Sistemas de ecuaciones lineales - problemas difíciles y soluciones

Solución:
[tex]\begin{cases} x-y=3 \\ x^2-y^2=33 \end{cases}[/tex]
Usamos la diferencia de cuadrados: [tex]x^2-y^2=(x-y)(x+y)=3(x+y)=33 \Rightarrow x+y=11[/tex]
[tex]\begin{cases} x-y=3 \\ x+y=11 \end{cases} \Rightarrow x=7,\ y=4[/tex]
Los números son [tex]7[/tex] y [tex]4[/tex].

Solución:
Desarrollamos los paréntesis; los términos con [tex]xy[/tex] se cancelan:
[tex](xy+2x-y-2)-(xy+5x-2y-10)=-3x+y+8=0[/tex], por lo tanto [tex]y=3x-8[/tex].
[tex](xy-3x+4y-12)-(xy-4x+7y-28)=x-3y+16=0[/tex]
Sustituimos en la segunda ecuación: [tex]x-3(3x-8)+16=0 \Rightarrow -8x+40=0 \Rightarrow x=5[/tex], [tex]y=3\times 5-8=7[/tex].
La solución del sistema es [tex](5; 7)[/tex].

Solución:
Introducimos nuevas incógnitas [tex]u=x+y[/tex], [tex]v=x-y[/tex]:
[tex]\begin{cases} 5u-7v=2 \\ 2u-3v=4 \end{cases}[/tex]
Multiplicamos la primera ecuación por [tex]2[/tex] y la segunda por [tex]5[/tex]: [tex]10u-14v=4[/tex], [tex]10u-15v=20[/tex].
Restando la segunda ecuación de la primera, obtenemos [tex]v=-16[/tex]. [tex]5u=2+7(-16)=-110 \Rightarrow u=-22[/tex]
[tex]x=\frac{u+v}{2}=\frac{-22-16}{2}=-19[/tex], [tex]y=\frac{u-v}{2}=\frac{-22+16}{2}=-3[/tex]
La solución del sistema es [tex](-19; -3)[/tex].

Solución:
Introducimos nuevas incógnitas [tex]u=\frac{1}{x}[/tex], [tex]v=\frac{1}{y}[/tex] ([tex]x\neq 0[/tex], [tex]y\neq 0[/tex]):
[tex]\begin{cases} 2u+v=\frac{1}{6} \\ u-3v=\frac{11}{6} \end{cases}[/tex]
De la segunda ecuación [tex]u=\frac{11}{6}+3v[/tex]: [tex]\frac{11}{3}+6v+v=\frac{1}{6} \Rightarrow 7v=-\frac{7}{2} \Rightarrow v=-\frac{1}{2}[/tex]
[tex]u=\frac{11}{6}-\frac{3}{2}=\frac{1}{3}[/tex]
[tex]x=\frac{1}{u}=3[/tex], [tex]y=\frac{1}{v}=-2[/tex]
La solución del sistema es [tex](3; -2)[/tex].

Solución:
Multiplicamos la primera ecuación por [tex]\sqrt{2}[/tex] y la segunda por [tex]\sqrt{3}[/tex]:
[tex]\begin{cases} -\sqrt{6}\,x+4y=2\sqrt{3} \\ \sqrt{6}\,x-3y=-\sqrt{3} \end{cases}[/tex]
Sumando las ecuaciones, obtenemos [tex]y=\sqrt{3}[/tex].
[tex]\sqrt{2}\,x-\sqrt{3}\times \sqrt{3}=-1 \Rightarrow \sqrt{2}\,x=2 \Rightarrow x=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}[/tex]
La solución del sistema es [tex]\left(\sqrt{2}; \sqrt{3}\right)[/tex].

Solución:
Un sistema [tex]\begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases}[/tex] no tiene solución cuando [tex]\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\neq\frac{c_1}{c_2}[/tex] (las rectas son paralelas).
[tex]\frac{3}{b}=\frac{a}{6}\neq\frac{1}{1}[/tex]
[tex]\frac{3}{b}=\frac{a}{6} \Rightarrow ab=18[/tex]; [tex]\frac{a}{6}\neq 1 \Rightarrow a\neq 6[/tex]
Si [tex]a=6[/tex] (y [tex]b=3[/tex]), las dos ecuaciones coinciden y el sistema tiene infinitas soluciones.

