Ecuaciones cuadráticas - problemas muy difíciles y soluciones

Solución:
[tex]a[/tex] es obviamente no nula. Dividimos la ecuación por [tex]a^2[/tex] para obtener [tex]\frac{x^2}{a^2}-2\frac{ax}{a^2}+\frac{a^2}{a^2}=0[/tex]
[tex](\frac{x}{a})^2-2 \times \frac{x}{a}+1=0[/tex], o [tex](\frac{x}{a}-1)^2=0[/tex], lo que nos dice que [tex]\frac{x}{a}=1[/tex].

Solución:
La ecuación está definida para [tex]x[/tex], tal que [tex]x-2 \ne 0; x+2 \ne 0; x^2-4 \ne 0[/tex], lo que nos dice que [tex]x \ne \pm 2[/tex].
[tex]\frac{5}{2-x}+\frac{x-5}{x+2}+\frac{3x+8}{x^2-4}=0[/tex]
[tex]\frac{5(x+2)}{(2-x)(x+2)}+\frac{(x-5)(2-x)}{(x+2)(2-x)}+\frac{3x+8}{x^2-4}=0[/tex]
Tenga en mente que [tex]\frac{3x+8}{x^2 - 4}=-\frac{3x+8}{4-x^2}[/tex]
[tex]\frac{5x+10}{4-x^2}+\frac{2x-10-x^2+5x}{4-x^2}-\frac{3x+8}{4-x^2}=0[/tex]. Ya no necesitamos el denominador.
[tex]5x+10+7x-10-x^2-3x-8=0[/tex]
[tex]x^2-9x+8=0[/tex]
[tex]x^2-8x-x+8=0[/tex]
[tex]x(x-8)-(x-8)=0[/tex]
[tex](x-1)(x-8)=0[/tex], así que las raíces son [tex]x=1[/tex] y [tex]x=8[/tex]. La ecuación está definida para ellas, por lo que ambas son soluciones.

Solución:
En primer lugar, digamos que la primera página es n.
Por lo tanto, está claro que la siguiente es n+1.
El producto de las páginas es igual a 1122, por lo que
n * (n + 1) = 1122
Multiplicamos usando la propiedad distributiva, y luego la ecuación se convierte en [tex]n^2 + n = 1122[/tex].
Movemos todo a la izquierda, haciendo la ecuación igual a cero. [tex]n^2 + n – 1122 = 0[/tex].
Eventualmente, factorizamos la ecuación de segundo grado, y obtenemos [tex](n + 34)(n – 33) = 0[/tex].
Dado que el producto de los dos "números" es igual a cero, entonces uno de ellos es igual a cero.
Tomemos el primero.
[tex]n + 34 = 0.[/tex]
Entonces [tex]n = - 34[/tex], lo cual es imposible, ya que una página no puede tener un número negativo. Tomemos el segundo.
[tex]n - 33 = 0.[/tex]
entonces, [tex]n = 33[/tex], que es aceptable.
Por lo tanto, la primera página es la 33, y la segunda es la página n + 1 = 33 + 1 = página 34.

Solución:
En primer lugar, supongamos que el dígito que buscamos es
x
Entonces, el número entero se convierte en
[tex]\overline{xx}[/tex]
Cuyo valor es igual a
[tex]\overline{xx}=10x+x=11x[/tex]
Posteriormente, elevamos el número a la segunda potencia, y se convierte en
[tex]\overline{xx}^{\,2}=(11x)^2=121x^2[/tex]
Ahora que nuestro número se eleva a la segunda potencia, pasamos a la segunda parte. Si asumimos que nuestro número original es
[tex]\overline{xx}[/tex]
Está claro que el número producido después de la cuadratura es igual a
[tex]((x-1)(x-1)\frac{x}{2}\frac{x}{2} )^{-}[/tex]
Y su valor es
[tex]1000(x-1)+100(x-1)+10\frac{x}{2}+1\frac{x}{2}[/tex]
Al aplicar la propiedad distributiva, el número se convierte en
[tex]1000x-1000+100x-100+ \frac{10x}{2}+\frac{x}{2}[/tex]
Para sumar los términos, es necesario convertir todos los montos a cantidades similares. Esto se puede lograr multiplicando cada término (aparte de los dos últimos) por [tex]\frac{2}{2}[/tex]
[tex]\frac{1000x\cdot 2}{2}-\frac{1000\cdot 2}{2}+\frac{100x\cdot 2}{2}-\frac{100\cdot 2}{2}+\frac{10x}{2}+\frac{x}{2}[/tex]
Después, el número se convierte en
[tex]\frac{2000x}{2}-\frac{2000}{2}+\frac{200x}{2}-\frac{200}{2}+\frac{10x}{2}+\frac{x}{2}[/tex]
Sumamos los términos juntos, haciendo el número
[tex]\frac{2000x-2000+200x-200+10x+x}{2}[/tex]

