sen2x=\pm{\frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex].
[tex]sen2x={\frac{\sqrt{3}}{2}}; 2x=n\pi+(-1)^2{\frac{\pi}{3}}; x=n{\frac{\pi}{2}}+(-1)^n{\frac{\pi}{6}}[/tex].

Solución:
Si [tex]cos x=0[/tex] entonces [tex]sen x =0[/tex]. Pero [tex]sen x[/tex] y [tex]cos x[/tex] no pueden ser cero al mismo tiempo. Dividimos ambos lados de la ecuación por [tex]cos x[/tex]:[tex]{\frac{sen x}{cos x}}-{\frac{cos x}{sen x}}=0;tan x=1; x=\kappa \pi+{\frac{\pi}{4}}[/tex]

Solución:
Dividamos el lado izquierdo y el lado derecho de la ecuación por [tex]\sqrt{2}[/tex]: [tex]{\frac{1}{\sqrt{2}}}sen x+{\frac{1}{\sqrt{2}}}cos x=sen5x; cos{\frac{\pi}{4}}sen x+sen{\frac{\pi}{4}}cos x=sen5x; sen(x+{\frac{\pi}{4}})=sen5x; sen5x-sen(x+{\frac{\pi}{4}})=0; 2sen(2x-{\frac{\pi}{8}})cos(3x+{\frac{\pi}{8}})=0[/tex].
[tex]sen(2x-{\frac{\pi}{8}})=0; 2x-{\frac{\pi}{8}}=n\pi; x=n{\frac{\pi}{2}}+{\frac{\pi}{16}}[/tex].

Solución:
Transformamos el lado izquierdo de la ecuación [tex]sen3x=sen({\frac{\pi}{2}}-2x)[/tex]. Entonces [tex]3x-({\frac{\pi}{2}}-2x)=2\kappa\pi[/tex] y [tex]3x+({\frac{\pi}{2}}-2x)=(2\kappa+1)\pi[/tex]. Así que [tex]x={\frac{2\kappa\pi}{5}}+{\frac{\pi}{10}}[/tex] y [tex]x=(2\kappa+1)\pi-{\frac{\pi}{2}}[/tex].

Solución:
[tex]tan3x=tan({\frac{\pi}{2}}-2x)\cdot 3x-({\frac{\pi}{2}}-2x)=\kappa\pi; 5x=\kappa\pi+{\frac{\pi}{2}}; x=\kappa{\frac{\pi}{5}}+{\frac{\pi}{10}}[/tex].