Ecuaciones cuadráticas - problemas difíciles y soluciones

Solución:
[tex]x^2-9x+20=x^2-4x-5x+20=x(x-4)-5(x-4)=(x-5)(x-4).[/tex]
Las soluciones a la ecuación son 5 y 4.
Su diferencia es 1.

Solución:
Por la fórmula corta para el discriminante, es [tex]10^2+69=100+69=169=13^2[/tex]. Las raíces son [tex]x_{1,2}=10 \pm 13[/tex], o [tex]x_1 = 23[/tex] y [tex]x_2=-3[/tex].

Solución:
$x^2-6x+9 = (x-3)^2$

$(x-3)^2 = x-3$

$x-3 = y$

$y^2=y$

$y^2-y=0$

$y(y-1)=0$

$y_1=0, y_2= 1$

$x=y+3 \Rightarrow$

$x_1=3,\ x_2= 4$

Solución:
[tex]x^2-4x+4+2x=7x-14[/tex]
[tex]x^2-9x+18=0[/tex]. El discriminante es [tex]D=9^2-4 \times 18=9(9-4 \times 2)=9 \times 1=3^2[/tex]. Entonces las raíces son [tex]x_{1,2}=\frac{9 \pm 3}{2}[/tex] o [tex]x_1=\frac{9+3}{2}=6[/tex] y [tex]x_2=\frac{9-3}{2}=3[/tex].

Solución:
[tex]\frac{6x}{10}=\frac{x^2+8}{10}[/tex]
[tex]x^2+8=6x[/tex]
[tex]x^2-6x+8=0[/tex]
[tex]x^2-4x - 2x+8=0[/tex]
[tex]x(x-4)-2(x-4)=0[/tex]
[tex](x-2)(x-4)=0[/tex]

Por lo que las raíces son [tex]x_1=2[/tex] y [tex]x_2=4[/tex].

Solución:
[tex]x[/tex] no debe ser cero para que la ecuación esté definida. Multiplicamos en cruz y obtenemos [tex]2(x+8)=x(x+2)[/tex], o [tex]2x+16=x^2+2x[/tex], que es equivalente a [tex]x^2=16[/tex]. Entonces [tex]x_1=-4[/tex] y [tex]x_2=4[/tex].

Solución:
[tex]154 +11x +14x +x^2 = 304 x^2 +25x +154=304 x^2+25x+154-304=0 x^2+25x-150=0 x^2+30x-5x-150=0 x(x+30) - 5(x+30)=0 (x-5) (x+30) = 0[/tex]
En consecuencia, [tex]x-5=0 \Leftrightarrow x=5[/tex]
[tex]x+30=0 \Leftrightarrow x=-30[/tex]

Solución:
[tex]x^4-3x^2-4=x^4-4x^2+x^2-4=x^2(x^2-4)+(x^2-4)=(x^2+1)(x^2-4)[/tex]. Por lo tanto las raíces de la ecuación son: [tex]x_1=-2[/tex] y [tex]x_2=2[/tex].

Solución:
Sean los números [tex]n[/tex] y [tex]n+1[/tex]. Entonces
[tex]n(n+1)=n^2+(n+1)^2-57[/tex]
[tex]n^2+n=2n^2+2n+1-57[/tex]
[tex]n^2+n-56=0[/tex], [tex]D=1+224=225[/tex], [tex]n_{1,2}=\frac{-1\pm 15}{2}[/tex], [tex]n_1=7[/tex], [tex]n_2=-8[/tex].
[tex]-8[/tex] no es natural, así que los números son [tex]7[/tex] y [tex]8[/tex].
Comprobación: [tex]49+64-56=57[/tex].