Sumando los términos del numerador que obtenemos
[tex]\frac{2211x-2200}{2}[/tex]
Ahora, después de terminar con nuestros dos números, los igualamos
[tex]121x^2=\frac{2211x-2200}{2}[/tex]
Multiplicamos cada lado por 2, y la ecuación se convierte en
[tex]242x^2=2211x-2200[/tex]
Movemos todos los términos a la izquierda, haciendo que el trinomio de segundo grado sea igual a cero
[tex]242x^2-2211x+2200=0[/tex]
Después, podemos factorizar nuestra expresión, para facilitar las cosas.
Notamos que 242, 2211 y 2200 tienen un factor común de 11.
Por lo tanto, podemos factorizar toda la expresión en
[tex]11 (22x^2-201x+200)=0[/tex]
Dividimos ambos lados por once, y terminamos con
[tex]22x^2-201x+200=0[/tex]
Ahora, está claro que tenemos una ecuación de segundo grado, que es igual a cero. Nuestra primera tarea es calcular el discriminante, que viene dado por la fórmula
[tex]D=b^2-4ac[/tex], donde a=22, b=201 y c=200
Reemplazamos las variables con los valores, y el discriminante se vuelve igual a
D=22801
Ahora, necesitamos averiguar si la ecuación tiene raíces reales o no.
Tenemos las siguientes posibilidades:
[tex]b^2-4ac>0\Rightarrow[/tex] Hay dos raíces reales.
La solución x de la ecuación de segundo grado viene dada por la fórmula
[tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]
[tex]x_{1,2}={201\pm 151}{44}[/tex]
[tex]x_1=\frac{201+151}{44}=\frac{352}{44}=8[/tex]
[tex]x_2=\frac{201-151}{44}=\frac{50}{44}=1,13636363636...[/tex]
Finalmente, llegamos al punto en el que tenemos que elegir entre las dos soluciones posibles para x. Dado que el valor que necesitamos se refiere a un dígito, tiene que ser un entero.
[tex]8 \in Z [/tex] Verdadero
[tex]1,13636363636... \in Z[/tex] Falso

Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que x=8.
[tex]\overline{xx}=88[/tex]

Solución:
Deja [tex]x[/tex] ser [tex]\sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]x = \sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]x^2 = 6 + \sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]\Rightarrow x^2=6+x[/tex]
[tex]x^2- x - 6 = 0[/tex]
[tex](x+2)(x-3) = 0[/tex]
[tex]x = -2 or x = 3[/tex]
[tex]x[/tex] debe ser mayor que 0, entonces

[tex]\sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}} = 3[/tex]

Solución:
Agrupamos los factores de modo que las sumas de los números sean iguales ([tex]3+8=4+7=11[/tex]):
[tex](x-3)(x-8)=x^2-11x+24[/tex], [tex](x-4)(x-7)=x^2-11x+28[/tex].
Sea [tex]t=x^2-11x+24[/tex]: [tex]t(t+4)=60[/tex], [tex]t^2+4t-60=0[/tex], [tex]t_1=6[/tex], [tex]t_2=-10[/tex].
[tex]x^2-11x+24=6[/tex]: [tex]x^2-11x+18=0[/tex], [tex]x=2[/tex] o [tex]x=9[/tex].
[tex]x^2-11x+24=-10[/tex]: [tex]x^2-11x+34=0[/tex], [tex]D=121-136<0[/tex], sin raíces reales.
Respuesta: [tex]x_1=2[/tex], [tex]x_2=9[/tex].

