Ecuaciones cuadráticas - problemas y soluciones

Solución:
La ecuación está definida para x, tal que [tex]x-2 \ne 0; x+2 \ne 0; x^2-4 \ne 0[/tex], lo que nos dice que [tex]x \ne \pm 2[/tex].
[tex]\frac{5}{2-x}+\frac{x-5}{x+2}+\frac{3x+8}{x^2-4}=0[/tex]
[tex]\frac{5(x+2)}{(2-x)(x+2)}+\frac{(x-5)(2-x)}{(x+2)(2-x)}+\frac{3x+8}{x^2-4}=0[/tex]
Tenga en mente que [tex]\frac{3x+8}{x^2 - 4}=-\frac{3x+8}{4-x^2}[/tex]
[tex]\frac{5x+10}{4-x^2}+\frac{2x-10-x^2+5x}{4-x^2}-\frac{3x+8}{4-x^2}=0[/tex]. Ya no necesitamos el denominador.
[tex]5x+10+7x-10-x^2-3x-8=0[/tex]
[tex]x^2-9x+8=0[/tex]
[tex]x^2-8x-x+8=0[/tex]
[tex]x(x-8)-(x-8)=0[/tex]
[tex](x-1)(x-8)=0[/tex], así que las raíces son x=1 y x=8. La ecuación está definida para ellas, por lo que ambas son soluciones.

Solución:
a es obviamente no nula. Dividimos la ecuación por [tex]a^2[/tex] para obtener [tex]\frac{x^2}{a^2}-2\frac{ax}{a^2}+\frac{a^2}{a^2}=0[/tex]
[tex](\frac{x}{a})^2-2.\frac{x}{a}+1=0[/tex], o [tex](\frac{x}{a}-1)^2=0[/tex], lo que nos dice que [tex]\frac{x}{a}=1[/tex].

Solución:
[tex]\frac{x^{2002} + 4x^{2001}}{4x^{2000}} = 2449,25[/tex]
Multiplique los dos lados por 4, obtenemos,
[tex]\frac{x^{2002} + 4x^{2001}}{x^{2000}} = 9797[/tex]

[tex]\frac{x^{2000} (x^2 + 4x)}{x^{2000}} = 9797[/tex]
[tex]x^2 + 4x =9797[/tex]
[tex]x^2 + 4x - 9797=0[/tex]
[tex]x^2 + 101x - 97x -9797 = 0[/tex]
[tex]x(x+101) -97 (x+101) = 0[/tex]
[tex](x+101)(x-97) = 0[/tex]
Las raíces de la ecuación son -101 y 97.

Solución:
En primer lugar, digamos que la primera página es n.
Por lo tanto, está claro que la siguiente es n+1.
El producto de las páginas es igual a 1122, por lo que
n * (n + 1) = 1122
Multiplicamos usando la propiedad distributiva, y luego la ecuación se convierte en [tex]n^2 + n = 1122[/tex].
Movemos todo a la izquierda, haciendo la ecuación igual a cero. [tex]n^2 + n – 1122 = 0[/tex].
Eventualmente, factorizamos la ecuación de segundo grado, y obtenemos [tex](n + 34)(n – 33) = 0[/tex].
Dado que el producto de los dos "números" es igual a cero, entonces uno de ellos es igual a cero.
Tomemos el primero.
[tex]n + 34 = 0[/tex].
Entonces [tex]n = - 34[/tex], lo cual es imposible, ya que una página no puede tener un número negativo. Tomemos el segundo.
[tex]n - 33 = 0[/tex].
entonces, [tex]n = 33[/tex], que es aceptable.
Por lo tanto, la primera página es la 33, y la segunda es la página n + 1 = 33 + 1 = página 34.