Solución:
Sea [tex]x[/tex] el número. Entonces [tex]x+\frac{1}{x}=4{,}25=\frac{17}{4}[/tex].
Multiplicamos por [tex]4x\ne 0[/tex]: [tex]4x^2+4=17x[/tex], es decir, [tex]4x^2-17x+4=0[/tex].
[tex]D=289-64=225[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{17\pm 15}{8}[/tex], [tex]x_1=4[/tex], [tex]x_2=\frac{1}{4}[/tex].
Solo [tex]4[/tex] es natural: [tex]4+\frac{1}{4}=4{,}25[/tex].

Solución:
Un polígono de [tex]n[/tex] lados tiene [tex]\frac{n(n-3)}{2}[/tex] diagonales: de cada vértice salen [tex]n-3[/tex] diagonales, y cada diagonal se cuenta desde sus dos extremos.
[tex]\frac{n(n-3)}{2}=n+12[/tex], [tex]n^2-3n=2n+24[/tex], [tex]n^2-5n-24=0[/tex].
[tex]D=25+96=121[/tex], [tex]n_{1,2}=\frac{5\pm 11}{2}[/tex], [tex]n_1=8[/tex], [tex]n_2=-3[/tex] (se descarta).
Es un octógono: [tex]8[/tex] lados y [tex]20[/tex] diagonales.

Solución:
Sea [tex]x[/tex] cm el cateto menor; el otro mide [tex]x+8[/tex]. El área de un triángulo rectángulo es la mitad del producto de los catetos:
[tex]\frac{x(x+8)}{2}=154[/tex], [tex]x^2+8x-308=0[/tex].
[tex]D=64+1232=1296=36^2[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{-8\pm 36}{2}[/tex], [tex]x_1=14[/tex], [tex]x_2=-22[/tex] (se descarta).
Los catetos miden [tex]14[/tex] cm y [tex]22[/tex] cm.

Solución:
Sean los números [tex]x[/tex], [tex]x+2[/tex], [tex]x+4[/tex]. Entonces
[tex]x^2+(x+2)^2=(x+4)^2[/tex]
[tex]2x^2+4x+4=x^2+8x+16[/tex]
[tex]x^2-4x-12=0[/tex], [tex](x-6)(x+2)=0[/tex], [tex]x=6[/tex] o [tex]x=-2[/tex].
[tex]-2[/tex] no es natural, así que los números son [tex]6[/tex], [tex]8[/tex], [tex]10[/tex]: [tex]36+64=100[/tex].

Solución:
[tex]D=(7\sqrt{3})^2-4\times 6\times(-15)=147+360=507=169\times 3[/tex], así que [tex]\sqrt{D}=13\sqrt{3}[/tex].
[tex]x_{1,2}=\frac{-7\sqrt{3}\pm 13\sqrt{3}}{12}[/tex]
[tex]x_1=\frac{6\sqrt{3}}{12}=\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex], [tex]x_2=\frac{-20\sqrt{3}}{12}=-\frac{5\sqrt{3}}{3}[/tex].

Solución:
[tex]D=9a^2+16a^2=25a^2[/tex], así que [tex]\sqrt{D}=5|a|[/tex] y [tex]x_{1,2}=\frac{-3a\pm 5a}{2}[/tex] (el signo de [tex]a[/tex] no importa por el [tex]\pm[/tex]).
[tex]x_1=a[/tex], [tex]x_2=-4a[/tex].
Comprobación factorizando: [tex](x-a)(x+4a)=x^2+3ax-4a^2[/tex].
Para [tex]a=0[/tex] las raíces coinciden: [tex]x=0[/tex].

Solución:
Agrupamos los términos de dos en dos:
[tex]x^2(x-3)-4(x-3)=(x-3)(x^2-4)=(x-3)(x-2)(x+2)=0[/tex].
Las raíces son [tex]x_1=3[/tex], [tex]x_2=2[/tex], [tex]x_3=-2[/tex].