Solución:
Sea [tex]f(x)=x^2-2ax+a+2[/tex]; su gráfica es una parábola que abre hacia arriba con vértice en [tex]x=a[/tex]. Ambas raíces están en [tex](1; 3)[/tex] exactamente cuando:
[tex]\frac{D}{4}=a^2-a-2=(a-2)(a+1)\ge 0[/tex]: [tex]a\le -1[/tex] o [tex]a\ge 2[/tex];
el vértice está dentro del intervalo: [tex]1\lt a<3[/tex];
[tex]f(1)=3-a>0[/tex]: [tex]a<3[/tex];
[tex]f(3)=11-5a>0[/tex]: [tex]a\lt \frac{11}{5}[/tex].
Las cuatro condiciones se cumplen para [tex]2\le a\lt \frac{11}{5}[/tex], es decir, [tex]a\in[2; \frac{11}{5})[/tex]. (Para [tex]a=2[/tex] hay una raíz doble [tex]x=2[/tex].)

Solución:
[tex]f(x)=0[/tex] da [tex]x^2-ax+3a-9=0[/tex], es decir, [tex](x-3)(x-a+3)=0[/tex]. Así, [tex]A[/tex] y [tex]B[/tex] tienen abscisas [tex]3[/tex] y [tex]a-3[/tex], y [tex]AB=|a-6|[/tex] (se necesita [tex]a\ne 6[/tex]).
[tex]C=(0; 9-3a)[/tex], así que la altura sobre [tex]AB[/tex] es [tex]|9-3a|=3|a-3|[/tex].
Área: [tex]\frac{1}{2}|a-6|\times 3|a-3|=27[/tex], es decir, [tex]|(a-6)(a-3)|=18[/tex].
[tex](a-6)(a-3)=18[/tex]: [tex]a^2-9a=0[/tex], [tex]a=0[/tex] o [tex]a=9[/tex].
[tex](a-6)(a-3)=-18[/tex]: [tex]a^2-9a+36=0[/tex], [tex]D<0[/tex], sin soluciones.
Respuesta: [tex]a=0[/tex] o [tex]a=9[/tex].

Solución:
Si [tex]a=0[/tex], la raíz es [tex]x=\frac{9}{4}[/tex], que no es entera.
Sea [tex]x_0[/tex] una raíz entera. [tex]x_0\ne 0[/tex] (si no, [tex]9=0[/tex]) y [tex]ax_0^2=4x_0-9[/tex].
El lado izquierdo es divisible entre [tex]x_0[/tex], así que [tex]x_0[/tex] divide a [tex]4x_0-9[/tex] y, por lo tanto, a [tex]9[/tex]: [tex]x_0\in\{\pm 1; \pm 3; \pm 9\}[/tex].
[tex]a=\frac{4x_0-9}{x_0^2}[/tex]: para [tex]x_0=1[/tex], [tex]a=-5[/tex]; para [tex]x_0=-1[/tex], [tex]a=-13[/tex]; para [tex]x_0=3[/tex], [tex]-3[/tex], [tex]9[/tex], [tex]-9[/tex] se obtiene [tex]\frac{1}{3}[/tex], [tex]-\frac{7}{3}[/tex], [tex]\frac{1}{3}[/tex], [tex]-\frac{5}{9}[/tex], que no son enteros.
Respuesta: [tex]a=-5[/tex] (raíz [tex]1[/tex]) o [tex]a=-13[/tex] (raíz [tex]-1[/tex]).

Solución:
Desarrollamos: [tex]x^2+2xy+y^2=xy-x+y-1[/tex], es decir, [tex]x^2+(y+1)x+y^2-y+1=0[/tex].
La vemos como ecuación cuadrática en [tex]x[/tex]. Tiene solución real solo si su discriminante es no negativo:
[tex]D=(y+1)^2-4(y^2-y+1)=-3y^2+6y-3=-3(y-1)^2\ge 0[/tex].
Esto solo ocurre para [tex]y=1[/tex]. Entonces [tex]D=0[/tex] y [tex]x=-\frac{y+1}{2}=-1[/tex].
La única solución es [tex]x=-1[/tex], [tex]y=1[/tex] (comprobación: [tex]0^2=0\times 0[/tex]).