Solución:
Sean [tex]x[/tex] la edad actual del padre e [tex]y[/tex] la del hijo:
[tex]\begin{cases} x-3=7(y-3) \\ x+5=3(y+5) \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x=7y-18 \\ x=3y+10 \end{cases}[/tex]
[tex]7y-18=3y+10 \Rightarrow 4y=28 \Rightarrow y=7[/tex], [tex]x=31[/tex]
El padre tiene [tex]31[/tex] años y el hijo [tex]7[/tex]. Comprobación: [tex]28=7\times 4[/tex] y [tex]36=3\times 12[/tex].

Solución:
Sean [tex]AB=a[/tex] y [tex]BC=b[/tex]:
[tex]\begin{cases} (a-2)(b+1)=ab \\ (a+3)(b-1)=ab \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a-2b-2=0 \\ -a+3b-3=0 \end{cases}[/tex]
Sumando las ecuaciones, obtenemos [tex]b-5=0 \Rightarrow b=5[/tex], [tex]a=2b+2=12[/tex].
[tex]AB=12[/tex] cm, [tex]BC=5[/tex] cm

Solución:
Sea el número [tex]10a+b[/tex], donde [tex]a[/tex] es la cifra de las decenas y [tex]b[/tex] la de las unidades:
[tex]\begin{cases} 10a+b=9b+4 \\ 10a+b=11a+1 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 10a-8b=4 \\ b=a+1 \end{cases}[/tex]
[tex]10a-8(a+1)=4 \Rightarrow 2a=12 \Rightarrow a=6[/tex], [tex]b=7[/tex]
El número es [tex]67[/tex]. Comprobación: [tex]67=9\times 7+4[/tex], [tex]67=11\times 6+1[/tex].

Solución:
[tex]\begin{cases} a+b+c=1 \\ 4a+2b+c=0 \\ 9a+3b+c=3 \end{cases}[/tex]
Restamos la primera ecuación de la segunda y la segunda de la tercera:
[tex]3a+b=-1[/tex], [tex]5a+b=3 \Rightarrow 2a=4 \Rightarrow a=2,\ b=-7[/tex]
[tex]c=1-a-b=1-2+7=6[/tex]
[tex]f(0)=c=6[/tex]

Solución:
Sumamos las cuatro ecuaciones: cada incógnita aparece tres veces:
[tex]3(x+m+t+p)=510+680+770+620=2580 \Rightarrow x+m+t+p=860[/tex]
Restamos de esta suma cada ecuación:
[tex]p=860-510=350[/tex], [tex]x=860-680=180[/tex], [tex]m=860-770=90[/tex], [tex]t=860-620=240[/tex]

Solución:
Eliminamos [tex]z[/tex]: restamos la segunda ecuación de la primera y a la tercera le sumamos la segunda multiplicada por [tex]2[/tex]:
[tex]\begin{cases} x-4y=-7 \\ 5x+3y=11 \end{cases}[/tex]
[tex]x=4y-7 \Rightarrow 5(4y-7)+3y=11 \Rightarrow 23y=46 \Rightarrow y=2[/tex], [tex]x=1[/tex]
[tex]z=6-x-y=3[/tex]
La solución del sistema es [tex](1; 2; 3)[/tex].

Solución:
Introducimos nuevas incógnitas [tex]u=|x+1|\geq 0[/tex], [tex]v=|y-1|\geq 0[/tex]:
[tex]\begin{cases} u+v=7 \\ u-v=1 \end{cases} \Rightarrow u=4,\ v=3[/tex]
[tex]|x+1|=4 \Rightarrow x=3[/tex] o [tex]x=-5[/tex]
[tex]|y-1|=3 \Rightarrow y=4[/tex] o [tex]y=-2[/tex]
Cada valor de [tex]x[/tex] se puede combinar con cada valor de [tex]y[/tex], así que el sistema tiene [tex]4[/tex] soluciones:
[tex](3; 4)[/tex], [tex](3; -2)[/tex], [tex](-5; 4)[/tex], [tex](-5; -2)[/tex]
Un error frecuente es sustituir [tex]x=-5[/tex] en la segunda ecuación en lugar de [tex]|x+1|=4[/tex]: la ecuación contiene [tex]|x+1|[/tex], no [tex]x[/tex].