Solución:
Sustituimos en la fórmula: [tex]f(2x)=2x-3[/tex], [tex]f(5)=5-3=2[/tex].
[tex](x-3)(2x-3)=2[/tex], [tex]2x^2-9x+9=2[/tex], [tex]2x^2-9x+7=0[/tex].
[tex]D=81-56=25[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{9\pm 5}{4}[/tex], [tex]x_1=\frac{7}{2}[/tex], [tex]x_2=1[/tex].

Solución:
Si en [tex]ax^2+bx+c=0[/tex] se cumple [tex]a+b+c=0[/tex], entonces [tex]c=-a-b[/tex] y
[tex]ax^2+bx-a-b=a(x^2-1)+b(x-1)=(x-1)(ax+a+b)[/tex].
Por lo tanto, [tex]x_1=1[/tex] y [tex]x_2=-\frac{a+b}{a}=\frac{c}{a}[/tex].
Aquí [tex]2019-2000-19=0[/tex], así que [tex]x_1=1[/tex], [tex]x_2=-\frac{19}{2019}[/tex].

Solución:
Sustituimos [tex]y=\frac{1}{2}[/tex]: [tex]\frac{a-5}{4}-\frac{a-2}{2}+a=0[/tex].
Multiplicamos por [tex]4[/tex]: [tex]a-5-2a+4+4a=0[/tex], [tex]3a-1=0[/tex], [tex]a=\frac{1}{3}[/tex].
La ecuación queda [tex]-\frac{14}{3}y^2+\frac{5}{3}y+\frac{1}{3}=0[/tex]; multiplicando por [tex]-3[/tex]: [tex]14y^2-5y-1=0[/tex].
[tex]D=25+56=81[/tex], [tex]y_{1,2}=\frac{5\pm 9}{28}[/tex], [tex]y_1=\frac{1}{2}[/tex], [tex]y_2=-\frac{1}{7}[/tex].

Solución:
La expresión [tex]x^2-5x[/tex] aparece dos veces, así que hacemos el cambio [tex]t=x^2-5x[/tex]:
[tex]t^2-8t-84=0[/tex], [tex]D=64+336=400[/tex], [tex]t_{1,2}=\frac{8\pm 20}{2}[/tex], [tex]t_1=14[/tex], [tex]t_2=-6[/tex].
[tex]x^2-5x=14[/tex]: [tex]x^2-5x-14=0[/tex], [tex](x-7)(x+2)=0[/tex], [tex]x=7[/tex] o [tex]x=-2[/tex].
[tex]x^2-5x=-6[/tex]: [tex]x^2-5x+6=0[/tex], [tex](x-2)(x-3)=0[/tex], [tex]x=2[/tex] o [tex]x=3[/tex].
La ecuación tiene cuatro raíces: [tex]-2[/tex], [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]7[/tex].

Solución:
Sean los números [tex]x[/tex] y [tex]x+1[/tex]. Entonces
[tex](x+1)^3-x^3=3x^2+3x+1=61[/tex], es decir, [tex]x^2+x-20=0[/tex].
[tex](x+5)(x-4)=0[/tex], [tex]x=4[/tex] o [tex]x=-5[/tex].
Ambos valores son enteros, así que hay dos parejas: [tex]4[/tex], [tex]5[/tex] y [tex]-5[/tex], [tex]-4[/tex].
Comprobación: [tex]125-64=61[/tex] y [tex](-4)^3-(-5)^3=-64+125=61[/tex].

