Координатная плоскость - сложные задачи с решениями

Решение:
Если точка А находится на оси x, то расстояние от точки А до оси x равно 0, а значит a = 0.

Решение:
Если точка В находится на оси y, то расстояние от В до оси y равно 0, значит а = 0.

Решение:
Так как точка находится во II квадранте, то первая её координата будет отрицательной, а вторая - положительной. Так как точка находится в 4 единицах от оси y, то её первая координата будет -4. А так как она находится в 2 единицах от оси x, то вторая координата будет 2. Так координаты точки будут (-4, 2).

Решение:
Так как точка находится в квадранте III, то обе её координаты отрицательные. Так как расстояние до оси x 4 единицы, то первая координата будет равна -4. Так как расстояние до оси y 3 единицы, то вторая координата равна -3. Так координатами точки будут (-3, -4).

Решение:
Так как точка находится в квадранте I, то обе координаты будут положительные. Раз расстояние до оси x равно 3 единицам, то вторая координата будет 3. А так как расстояние до оси y равно 2 единицам, то первая координата будет 2. Так координаты точки будут (2, 3).

Решение:
Так как точка находится в квадранте IV, то первая координата положительная, а вторая отрицательная. Так как расстояние до оси y равно 1, то первая координата 1. Так как расстояние до оси x равно 4, то вторая координата -4. Таким образом координаты точки (1, -4).

Решение:
Так как у точек одинаковая y координата, то AB параллелен оси x. Расстояние между двумя точками равно разности координат x. Так расстояние между точками А и В равно 4 - 1 = 3 единицы.

Решение:
Длина АВ равна расстоянию от А до В. Так как у обоих точек одинаковая координата y, то АВ параллелен оси x. Так длина АВ равна разности координат x, значит 2 - (-3) = 2 + 3 = 5.

Решение:
Длина АВ равна расстоянию от А до В. Так как у обоих точек одинаковая координата x, то АВ параллелен оси y. Так длина АВ равна разности координат y, значит 6 - 2 = 4.

Решение:
Точка симметричная точке A относительно точке В это точка A', которая находится на той же самой прямой, что и А и В. Так В находится на полпути от A до A'. Расстояние от A' до оси y на 6 единиц больше, таким образом её первая координата равна 8. А расстояние до оси x такое же, поэтому её вторая координата равна 3.
Таким образом координаты точки A' (8; 3).

Решение:
Длина АВ равна расстоянию между точками А и В. Так как у точек одинаковая координата x, то АВ параллелен оси y. Значит длина АВ равна разности y координат, так 3 - (-5) = 8.

Решение:
Длина АВ равна расстоянию между точкам А и В. Так как у обоих точек одинаковая координата y, то АВ параллелен оси y. Так длина АВ равна разности координат y, таким образом 5 - (-1) = 5 + 1 = 6.

Решение:
Так как координаты точки А (3, 3), АВ расположен горизонтально, то у точки В будет такая же y координата. Так как длина АВ равна 4, то координата x точки В равна 3 + 4 = 7. Так у точки В координаты (7, 3).

Решение:
Так как координаты точки А (3; 3) и АВ расположен вертикально, то у точки В такая же координата x как и у точки А. Так как длина АВ равна 4, то y координата точки В равна 3 - 4 = -1. Таким образом координаты точки В (3; -1).

Решение:
Так как АВ расположен горизонтально, то координата y точки В равна 1, а координата x равна 1 + 2 = 3. Таким образом координаты В (3; 1). Так как ВС расположен вертикально, то x координата точки С равна 3, а y координата равна 1 + 1 = 2. Таким образом координаты точки С равны (3; 2).

Решение:
Так как длина всех горизонтальных линий равна 1, то координата x точки В равна 1 + 4 = 5.
Так как длина всех вертикальных линий одна единица, то y координата точки В равна -3 + 5 = 2.
Координаты точки В (5; 2).

