Problemas de trigonometría - sen, cos, tan, cot - problemas y soluciones

Solución:
[tex]x+y+z=\pi[/tex], por lo tanto [tex]{\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}}={\frac{\pi}{2}}-{\frac{z}{2}}; {\frac{z}{2}}={\frac{\pi}{2}}-({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})[/tex]. Debido a que [tex]cot\alpha={\frac{1}{tan\alpha}}[/tex], obtenemos [tex]cot\alpha={\frac{cos\alpha}{sen\alpha}}[/tex]. Entonces [tex]cot{\frac{x}{2}}+cot{\frac{y}{2}}+cot{\frac{z}{2}}={\frac{cos{\frac{x}{2}}}{sen{\frac{x}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{y}{2}}}{sen{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sen{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}+cos{\frac{y}{2}}sen{\frac{x}{2}}}{sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sen{\frac{z}{2}}}}={\frac{sen({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})}{sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sen{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sen{\frac{z}{2}}}}=cos{\frac{z}{2}}\cdot{\frac{sen{\frac{z}{2}}+sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}}{sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}sen{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sen{\frac{z}{2}}}}\cdot{\frac{cos({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})+sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}}{sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sen{\frac{z}{2}}}}\cdot{\frac{cos{\frac{x}{2}}cos{\frac{y}{2}}}{sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}}}=cot{\frac{x}{2}}cot{\frac{y}{2}}cot{\frac{z}{2}}[/tex].

Solución:
5cosA +12senA + 12 = 13(5/13 cosA +12/13senA) + 12
Ahora, para cualquier valor de B podemos obtener senB = 5/13 y podemos reemplazar cosB = 12/13.
Vemos que nuestra suposición es correcta porque satisfacemos la condición sen^2B + cos^2B = 1 por lo tanto obtenemos 13(senBcosA +cosBsenA) + 12 =13(sen(A+B))+12.
Por eso sabemos que el valor mínimo de senx=-1 y el mayor es 1. El mayor valor es cuando sen(A + B) = 1 entonces el valor de la expresión se convierte en 13,1 + 12 = 25

Solución:
5cosA +12senA + 12 = 13(5/13 cosA +12/13senA) + 12
Ahora, para cualquier valor de B podemos obtener senB =5/13 y podemos reemplazar cosB = 12/13.
Vemos que nuestra suposición es correcta porque satisfacemos la condición sen^2B + cos^2B=1 así que obtenemos 13(senBcosA +cosBsenA) + 12 =13(sen(A+B))+12. Por eso sabemos que el valor mínimo de senx=-1 y el mayor es 1 por lo que el menor valor de la expresión llega cuando sen(A+B) =-1 entonces el valor de todo el término se convierte en 13.(-1) + 12 = -13 +12 = -1

Solución:
[tex]sen A = 1 - sen^2 A[/tex]
[tex]sen A = \cos^2 A[/tex]
[tex]sen^2 A = \cos^4 A[/tex]
[tex]1 - \cos ^2 A = \cos^4 A[/tex]
[tex]1 = \cos^4 A + \cos^2 A[/tex]
[tex]1^3 = (\cos^4 A + \cos^2 A)^3[/tex] por la fórmula [tex](a+b)^3[/tex]
[tex]1 = \cos^{12} A + 3 \cos^{10} A +3 \cos^8 A + \cos^6 A [/tex]
Pasamos 1 al otro lado, obtenemos la condición como se indica en la pregunta. Comparando las variables obtenemos [tex]a = 1[/tex], [tex]b = 3[/tex], [tex]c = 3[/tex], [tex]d = 1[/tex] de ahí el valor de [tex]b +\frac{c}{a}+b = \frac{3 + 3}{1 + 1} = \frac{6}{2} = 3[/tex]