Solución:
Multiplicamos en cruz: [tex](2x-1)(2x+2)=(7x-1)(x-1)[/tex]
[tex]4x^2+4x-2x-2=7x^2-7x-x+1[/tex] [tex]4x^2+2x-2=7x^2-8x+1[/tex] [tex]3x^2-10x+3=0[/tex]. El discriminante es [tex]D=10^2-4\cdot 3\cdot 3=100-36=64=8^2[/tex]. Las raíces son [tex]x_{1,2}=\frac{10 \pm 8}{2 \cdot 3}[/tex]. [tex]x_1=\frac{10-8}{2\cdot3}=\frac{2}{2\cdot3}=\frac{1}{3}[/tex]. [tex]x_2=\frac{10+8}{2\cdot 3}=\frac{18}{6}=3[/tex]

Solución:
Se necesita [tex]D>0[/tex]:
[tex]D=(m+2)^2-4(5m+1)=m^2+4m+4-20m-4=m^2-16m=m(m-16)>0[/tex].
La expresión [tex]m(m-16)[/tex] es positiva fuera de sus raíces [tex]0[/tex] y [tex]16[/tex].
Respuesta: [tex]m<0[/tex] o [tex]m>16[/tex].

Solución:
Se necesita [tex]D<0[/tex]:
[tex]D=(4k-1)^2-8(2k^2-1)=16k^2-8k+1-16k^2+8=9-8k[/tex].
[tex]9-8k<0[/tex], de donde [tex]k>\frac{9}{8}[/tex].
Observe que los términos con [tex]k^2[/tex] se cancelan y la condición es una desigualdad lineal.

Solución:
Caso [tex]a=12[/tex]: la ecuación queda [tex]3=0[/tex], que no tiene soluciones. Así que [tex]a=12[/tex] sirve.
Caso [tex]a\ne 12[/tex]: la ecuación es cuadrática y se necesita [tex]\frac{D}{4}<0[/tex]:
[tex]\frac{D}{4}=(a-12)^2-3(a-12)=(a-12)(a-15)<0[/tex], es decir, [tex]12\lt a<15[/tex], o sea, [tex]a=13[/tex] o [tex]a=14[/tex].
Respuesta: [tex]a\in\{12; 13; 14\}[/tex]. El valor [tex]a=12[/tex] se olvida fácilmente si solo se mira el discriminante.

Solución:
Sea [tex]x[/tex] cm el ancho del fondo. La foto con el fondo es un rectángulo de [tex](12+2x)[/tex] por [tex](18+2x)[/tex].
La foto tiene área [tex]12\times 18=216[/tex], así que la foto con el fondo tiene área [tex]2\times 216=432[/tex]:
[tex](12+2x)(18+2x)=432[/tex], [tex]4x^2+60x+216=432[/tex], [tex]x^2+15x-54=0[/tex].
[tex]D=225+216=441[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{-15\pm 21}{2}[/tex], [tex]x_1=3[/tex], [tex]x_2=-18[/tex] (se descarta).
El fondo mide [tex]3[/tex] cm de ancho.

Solución:
Sean [tex]x[/tex] los esquiadores esperados. La porción prevista era [tex]\frac{150}{x}[/tex] y la real [tex]\frac{150}{x+10}[/tex]:
[tex]\frac{150}{x}-\frac{150}{x+10}=\frac{1}{6}[/tex].
El lado izquierdo vale [tex]\frac{1500}{x(x+10)}[/tex], así que [tex]x(x+10)=9000[/tex], [tex]x^2+10x-9000=0[/tex].
[tex]D=100+36000=36100=190^2[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{-10\pm 190}{2}[/tex], [tex]x_1=90[/tex], [tex]x_2=-100[/tex] (se descarta).
Se esperaban [tex]90[/tex] esquiadores (llegaron [tex]100[/tex]).

Solución:
Sea [tex]x[/tex] km por día lo que asfalta la cuadrilla más lenta; la más rápida asfalta [tex]4{,}5-x[/tex]. La más lenta trabaja un día más:
[tex]\frac{10}{x}-\frac{10}{4{,}5-x}=1[/tex].
Multiplicamos por [tex]x(4{,}5-x)[/tex]: [tex]45-10x-10x=4{,}5x-x^2[/tex], es decir, [tex]x^2-24{,}5x+45=0[/tex], o bien [tex]2x^2-49x+90=0[/tex].
[tex]D=2401-720=1681=41^2[/tex], [tex]x_{1,2}=\frac{49\pm 41}{4}[/tex], [tex]x_1=2[/tex], [tex]x_2=22{,}5[/tex].
[tex]22{,}5[/tex] es imposible (más que las dos cuadrillas juntas), así que asfaltaron [tex]2[/tex] km y [tex]2{,}5[/tex] km por día ([tex]5[/tex] y [tex]4[/tex] días).

