Problemas sobre progresiones geométricas - problemas difíciles y soluciones

Solución:
[tex]\begin{array}{|l}a_1r^3-a_1r=18\\a_1r^4-a_1r^2=36\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}a_1r(r^2-1)=18\\a_1r^2(r^2-1)=36\end{array}[/tex]
Dividiéndolos, obtenemos [tex]\frac{a_1r^2(r^2-1)}{a_1r(r^2-1)}=\frac{36}{18}[/tex], o [tex]r=2[/tex]. Sustituyendo en la primera ecuación:
[tex]a_1\cdot 8-a_1\cdot 2=18[/tex]
[tex]a_1=3[/tex]
[tex]a_3=a_1r^2=3\cdot 4=12[/tex]

Solución:
[tex]a_6=a_1 \cdot r^5=15\cdot (-4)^5=-15\cdot 1024=-15360[/tex]

Solución:
[tex]S_{10}=a_1\frac{1-r^{10}}{1-r}=2\cdot\frac{1-(-2)^{10}}{1-(-2)}=-2 \times \frac{1023}{3}=-2\cdot 341=-682[/tex]

Solución:
Definamos la progresión geométrica [tex]{a_n}[/tex]: [tex]a_1=7[/tex] y [tex]r=7[/tex]. Necesitamos encontrar [tex]S_5=a_1 \times \frac{r^5-1}{r-1}=7 \times \frac{7^5-1}{7-1}=7 \times \frac{16806}{6}=7\cdot 2801=19607[/tex]

Solución:
[tex]a_4=-\sqrt{a_7 \times a_1}[/tex], dado que [tex]4=\frac{7+1}{2}[/tex] y la progresión es alterna. Entonces [tex]a_4=-\sqrt{5 \times 405}=-\sqrt{5 \times 5 \times 81}=-5 \times 9=-45[/tex]

Solución:
Necesitamos determinar el valor del producto [tex]a_1a_2a_3a_4a_5a_6a_7=(a_1a_7)(a_2a_6) (a_3a_5)a_4=a_4^2a_4^2a_4^2a_4=a_4^{7}=(a_1\cdot r^3)^7=(\frac{2}{11^3} \times 11^3)^7=2^7=128[/tex]

Solución:
La fórmula para la suma de una serie geométrica infinita es [tex]S=a_1 \times \frac{1}{1-r}[/tex]. Dado que [tex]a_n=(\frac{1}{3})^n, r=\frac{1}{3}[/tex] y [tex]a_1=6 \times \frac{1}{3}[/tex]. Entonces [tex]S=6 \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{1-\frac{1}{3}}=6 \times \frac{1}{3-1}=6 \times \frac{1}{2}=3[/tex]

Solución:
[tex]a_n=\frac{2^n}{3\cdot 3^n}=\frac{1}{3} \times (\frac{2}{3})^n[/tex]. Entonces [tex]a_1=\frac{2}{9}[/tex] y [tex]r=\frac{2}{3}[/tex].
La suma infinita es [tex]S=a_1 \times \frac{1}{1-r}=\frac{2}{9} \times \frac{1}{1-\frac{2}{3}}=\frac{2}{9} \times \frac{1}{\frac{1}{3}}=\frac{2}{3}[/tex]

Solución:
[tex]a_1=\frac{2\cdot 3^1}{5}=\frac{6}{5}[/tex]. Obviamente la razón común [tex]r=3[/tex]. Entonces [tex]S_{4}=\frac{a_1} \times \frac{1-r^{4}}{1-r}=\frac{6}{5} \times \frac{1-3^4}{1-3}=\frac{6}{5} \times \frac{80}{2}=48[/tex]

Solución:
Denotemos el primer término con [tex]a_1[/tex].
Sabemos que [tex]S=a_1 \times \frac{1}{1-r}[/tex], de tal manera que [tex]1-r=\frac{a_1}{S}[/tex], o [tex]r=1-\frac{a_1}{S}=1-\frac{4}{7}=\frac{3}{7}[/tex]

Solución:
Sea [tex]a_1[/tex] el primer término.
De [tex]S=a_1 \times \frac{1}{1-r}[/tex], tenemos [tex]1-r=\frac{a_1}{S}[/tex], o [tex]r=1-\frac{a_1}{S}=1-\frac{9}{15}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}[/tex]

