Problemas de trigonometría - sen, cos, tan, cot - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
[tex]x+y+z=\pi[/tex], por lo tanto [tex]{\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}}={\frac{\pi}{2}}-{\frac{z}{2}}; {\frac{z}{2}}={\frac{\pi}{2}}-({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})[/tex]. Debido a que [tex]cot\alpha={\frac{1}{tan\alpha}}[/tex], obtenemos [tex]cot\alpha={\frac{cos\alpha}{sen\alpha}}[/tex]. Entonces [tex]cot{\frac{x}{2}}+cot{\frac{y}{2}}+cot{\frac{z}{2}}={\frac{cos{\frac{x}{2}}}{sen{\frac{x}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{y}{2}}}{sen{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sen{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}+cos{\frac{y}{2}}sen{\frac{x}{2}}}{sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sen{\frac{z}{2}}}}={\frac{sen({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})}{sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sen{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sen{\frac{z}{2}}}}=cos{\frac{z}{2}}\cdot{\frac{sen{\frac{z}{2}}+sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}}{sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}sen{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sen{\frac{z}{2}}}}\cdot{\frac{cos({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})+sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}}{sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sen{\frac{z}{2}}}}\cdot{\frac{cos{\frac{x}{2}}cos{\frac{y}{2}}}{sen{\frac{x}{2}}sen{\frac{y}{2}}}}=cot{\frac{x}{2}}cot{\frac{y}{2}}cot{\frac{z}{2}}[/tex].

Solución:
[tex]5\cos A + 12\sen A + 12 = 13\left(\frac{5}{13}\cos A + \frac{12}{13}\sen A\right) + 12[/tex]
Como [tex]\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1[/tex], existe un ángulo [tex]B[/tex] con [tex]\sen B = \frac{5}{13}[/tex] y [tex]\cos B = \frac{12}{13}[/tex]. Entonces
[tex]5\cos A + 12\sen A + 12 = 13(\sen B\cos A + \cos B\,\sen A) + 12 = 13\sen(A+B) + 12[/tex]
Como [tex]-1 \le \sen(A+B) \le 1[/tex], el valor máximo es [tex]13 \times 1 + 12 = 25[/tex]

Solución:
[tex]5\cos A + 12\sen A + 12 = 13\left(\frac{5}{13}\cos A + \frac{12}{13}\sen A\right) + 12[/tex]
Como [tex]\left(\frac{5}{13}\right)^2 + \left(\frac{12}{13}\right)^2 = 1[/tex], existe un ángulo [tex]B[/tex] con [tex]\sen B = \frac{5}{13}[/tex] y [tex]\cos B = \frac{12}{13}[/tex]. Entonces
[tex]5\cos A + 12\sen A + 12 = 13(\sen B\cos A + \cos B\,\sen A) + 12 = 13\sen(A+B) + 12[/tex]
Como [tex]-1 \le \sen(A+B) \le 1[/tex], el valor mínimo es [tex]13 \times (-1) + 12 = -1[/tex]

Solución:
De la condición
[tex]\operatorname{sen} A=1-\operatorname{sen} ^2 A=\cos^2 A\;\Rightarrow\;\cos^4 A=\operatorname{sen} ^2 A\;\Rightarrow\;\cos^2 A+\cos^4 A=\operatorname{sen} A+\operatorname{sen} ^2 A=1[/tex]
La expresión dada es un cubo perfecto:
[tex]\cos^{12}A+3\cos^{10}A+3\cos^8 A+\cos^6 A=\left(\cos^4 A+\cos^2 A\right)^3=1^3=1[/tex]

Solución:
Como [tex]\frac{7\pi}{16}=\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{16}[/tex] y [tex]\frac{5\pi}{16}=\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{16}[/tex], se tiene [tex]\operatorname{sen} \frac{7\pi}{16}=\cos\frac{\pi}{16}[/tex] y [tex]\operatorname{sen} \frac{5\pi}{16}=\cos\frac{3\pi}{16}[/tex]. Para todo [tex]t[/tex]:
[tex]\operatorname{sen} ^4 t+\cos^4 t=1-2\operatorname{sen} ^2 t\cos^2 t=1-\frac{1}{2}\operatorname{sen} ^2 2t[/tex]
Por lo tanto, la suma es igual a
[tex]2-\frac{1}{2}\left(\operatorname{sen} ^2\frac{\pi}{8}+\operatorname{sen} ^2\frac{3\pi}{8}\right)=2-\frac{1}{2}=\frac{3}{2}[/tex]
porque [tex]\operatorname{sen} \frac{3\pi}{8}=\cos\frac{\pi}{8}[/tex] y el paréntesis es igual a [tex]1[/tex].