Решение:
Пересечение с осью [tex]Oy[/tex] ([tex]x=0[/tex]): [tex]y=2[/tex], точка [tex](0; 2)[/tex].
Пересечение с осью [tex]Ox[/tex] ([tex]y=0[/tex]): [tex]-0{,} 5x+2=0 \Rightarrow x=4[/tex], точка [tex](4; 0)[/tex].
Треугольник прямоугольный с катетами [tex]2[/tex] и [tex]4[/tex]:
[tex]S=\frac{2\cdot 4}{2}=4[/tex]

Решение:
Прямая, проходящая через начало координат, — график прямой пропорциональности [tex]y=kx[/tex].
[tex]N(-4; 3)[/tex]: [tex]3=k(-4) \Rightarrow k=-\frac{3}{4}[/tex]
[tex]x=-3[/tex]: [tex]y=-\frac{3}{4}\cdot (-3)=\frac{9}{4}=2{,} 25[/tex]

Решение:
[tex]y=3\cdot 2=6 \Rightarrow A(2; 6)[/tex]
[tex]9=3x \Rightarrow x=3 \Rightarrow B(3; 9)[/tex]
У [tex]A[/tex] и [tex]C[/tex] одинаковая ордината, а у [tex]B[/tex] и [tex]C[/tex] – одинаковая абсцисса, поэтому угол при [tex]C[/tex] прямой: [tex]AC=3-2=1[/tex], [tex]BC=9-6=3[/tex].
[tex]S=\frac{1\cdot 3}{2}=1{,} 5[/tex]

Решение:
Ни одна сторона не параллельна осям, поэтому опишем около треугольника прямоугольник со сторонами, параллельными осям: [tex]-5\le x\le 0[/tex], [tex]0\le y\le 4[/tex]. Его площадь [tex]5\cdot 4=20[/tex].
Вычтем три прямоугольных треугольника вне [tex]ABC[/tex]:
[tex]AB[/tex]: [tex]\frac{5\cdot 3}{2}=7{,} 5[/tex]
[tex]BC[/tex]: [tex]\frac{4\cdot 1}{2}=2[/tex]
[tex]CA[/tex]: [tex]\frac{1\cdot 4}{2}=2[/tex]
[tex]S=20-7{,} 5-2-2=8{,} 5[/tex]

Решение:
[tex]B[/tex], [tex]D[/tex], [tex]F[/tex] и [tex]H[/tex] — вершины квадрата со стороной [tex]4-(-4)=8[/tex] и площадью [tex]8\cdot 8=64[/tex].
Вне квадрата остаются четыре равных треугольника, например [tex]HAB[/tex] с основанием [tex]HB=8[/tex] и высотой [tex]5-4=1[/tex]; его площадь [tex]\frac{8\cdot 1}{2}=4[/tex].
[tex]S=64+4\cdot 4=80[/tex]

Решение:
Опишем около четырёхугольника прямоугольник [tex]-3\le x\le 4[/tex], [tex]-3\le y\le 3[/tex] площадью [tex]7\cdot 6=42[/tex].
Вне [tex]ABCD[/tex] остаются четыре прямоугольных треугольника и один маленький прямоугольник:
[tex]AB[/tex]: [tex]\frac{5\cdot 1}{2}=2{,} 5[/tex]
[tex]BC[/tex]: [tex]\frac{2\cdot 6}{2}=6[/tex]
[tex]CD[/tex]: [tex]\frac{6\cdot 2}{2}=6[/tex]
[tex]DA[/tex]: [tex]\frac{1\cdot 3}{2}=1{,} 5[/tex]
прямоугольник в левом верхнем углу: [tex]1\cdot 2=2[/tex]
[tex]S=42-(2{,} 5+6+6+1{,} 5+2)=42-18=24[/tex]

Решение:
Подставим [tex]x=p-1[/tex] и [tex]y=3p+1[/tex]:
[tex]3p+1=3(p-1)-2[/tex]
[tex]3p+1=3p-5[/tex]
[tex]1=-5[/tex], что неверно ни при каком [tex]p[/tex].
Действительно, все точки [tex](p-1; 3p+1)[/tex] лежат на прямой [tex]y=3x+4[/tex], параллельной прямой [tex]y=3x-2[/tex]. Значит, такого [tex]p[/tex] не существует.

Решение:
Прямые [tex]y=1[/tex] и [tex]y=3[/tex] параллельны (оси [tex]Ox[/tex]), параллельны и [tex]y=3x+3[/tex] и [tex]y=3x+6[/tex] (одинаковый угловой коэффициент [tex]3[/tex]). Четырёхугольник — параллелограмм.
Вершины на прямой [tex]y=1[/tex]: [tex]3x+3=1 \Rightarrow x=-\frac{2}{3}[/tex] и [tex]3x+6=1 \Rightarrow x=-\frac{5}{3}[/tex].
Сторона на прямой [tex]y=1[/tex] имеет длину [tex]-\frac{2}{3}-\left(-\frac{5}{3}\right)=1[/tex].
Высота равна расстоянию между [tex]y=1[/tex] и [tex]y=3[/tex]: [tex]h=2[/tex].
[tex]S=1\cdot 2=2[/tex]