Solución:
[tex]S_4=a_1 \times \frac{r^4-1}{r-1}[/tex], por lo tanto [tex]\frac{r^4-1}{r-1}=40[/tex], o [tex]r^4-1=40r-40[/tex]
[tex]r^4-40r+39=0[/tex]. Pero [tex]r^4-40r+39=r^4-r-39r+39=r(r^3-1)-39(r-1)=r(r-1)(r^2+r+1)-39(r-1)=(r-1)(r^3+r^2+r-39)[/tex].
[tex]r=1[/tex] obviamente no es una solución (en este caso, [tex]a_n=1[/tex] y [tex]S_4=4 \ne 40)[/tex], por lo que debe ser una raíz de la ecuación [tex]r^3+r^2+r-39=0[/tex].
[tex]r^3-27+r^2-9+r-3=0[/tex]
[tex](r-3)(r^2+3r+9)+(r-3)(r+3)+1(r-3)=0[/tex]
[tex](r-3)(r^2+3r+3+r+3+1)=0[/tex]
[tex](r-3)(r^2+4r+7)=0[/tex]. Pero [tex]r^2+4r+7=(r+2)^2+3>0[/tex], por lo que no produce soluciones. Entonces la única raíz que queda es [tex]r=3[/tex].

Solución:
Denotemos la progresión como [tex]a,ar,ar^2,...[/tex]. Su suma es [tex]S_1=6=\frac{a}{1-r}[/tex]. Los cuadrados de la progresión son [tex]a^2, a^2r^2, a^2r^4, ...[/tex], que es otra progresión geométrica - con primer término [tex]a^2[/tex] y proporción común [tex]r^2[/tex]. Su suma es [tex]S_2=\frac{a^2}{1-r^2}=\frac{a^2}{(1-r)(1+r)}[/tex]. Entonces
[tex]\frac{S_2}{S_1}=\frac{a^2}{1-r^2} \times \frac{1-r}{a}=\frac{a}{1+r}=3[/tex]. Tenemos
[tex]\begin{array}{|l}a=3+3r\\a=6-6r\end{array}[/tex]
[tex]\begin{array}{|l}2a=6+6r\\a=6-6r\end{array}[/tex]. Las sumamos para obtener
[tex]3a=6+6[/tex], o [tex]a=4[/tex]

Solución:
[tex]0{,}272727(27)=27\cdot 10^{-2}+27\cdot 10^{-4}+27\cdot 10^{-6}+...[/tex], que es la suma de una serie geométrica infinita ([tex]a_1=27\cdot 10^{-2}; r=10^{-2})[/tex] y según la fórmula es
[tex]\frac{27 \cdot 10^{-2}}{1-10^{-2}}=\frac{\frac{27}{100}}{1-\frac{1}{100}}=\frac{27}{99}=\frac{3}{11}[/tex]

Solución:
Usando [tex]a_n=a_1\cdot r^{n-1}[/tex]:
[tex]\begin{array}{|l}a_1r+a_1r^4-a_1r^3=10\\a_1r^2+a_1r^5-a_1r^4=20\end{array}[/tex]

[tex]\begin{array}{|l}a_1r(1+r^3-r^2)=10\\a_1r^2(1+r^3-r^2)=20\end{array}[/tex]. Las dividimos para obtener

[tex]\frac{a_1r^2(1+r^3-r^2)}{a_1r(1+r^3-r^2)}=\frac{20}{10}=2[/tex] => [tex]r=2[/tex]. Substituyendo en la primera ecuación, obtenemos [tex]a_2+8a_2-4a_2=10[/tex], o [tex]5a_2=10[/tex]

[tex]a_2=2[/tex].

Solución:
Veamos, el primer término es a. El segundo termino es 2 = ar. Por lo que r = 2/a. La fórmula para la suma de series geométricas infinitas es [tex]S=\frac{a}{1-r} = 8[/tex]
[tex]S=\frac{a}{1-\frac{2}{a}} = 8[/tex]
[tex]\frac{a}{1-\frac{2}{a}} = 8[/tex]
[tex]a = 8(1-\frac{2}{a})[/tex]
[tex]a = 8-\frac{16}{a}[/tex]
[tex]a^2 = 8a - 16[/tex]
[tex]a^2 - 2\cdot4a + 4^2=0[/tex]
[tex](a-4)^2=0[/tex]
[tex]a=4[/tex]

Solución:
Hagamos [tex]x_2=x_1r[/tex], [tex]y_1=x_1r^2[/tex], [tex]y_2=x_1r^3[/tex]. De las fórmulas de Vieta, sabemos que
[tex]\begin{array}{|l}x_1+x_2=x_1(1+r)=3\\y_1+y_2=x_1(r^2+r^3)=x_1r^2(1+rr)=12\end{array}[/tex]. Las dividimos para obtener [tex]r^2=4[/tex], o [tex]r=2[/tex] (ya que la progresión está aumentando estrictamente, y no puede ser así si [tex]r[/tex] es negativa). Como [tex]x_1(r+1)=3[/tex], tenemos [tex]x_1=1, x_2=2, y_1=4, y_2=8[/tex].
De las fórmulas de Vieta, [tex]a=x_1x_2=2[/tex] y [tex]-b=y_1y_2=32[/tex]. Por lo que [tex]ab=2\cdot (-32)=-64[/tex].