Solución:
Deja [tex]x[/tex] ser [tex]\sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]x = \sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]x^2 = 6 + \sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}}[/tex]
[tex]\Rightarrow x^2=6+x[/tex]
[tex]x^2- x - 6 = 0[/tex]
[tex](x+2)(x-3) = 0[/tex]
[tex]x = -2[/tex] or [tex]x = 3[/tex]
[tex]x[/tex] debe ser mayor que 0, entonces

[tex]\sqrt{6+(\sqrt{6+(\sqrt{6...}}} = 3[/tex]

Solución:
En primer lugar, supongamos que el dígito que buscamos es
x
Entonces, el número entero se convierte en
[tex](xx)^{-}[/tex]
Cuyo valor es igual a
[tex](xx)^{-}=10x+x=11x[/tex]
Posteriormente, elevamos el número a la segunda potencia, y se convierte en
[tex](xx)^{-}=(11x)^2=121x^2[/tex]
Ahora que nuestro número se eleva a la segunda potencia, pasamos a la segunda parte. Si asumimos que nuestro número original es
[tex](xx)^{-}[/tex]
Está claro que el número producido después de la cuadratura es igual a
[tex]((x-1)(x-1)\frac{x}{2}\frac{x}{2} )^{-}[/tex]
Y su valor es
[tex]1000(x-1)+100(x-1)+10\frac{x}{2}+1\frac{x}{2}[/tex]
Al aplicar la propiedad distributiva, el número se convierte en
[tex]1000x-1000+100x-100+ \frac{10x}{2}+\frac{x}{2}[/tex]
Para sumar los términos, es necesario convertir todos los montos a cantidades similares. Esto se puede lograr multiplicando cada término (aparte de los dos últimos) por 2/2
[tex]\frac{1000x\cdot 2}{2}-\frac{1000\cdot 2}{2}+\frac{100x\cdot 2}{2}-\frac{100\cdot 2}{2}+\frac{10x}{2}+\frac{x}{2}[/tex]
Después, el número se convierte en
[tex]\frac{2000x}{2}-\frac{2000}{2}+\frac{200x}{2}-\frac{200}{2}+\frac{10x}{2}+\frac{x}{2}[/tex]
Sumamos los términos juntos, haciendo el número
[tex]\frac{2000x-2000+200x-200+10x+x}{2}[/tex]

Sumando los términos del numerador que obtenemos
[tex]\frac{2211x-2200}{2}[/tex]
Ahora, después de terminar con nuestros dos números, los igualamos
[tex]121x^2=\frac{2211x-2200}{2}[/tex]
Multiplicamos cada lado por 2, y la ecuación se convierte en
[tex]242x^2=2211x-2200[/tex]
Movemos todos los términos a la izquierda, haciendo que el trinomio de segundo grado sea igual a cero
[tex]242x^2-2211x+2200=0[/tex]
Después, podemos factorizar nuestra expresión, para facilitar las cosas.
Notamos que 242, 2211 y 2200 tienen un factor común de 11.
Por lo tanto, podemos factorizar toda la expresión en
[tex]11 (22x^2-201x+200)=0[/tex]
Dividimos ambos lados por once, y terminamos con
[tex]22x^2-201x+200=0[/tex]
Ahora, está claro que tenemos una ecuación de segundo grado, que es igual a cero. Nuestra primera tarea es calcular el discriminante, que viene dado por la fórmula
[tex]D=b^2-4ac[/tex], donde a=22, b=201 y c=200
Reemplazamos las variables con los valores, y el discriminante se vuelve igual a
D=22801
Ahora, necesitamos averiguar si la ecuación tiene raíces reales o no.
Tenemos las siguientes posibilidades:
[tex]b^2-4ac>0\Rightarrow[/tex] Hay dos raíces reales.
La solución x de la ecuación de segundo grado viene dada por la fórmula
[tex]x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}[/tex]
[tex]x_{1,2}={201\pm 151}{44}[/tex]
[tex]x_1=\frac{201+151}{44}=\frac{352}{44}=8[/tex]
[tex]x_2=\frac{201-151}{44}=\frac{50}{44}=1,13636363636...[/tex]
Finalmente, llegamos al punto en el que tenemos que elegir entre las dos soluciones posibles para x. Dado que el valor que necesitamos se refiere a un dígito, tiene que ser un entero.
[tex]8 \in Z [/tex] Verdadero
[tex]1,13636363636... \in Z[/tex] Falso

Por lo tanto, llegamos a la conclusión de que x=8.
[tex](xx)^{-}=88[/tex]