Sistemas de ecuaciones lineales - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
Restamos la segunda ecuación de la primera: [tex]|y-4|-2y=1[/tex].
Si [tex]y\geq 4[/tex]: [tex]y-4-2y=1 \Rightarrow y=-5[/tex], que no cumple [tex]y\geq 4[/tex].
Si [tex]y\lt 4[/tex]: [tex]4-y-2y=1 \Rightarrow y=1[/tex], que cumple la condición.
[tex]|x+3|=8-2y=6 \Rightarrow x=3[/tex] o [tex]x=-9[/tex]
Las soluciones son [tex](3; 1)[/tex] y [tex](-9; 1)[/tex].

Solución:
Sumamos las dos primeras ecuaciones: [tex](x-y+2z)+(2x+3y-z)=3x+2y+z=2+4=6[/tex].
Es exactamente la tercera ecuación, así que no aporta información nueva. En realidad tenemos dos ecuaciones con tres incógnitas.
Sea [tex]z=t[/tex]:
[tex]\begin{cases} x-y=2-2t \\ 2x+3y=4+t \end{cases} \Rightarrow y=t,\ x=2-t[/tex]
El sistema tiene infinitas soluciones: [tex](2-t; t; t)[/tex], donde [tex]t[/tex] es cualquier número.

Solución:
Sumamos y restamos las ecuaciones:
[tex](3x-2y)+(2x-3y)=5x-5y=(a+c)^2-(a-c)^2+6ac=4ac+6ac=10ac \Rightarrow x-y=2ac[/tex]
[tex](3x-2y)-(2x-3y)=x+y=(a+c)^2+(a-c)^2=2a^2+2c^2[/tex]
[tex]x=\frac{(x+y)+(x-y)}{2}=a^2+ac+c^2[/tex], [tex]y=\frac{(x+y)-(x-y)}{2}=a^2-ac+c^2[/tex]

Solución:
Escribimos la segunda ecuación en la misma forma: [tex]\begin{cases} \left(a^2+1\right)x-2y=-5 \\ -4ax+4y=3 \end{cases}[/tex]
El sistema tiene exactamente una solución cuando los coeficientes de [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] NO son proporcionales, es decir,
[tex]\left(a^2+1\right)\times 4-(-2)(-4a)\neq 0 \Leftrightarrow 4a^2-8a+4\neq 0 \Leftrightarrow 4(a-1)^2\neq 0 \Leftrightarrow a\neq 1[/tex]
Para [tex]a=1[/tex] el sistema queda [tex]2x-2y=-5[/tex], [tex]-4x+4y=3[/tex], es decir, [tex]x-y=-\frac{5}{2}[/tex] y [tex]x-y=-\frac{3}{4}[/tex]: no hay solución. Observa que la condición [tex]\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}[/tex] describe justo el caso contrario (ninguna solución o infinitas soluciones).

Solución:
Un sistema de dos ecuaciones lineales tiene más de una solución solo cuando tiene infinitas soluciones. Para ello los coeficientes de [tex]x[/tex] e [tex]y[/tex] deben ser proporcionales:
[tex]\frac{2}{a}=\frac{a}{8} \Rightarrow a^2=16 \Rightarrow a=4[/tex] o [tex]a=-4[/tex]
Comprobamos cada valor:
[tex]a=4:\ \begin{cases} 2x+4y=8 \\ 4x+8y=16 \end{cases}[/tex] — la segunda ecuación es la primera multiplicada por [tex]2[/tex]; infinitas soluciones.
[tex]a=-4:\ \begin{cases} 2x-4y=8 \\ -4x+8y=16 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} x-2y=4 \\ x-2y=-4 \end{cases}[/tex] — contradicción; no hay solución.
Respuesta: [tex]a=4[/tex].