Solución:
[tex]\frac{x^{2002} + 4x^{2001}}{4x^{2000}} = 2449,25[/tex]
Multiplique los dos lados por 4, obtenemos,
[tex]\frac{x^{2002} + 4x^{2001}}{x^{2000}} = 9797[/tex]

[tex]\frac{x^{2000} (x^2 + 4x)}{x^{2000}} = 9797[/tex]
[tex]x^2 + 4x =9797[/tex]
[tex]x^2 + 4x - 9797=0[/tex]
[tex]x^2 + 101x - 97x -9797 = 0[/tex]
[tex]x(x+101) -97 (x+101) = 0[/tex]
[tex](x+101)(x-97) = 0[/tex]
Las raíces de la ecuación son -101 y 97.

Solución:
Como [tex]a[/tex], [tex]b[/tex], [tex]c[/tex] no son todos iguales, no son todos cero, así que [tex]a^2+b^2+c^2>0[/tex] y la ecuación es cuadrática.
[tex]\frac{D}{4}=(a+b+c)^2-3(a^2+b^2+c^2)=2ab+2bc+2ca-2a^2-2b^2-2c^2[/tex]
[tex]=-\left[(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\right][/tex].
La suma de los tres cuadrados es [tex]0[/tex] solo si [tex]a=b=c[/tex]. Aquí no son todos iguales, así que la suma es positiva y [tex]D<0[/tex].
Por lo tanto, la ecuación no tiene raíces reales.

Solución:
Como [tex]b>0[/tex], la ecuación es cuadrática. Factorizamos el discriminante dos veces con la diferencia de cuadrados:
[tex]D=(b^2+c^2-a^2)^2-(2bc)^2=(b^2+c^2-a^2-2bc)(b^2+c^2-a^2+2bc)[/tex]
[tex]=\left[(b-c)^2-a^2\right]\left[(b+c)^2-a^2\right]=(b-c-a)(b-c+a)(b+c-a)(b+c+a)[/tex].
Por la desigualdad triangular: [tex]b\lt c+a[/tex], así que [tex]b-c-a<0[/tex]; [tex]c\lt a+b[/tex], así que [tex]b-c+a>0[/tex]; [tex]a\lt b+c[/tex], así que [tex]b+c-a>0[/tex]; y [tex]b+c+a>0[/tex].
Exactamente un factor es negativo, así que [tex]D<0[/tex] y la ecuación no tiene raíces reales.

Solución:
Supongamos que la ecuación tiene una raíz racional [tex]\frac{p}{q}[/tex] escrita como fracción irreducible ([tex]p[/tex] y [tex]q[/tex] enteros, no ambos pares). Multiplicamos [tex]a\frac{p^2}{q^2}+b\frac{p}{q}+c=0[/tex] por [tex]q^2[/tex]:
[tex]ap^2+bpq+cq^2=0[/tex].
Si [tex]p[/tex] y [tex]q[/tex] son impares, los tres términos son impares, y la suma de tres impares es impar, no [tex]0[/tex].
Si exactamente uno de [tex]p[/tex], [tex]q[/tex] es par, exactamente dos términos son pares y el tercero impar, así que la suma vuelve a ser impar, no [tex]0[/tex].
En ambos casos hay contradicción, así que la ecuación no tiene raíces racionales.

Solución:
Sea [tex]f(x)=ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)[/tex] con [tex]0\lt x_1\lt x_2<1[/tex].
[tex]f(0)=c=ax_1x_2>0[/tex] y [tex]f(1)=a+b+c=a(1-x_1)(1-x_2)>0[/tex] son enteros positivos, así que cada uno vale al menos [tex]1[/tex] y
[tex]1\le f(0)f(1)=a^2\,x_1(1-x_1)\,x_2(1-x_2)[/tex].
Para [tex]0\lt x<1[/tex] se tiene [tex]x(1-x)=\frac{1}{4}-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2\le\frac{1}{4}[/tex], con igualdad solo en [tex]x=\frac{1}{2}[/tex]. Las raíces son distintas y no pueden valer ambas [tex]\frac{1}{2}[/tex], así que [tex]1\lt \frac{a^2}{16}[/tex], es decir, [tex]a>4[/tex].
Para [tex]a=5[/tex] es posible: [tex]5x^2-5x+1=0[/tex] tiene raíces [tex]\frac{5\pm\sqrt{5}}{10}[/tex], ambas en [tex](0; 1)[/tex].
Respuesta: [tex]a=5[/tex].