Solución:
El miembro izquierdo es el producto [tex]x^{\frac{1}{2}}\times x^{\frac{1}{4}}\times x^{\frac{1}{8}}\times \ldots[/tex].
Los exponentes forman una progresión geométrica decreciente infinita: [tex]\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{8}+\ldots=\dfrac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1[/tex].
Así que el miembro izquierdo es igual a [tex]x[/tex] y [tex]x=\sqrt{2013}[/tex].

Solución:
La suma de los términos que siguen a [tex]a_{n}[/tex] es [tex]a_{n}q+a_{n}q^{2}+\ldots=\dfrac{a_{n}q}{1-q}[/tex]. Por lo tanto,
[tex]a_{n}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{a_{n}q}{1-q}\iff 2(1-q)=q\iff q=\dfrac{2}{3}[/tex]
Este valor cumple [tex]0\lt q\lt 1[/tex].

Solución:
Aquí [tex]a_{1}=1; q=\operatorname{sen} ^{2}\dfrac{\pi}{8}; 0\lt q\lt 1[/tex], así que
[tex]S=\dfrac{1}{1-\operatorname{sen} ^{2}\frac{\pi}{8}}=\dfrac{1}{\cos^{2}\frac{\pi}{8}}[/tex]
Como [tex]\cos^{2}\dfrac{\pi}{8}=\dfrac{1+\cos\frac{\pi}{4}}{2}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{4}[/tex],
[tex]S=\dfrac{4}{2+\sqrt{2}}=\dfrac{4(2-\sqrt{2})}{2}=4-2\sqrt{2}[/tex]

Solución:
Sean los números [tex]a; a+1; c[/tex], donde [tex]a\ge 1[/tex] es entero. Entonces
[tex]c=\dfrac{(a+1)^{2}}{a}=a+2+\dfrac{1}{a}[/tex]
Para que [tex]c[/tex] sea entero, [tex]\dfrac{1}{a}[/tex] debe ser entero, es decir, [tex]a=1[/tex]. Los números son [tex]1; 2; 4[/tex] y el tercero es [tex]4[/tex].

Solución:
Sean los números [tex]a; aq; aq^{2}; aq^{3}[/tex]. Entonces [tex]a(1+q^{3})=35; aq(1+q)=30[/tex].
Como [tex]1+q^{3}=(1+q)(1-q+q^{2})[/tex], al dividir las ecuaciones se obtiene [tex]\dfrac{1-q+q^{2}}{q}=\dfrac{7}{6}\iff 6q^{2}-13q+6=0[/tex],
[tex]q=\dfrac{3}{2}[/tex] o [tex]q=\dfrac{2}{3}[/tex]
Para [tex]q=\dfrac{2}{3}[/tex] la progresión es decreciente, así que [tex]q=\dfrac{3}{2}[/tex] y [tex]a=8[/tex]. Los números son [tex]8; 12; 18; 27[/tex]; el mayor es [tex]27[/tex].

Solución:
[tex]\dfrac{S_{3}}{S}=\dfrac{a_{1}(1-q^{3})}{1-q}\times \dfrac{1-q}{a_{1}}=1-q^{3}=\dfrac{21}{24}=\dfrac{7}{8}[/tex]
[tex]q^{3}=\dfrac{1}{8}\Rightarrow q=\dfrac{1}{2}; a_{1}=24\left(1-\dfrac{1}{2}\right)=12[/tex]
Los cuadrados [tex]144; 36; 9; \ldots[/tex] forman una progresión geométrica decreciente infinita de razón [tex]q^{2}=\dfrac{1}{4}[/tex]:
[tex]144+36+9+\ldots=\dfrac{144}{1-\frac{1}{4}}=192[/tex]