Solución:
Número de equipos: cada uno de los [tex]n[/tex] equipos juega [tex]n-1[/tex] partidos en casa, así que hay [tex]n(n-1)[/tex] partidos.
[tex]n(n-1)=380[/tex], [tex]n^2-n-380=0[/tex], [tex]D=1+1520=1521=39^2[/tex], [tex]n=\frac{1+39}{2}=20[/tex].
Puntos: un partido con ganador reparte [tex]3[/tex] puntos en total y un empate [tex]2[/tex] puntos en total. Sean [tex]W[/tex] los partidos con victoria y [tex]380-W[/tex] los empates:
[tex]3W+2(380-W)=994[/tex], [tex]W+760=994[/tex], [tex]W=234[/tex].
Respuesta: [tex]20[/tex] equipos, [tex]234[/tex] partidos terminaron con victoria.

Solución:
Sean [tex]x[/tex] filas de [tex]y[/tex] butacas antes de la reforma: [tex]xy=320[/tex] y [tex](x+1)(y+4)=420[/tex].
Desarrollando la segunda: [tex]xy+4x+y+4=420[/tex], así que [tex]4x+y=96[/tex] e [tex]y=96-4x[/tex].
[tex]x(96-4x)=320[/tex], [tex]x^2-24x+80=0[/tex], [tex]x_1=20[/tex], [tex]x_2=4[/tex].
Con [tex]x=4[/tex] cada fila tendría [tex]y=80>25[/tex] butacas, imposible. Así que [tex]x=20[/tex], [tex]y=16[/tex].
Después de la reforma hay [tex]21[/tex] filas de [tex]20[/tex] butacas.

Solución:
Sea [tex]a[/tex] la cifra de las unidades; la de las decenas es [tex]a-2[/tex]. El número es [tex]10(a-2)+a=11a-20[/tex] y la suma de cifras [tex]2a-2[/tex].
[tex](11a-20)(2a-2)=952[/tex], [tex]22a^2-62a+40=952[/tex], [tex]11a^2-31a-456=0[/tex].
[tex]D=961+20064=21025=145^2[/tex], [tex]a_{1,2}=\frac{31\pm 145}{22}[/tex], [tex]a_1=8[/tex], la otra raíz es negativa.
El número es [tex]68[/tex]. Comprobación: [tex]68\times 14=952[/tex].

Solución:
Sea la chapa de [tex]L[/tex] por [tex]W[/tex]; entonces [tex]L+W=48[/tex]. La base de la caja es [tex](L-8)[/tex] por [tex](W-8)[/tex] y la altura [tex]4[/tex]:
[tex]4(L-8)(W-8)=768[/tex], así que [tex](L-8)(W-8)=192[/tex].
Con [tex]W=48-L[/tex]: [tex](L-8)(40-L)=192[/tex], [tex]L^2-48L+512=0[/tex], [tex]D=2304-2048=256[/tex], [tex]L=32[/tex] o [tex]L=16[/tex].
La chapa es de [tex]32[/tex] por [tex]16[/tex], así que la base de la caja es [tex]24[/tex] por [tex]8[/tex] y la razón es [tex]24:8=3[/tex].

Solución:
Sea [tex]q=1+\frac{p}{100}[/tex], donde [tex]p\%[/tex] es el tipo de interés. En un año el depósito se multiplica por [tex]q[/tex]:
[tex](1640q-882)q=882[/tex], así que [tex]1640q^2-882q-882=0[/tex], o bien [tex]820q^2-441q-441=0[/tex].
[tex]D=441^2+4\times 820\times 441=441\times 3721=1281^2[/tex], [tex]q=\frac{441+1281}{1640}=\frac{1722}{1640}=1{,}05[/tex] (la otra raíz es negativa).
El tipo de interés es del [tex]5\%[/tex].