Solución:
Sea [tex]s=\operatorname{sen} x\in\left[-1; 1\right][/tex]. Usando [tex]\operatorname{sen} 3x=3s-4s^3[/tex] y [tex]\cos 2x=1-2s^2[/tex]:
[tex]f=-4s^3-8s^2+11s-3=-(2s-1)^2(s+3)[/tex]
Para [tex]s\ge-1[/tex] se tiene [tex](2s-1)^2\ge 0[/tex] y [tex]s+3\gt 0[/tex], así que [tex]f\le 0[/tex]. La igualdad se da para [tex]s=\frac{1}{2}[/tex], por ejemplo en [tex]x=\frac{\pi}{6}[/tex]. Por lo tanto, el valor máximo es [tex]0[/tex].

Solución:
Sea [tex]c=\cos x\in\left[-1; 1\right][/tex]. Entonces
[tex]\operatorname{sen} ^2 x-2\cos x-1=-c^2-2c=1-(c+1)^2[/tex]
que toma todos los valores de [tex]\left[-3; 1\right][/tex]. Se necesita [tex]ku\le 3[/tex] para todo [tex]u\in\left[-3; 1\right][/tex]. Como [tex]ku[/tex] es lineal en [tex]u[/tex], basta comprobar los extremos: [tex]u=1[/tex] da [tex]k\le 3[/tex], y [tex]u=-3[/tex] da [tex]-3k\le 3[/tex], es decir, [tex]k\ge-1[/tex]. Por lo tanto, [tex]k\in\left[-1; 3\right][/tex].

Solución:
Un número [tex]m[/tex] es un valor de [tex]y[/tex] exactamente cuando la ecuación [tex]m(3+\operatorname{sen} x)=\sqrt{3}\cos x+1[/tex] tiene solución, es decir,
[tex]\sqrt{3}\cos x-m\operatorname{sen} x=3m-1[/tex]
Una ecuación [tex]a\cos x+b\operatorname{sen} x=c[/tex] tiene solución exactamente cuando [tex]c^2\le a^2+b^2[/tex]. Así que
[tex](3m-1)^2\le 3+m^2\iff 8m^2-6m-2\le 0\iff(4m+1)(m-1)\le 0[/tex]
Por lo tanto, [tex]m\in\left[-\frac{1}{4}; 1\right][/tex].

Solución:
Por las fórmulas de Vieta, [tex]\tan \alpha+\tan \beta=-p[/tex] y [tex]\tan \alpha\tan \beta=q[/tex]. Si [tex]q=1[/tex], entonces [tex]\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta(1-\tan \alpha\tan \beta)=0[/tex] y la expresión es igual a [tex]\operatorname{sen} ^2(\alpha+\beta)=1=q[/tex]. Si [tex]q\ne 1[/tex], sea
[tex]t=\tan (\alpha+\beta)=\frac{-p}{1-q}=\frac{p}{q-1}[/tex]
Como [tex]\cos^2(\alpha+\beta)=\frac{1}{1+t^2}[/tex], la expresión es igual a [tex]\frac{t^2+pt+q}{1+t^2}[/tex]. Sustituimos [tex]t[/tex] y multiplicamos numerador y denominador por [tex](q-1)^2[/tex]:
[tex]\frac{p^2+p^2(q-1)+q(q-1)^2}{(q-1)^2+p^2}=\frac{q\left(p^2+(q-1)^2\right)}{p^2+(q-1)^2}=q[/tex]

Solución:
Como [tex]|\operatorname{sen} x|\le 1[/tex], toda raíz cumple [tex]|x|\le 13[/tex]. Ambos lados son funciones impares, así que las raíces son simétricas respecto de [tex]0[/tex], y [tex]x=0[/tex] es raíz. Sea [tex]x\gt 0[/tex] y [tex]h(x)=\operatorname{sen} x-\frac{x}{13}[/tex].
En [tex]\left[0; \pi\right][/tex] la función [tex]h[/tex] es cóncava, [tex]h(0)=0[/tex], [tex]h'(0)=\frac{12}{13}\gt 0[/tex] y [tex]h(\pi)\lt 0[/tex], así que hay exactamente una raíz en [tex]\left(0; \pi\right)[/tex]. En [tex]\left[\pi; 2\pi\right][/tex] y [tex]\left[3\pi; 4\pi\right][/tex] se tiene [tex]\operatorname{sen} x\le 0\lt\frac{x}{13}[/tex], así que no hay raíces. En [tex]\left[2\pi; 3\pi\right][/tex] la función [tex]h[/tex] es cóncava, negativa en ambos extremos y [tex]h\left(\frac{5\pi}{2}\right)=1-\frac{5\pi}{26}\gt 0[/tex], así que hay exactamente dos raíces. En [tex]\left(4\pi; 13\right][/tex]:
[tex]\operatorname{sen} x\le\operatorname{sen} (13-4\pi)\lt\operatorname{sen} \frac{\pi}{6}=\frac{1}{2}\lt\frac{4\pi}{13}\lt\frac{x}{13}[/tex]
así que ahí no hay raíces. Por lo tanto, hay [tex]3[/tex] raíces positivas, [tex]3[/tex] negativas y [tex]x=0[/tex]: [tex]7[/tex] soluciones en total.