Meni
❌
Početna strana
Algebra
Geometrija
Zadaci iz matematike
Testovi
Viša matematika
Program za rešavanje
GLAVNI MENI
1 razred
Sabiranje i oduzimanje do 10
Poređenje brojeva do 10
Sabiranje i oduzimanje do 20
Sabiranje i oduzimanje do 10 ili 20
2 razred
Sabiranje i oduzimanje do 100
Množenje do 5
Tablica množenja
Deljenje
3 razred
Sabiranje, množenje, deljenje
Zaokrugljivanje
Obim
4 razred
Sabiranje i oduzimanje do 1000
Sabiranje, množenje, deljenje
Sabiranje i oduzimanje
Površina kvadrata i pravougaonika
5 razred
Deljivost sa 2, 3, 4, 5, 9
Površina kvadrata i pravougaonika
Razlomci
Jednakost razlomaka
Najmanji zajednički sadržalac
Sabiranje i oduzimanje
Množenje i deljenje razlomaka
Operacije
Mešoviti brojevi
Decimalni brojevi
6 razred
Celi brojevi
Koordinatni sistem
Procenti
Tekstualni zadaci
Izrazi
Uprošćavanje algebarskih izraza
Polinomi
Razlaganje polinoma
Polinomi
7 razred
Kvadratne jednačine
Vijetove formule
8 razred
Sistem linearnih jednačina
Jednačine
Parametarska linearna jednačina
Eksponenti zadaci
Korenovanje
Stepenovanje
Racionalne nejednačine
Progresija
Aritmetička progresija
Geometrijska progresija
Progresija
Brojevni nizovi
Recipročne jednačine
Logaritmi
Logaritamski izrazi
Logaritamske jednačine
Trigonometrija
Trigonometrija
Trigonometrijski identiteti
Trigonometrija
Ekstremne vrednosti funkcija
Geometrija
Talesova teorema
Sinusna teorema
Kosinusna teorema
Verovatnoća
Granična vrednost funkcije
Pitagorina teorema
Nagib prave
Kompleksni brojevi
Inverzne trigonometrijske funkcije
Analitička geometrija
Analitička geometrija
Konusni preseci
Početna strana
Zadaci
Zadaci iz trigonometrije
Laki
Srednje teški
Teži
Zadaci iz trigonometrije - teži zadaci sa rešenjima
Zadatak 1
Ako [tex]x+y+z=\pi[/tex] dokaži trigonometrijski identit
[tex]ctg{\frac{x}{2}}+ctg{\frac{y}{2}}+ctg\frac{z}{2}=ctg{\frac{x}{2}}ctg{\frac{y}{2}}ctg{\frac{z}{2}}[/tex]
Rešenje:
[tex]x+y+z=\pi[/tex], pa je [tex]{\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}}={\frac{\pi}{2}}-{\frac{z}{2}}; {\frac{z}{2}}={\frac{\pi}{2}}-({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})[/tex]. Zbog toga što je [tex]ctg\alpha={\frac{1}{tg\alpha}}[/tex], dobijemo [tex]ctg\alpha={\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}[/tex]. Onda je [tex]ctg{\frac{x}{2}}+ctg{\frac{y}{2}}+ctg{\frac{z}{2}}={\frac{cos{\frac{x}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}+cos{\frac{y}{2}}sin{\frac{x}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{sin({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}=cos{\frac{z}{2}}\cdot{\frac{sin{\frac{z}{2}}+sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}\cdot{\frac{cos({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})+sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}\cdot{\frac{cos{\frac{x}{2}}cos{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}=ctg{\frac{x}{2}}ctg{\frac{y}{2}}ctg{\frac{z}{2}}[/tex].
Zadatak 2
Pronađi maksimalnu vrednost za 5cosA + 12sinA + 12
Rešenje:
5cosA +12sinA + 12 = 13(5/13 cosA +12/13sinA) + 12
Sada, za bilo koju vrednost B možemo dobiti sinB = 5/13 i možemo zameniti cosB = 12/13.
Vidimo da je naša pretpostavka tačna zato što zadovoljavamo uslov sin^2B + cos^2B = 1 pa tako dobijemo 13(sinBcosA +cosBsinA) + 12 =13(sin(A+B))+12.
Odatle znamo da je minimalna vrednost of sinx=-1 a veća je 1. Najveća vrednost je kada je sin(A + B) = 1 onda vrednost izraza postaje 13.1 + 12 = 25
Zadatak 3
Pronađi minimalnu vrednost 5cosA + 12sinA + 12
Rešenje:
5cosA +12sinA + 12 = 13(5/13 cosA +12/13sinA) + 12
Sada, za bilo koju vrednost B možemo dobiti sinB =5/13 i možemo zameniti cosB = 12/13.
Vidimo da je naša pretpostavka tačna jer zadovoljava uslov da je sin^2B + cos^2B=1 pa onda dobijamo 13(sinBcosA +cosBsinA) + 12 =13(sin(A+B))+12. Odatle znamo da je minimalna vrednost od sinx=-1 i veća je 1 tako da najmanja vrednost izraza postaje kada je sin(A+B) =-1 onda vrednost celog izrazra postaje 13.(-1) + 12 = -13 +12 = -1
Zadatak 4
Ako je [tex]\sin A + \sin^2 A = 1[/tex] i [tex]a \cos^{12} A + b \cos^8 A + c \cos^6 A - 1 = 0[/tex] onda [tex]b+\frac{c}{a}+b = ?[/tex]
Rešenje:
[tex]\sin A = 1 - \sin^2 A[/tex]
[tex]\sin A = \cos^2 A[/tex]
[tex]\sin^2 A = \cos^4 A[/tex]
[tex]1 - \cos ^2 A = \cos^4 A[/tex]
[tex]1 = \cos^4 A + \cos^2 A[/tex]
[tex]1^3 = (\cos^4 A + \cos^2 A)^3[/tex] pomoću formule [tex](a+b)^3[/tex]
[tex]1 = \cos^{12} A + 3 \cos^{10} A +3 \cos^8 A + \cos^6 A [/tex]
Prebacivanjem broja 1 na drugu stranu dobijemo izraz koji je dat u pitanju. Poređenjem koeficijenata dobijamo [tex]a = 1[/tex], [tex]b = 3[/tex], [tex]c = 3[/tex], [tex]d = 1[/tex] otuda je vrednost [tex]b +\frac{c}{a}+b = \frac{3 + 3}{1 + 1} = \frac{6}{2} = 3[/tex]
Laki
Srednje teški
Teži
Ovde pošalji zadatak.
Tekst zadatka:
Rešenje:
Odgovor:
Tvoje ime (ukoliko želiš da bude objavljeno):
Email (bićeš obavešten/a kada zadatak bude objavljen)
Beleške
: koristi [tex][/tex] (kao na forumu ako bi želeo/la da koristiš LaTeX).
Pravilne:
Pogrešne:
Nerešeni zadaci:
Kontakt imejl:
Autor
© 2005 - 2021