Solución:
Sea [tex]f(x)=ax^2+bx+c[/tex]. Entonces [tex]f(0)=c<0[/tex] y [tex]f(1)=a+b+c>0[/tex].
La gráfica de [tex]f[/tex] es una línea continua (una parábola); en [tex]x=0[/tex] está por debajo del eje [tex]x[/tex] y en [tex]x=1[/tex] por encima, así que corta el eje entre [tex]0[/tex] y [tex]1[/tex]. Por lo tanto, la ecuación tiene una raíz en [tex](0; 1)[/tex].
Las demás afirmaciones pueden fallar: [tex]-x^2+3x-1=0[/tex] cumple las condiciones con [tex]a<0[/tex]; [tex]3x^2-x-1=0[/tex] las cumple con [tex]b<0[/tex]; y siempre hay raíces reales, como se vio.

Solución:
Sea [tex]x_0[/tex] una raíz común. Restamos la segunda igualdad de la primera:
[tex]-qx_0+5-5x_0+q=0[/tex], es decir, [tex](q+5)(1-x_0)=0[/tex].
Si [tex]x_0=1[/tex]: [tex]1-q+5=0[/tex], así que [tex]q=6[/tex]. Comprobación: [tex]x^2-6x+5=0[/tex] tiene raíces [tex]1[/tex], [tex]5[/tex], y [tex]x^2+5x-6=0[/tex] tiene raíces [tex]1[/tex], [tex]-6[/tex].
Si [tex]q=-5[/tex]: ambas ecuaciones quedan [tex]x^2+5x+5=0[/tex] ([tex]D=5>0[/tex]), así que tienen raíces comunes.
Respuesta: [tex]q=6[/tex] o [tex]q=-5[/tex].

Solución:
[tex](px+r)^2=p^2x^2+2prx+r^2[/tex] tiene coeficiente principal positivo y discriminante nulo. Así que se necesita [tex]a-1>0[/tex] y [tex]\frac{D}{4}=0[/tex].
[tex]\frac{D}{4}=a^2-(a-1)(3a-2)=-2a^2+5a-2=0[/tex], es decir, [tex]2a^2-5a+2=0[/tex], [tex]a=2[/tex] o [tex]a=\frac{1}{2}[/tex].
Con ambos valores la ecuación [tex]f(x)=0[/tex] tiene dos raíces iguales, pero:
[tex]a=2[/tex]: [tex]f(x)=x^2+4x+4=(x+2)^2[/tex], un cuadrado perfecto;
[tex]a=\frac{1}{2}[/tex]: [tex]f(x)=-\frac{1}{2}x^2+x-\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}(x-1)^2[/tex], coeficiente principal negativo, no es un cuadrado.
Respuesta: [tex]a=2[/tex].

Solución:
Caso [tex]a=0[/tex]: la ecuación es lineal, [tex]2x+3=0[/tex], con la única raíz [tex]x=-\frac{3}{2}[/tex].
Caso [tex]a\ne 0[/tex]: la ecuación es cuadrática; tiene una raíz (doble) cuando [tex]\frac{D}{4}=0[/tex]:
[tex]\frac{D}{4}=(a+1)^2-a(a+3)=1-a=0[/tex], así que [tex]a=1[/tex]. Entonces [tex]x^2+4x+4=0[/tex], [tex]x=-2[/tex].
Respuesta: [tex]a=0[/tex] o [tex]a=1[/tex].
(Para [tex]a<1[/tex], [tex]a\ne 0[/tex] hay dos raíces, y para [tex]a>1[/tex] ninguna.)