Solución:
Cada término de lugar par es [tex]q[/tex] veces el término de lugar impar anterior: [tex]a_{2}=a_{1}q; a_{4}=a_{3}q; \ldots[/tex]. Así, la suma de los términos de lugar par es [tex]q[/tex] veces la suma de los de lugar impar, y [tex]q=\dfrac{1}{3}[/tex].
[tex]S_{5}=a_{1}\times \dfrac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{5}}{1-\frac{1}{3}}=a_{1}\times \dfrac{242}{243}\times \dfrac{3}{2}=\dfrac{121}{81}a_{1}[/tex]
[tex]\dfrac{121}{81}a_{1}=484\Rightarrow a_{1}=324[/tex]

Solución:
Después de [tex]n[/tex] años el depósito es [tex]10000\times 1{,} 01^{12n}[/tex] y el precio es [tex]12000\times 1{,} 06^{n}[/tex] (ambos son progresiones geométricas). Se necesita
[tex]\left(\dfrac{1{,} 01^{12}}{1{,} 06}\right)^{n}\ge 1{,} 2[/tex]
La base es [tex]\dfrac{1{,} 01^{12}}{1{,} 06}\approx\dfrac{1{,} 12683}{1{,} 06}\approx 1{,} 06304[/tex].
[tex]1{,} 06304^{2}\approx 1{,} 130\lt 1{,} 2; 1{,} 06304^{3}\approx 1{,} 2013\ge 1{,} 2[/tex]
Después de [tex]3[/tex] años el depósito es de unos [tex]14\,307{,} 69[/tex] euros y el coche cuesta unos [tex]14\,292{,} 19[/tex] euros, así que la respuesta es [tex]3[/tex] años.

Solución:
[tex]a_{1}(1-q^{2}+q^{4})=-65; a_{1}(1+q^{6})=-325[/tex]
Como [tex]1+q^{6}=(1+q^{2})(1-q^{2}+q^{4})[/tex], al dividir la segunda ecuación entre la primera se obtiene
[tex]1+q^{2}=5\Rightarrow q=\pm 2[/tex]
[tex]a_{1}=\dfrac{-65}{1-4+16}=-5[/tex]

Solución:
[tex]a_{5}+a_{6}+a_{7}+a_{8}=q^{4}(a_{1}+a_{2}+a_{3}+a_{4})\Rightarrow q^{4}=\dfrac{480}{30}=16[/tex]
Dividimos los [tex]20[/tex] primeros términos en [tex]5[/tex] bloques de cuatro términos consecutivos. La suma de cada bloque es [tex]q^{4}=16[/tex] veces la del anterior, así que las sumas de los bloques forman una progresión geométrica de primer término [tex]30[/tex] y razón [tex]16[/tex]:
[tex]S_{20}=30\times \dfrac{16^{5}-1}{16-1}=2(2^{20}-1)=2097150[/tex]
La respuesta es la misma para [tex]q=2[/tex] y para [tex]q=-2[/tex].

Solución:
Sean los lados [tex]a; aq; aq^{2}[/tex] con [tex]q\gt 1[/tex]; la hipotenusa es [tex]aq^{2}[/tex]. Por el teorema de Pitágoras,
[tex]a^{2}+a^{2}q^{2}=a^{2}q^{4}\iff q^{4}-q^{2}-1=0[/tex]
Como ecuación cuadrática en [tex]q^{2}[/tex]: [tex]q^{2}=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}[/tex] (la otra raíz es negativa). Por lo tanto,
[tex]q=\sqrt{\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}}[/tex]

Solución:
Sea [tex]a\ne 1[/tex]. Multiplicamos el miembro derecho por [tex]1-a[/tex]:
[tex](1-a)(1+a)(1+a^{2})(1+a^{4})(1+a^{8})=(1-a^{2})(1+a^{2})(1+a^{4})(1+a^{8})=\ldots=1-a^{16}[/tex]
Así que el miembro derecho es igual a [tex]\dfrac{1-a^{16}}{1-a}=1+a+a^{2}+\ldots+a^{15}[/tex], la suma de una progresión geométrica.
[tex]x=15[/tex]

Solución:
Sean las raíces [tex]\dfrac{b}{q}; b; bq[/tex]. Por las fórmulas de Vieta,
[tex]b\left(\dfrac{1}{q}+1+q\right)=14; b^{2}\left(\dfrac{1}{q}+1+q\right)=-84[/tex]
Al dividir: [tex]b=-6[/tex]. El producto de las raíces es [tex]b^{3}=-m[/tex], así que [tex]m=216[/tex].
Comprobación: [tex]x^{3}-14x^{2}-84x+216=(x-2)(x+6)(x-18)[/tex], y [tex]2; -6; 18[/tex] es una progresión geométrica de razón [tex]q=-3[/tex].