Zadaci iz trigonometrije - teži zadaci sa rešenjima

Rešenje:
[tex]x+y+z=\pi[/tex], pa je [tex]{\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}}={\frac{\pi}{2}}-{\frac{z}{2}}; {\frac{z}{2}}={\frac{\pi}{2}}-({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})[/tex]. Zbog toga što je [tex]ctg\alpha={\frac{1}{tg\alpha}}[/tex], dobijemo [tex]ctg\alpha={\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}[/tex]. Onda je [tex]ctg{\frac{x}{2}}+ctg{\frac{y}{2}}+ctg{\frac{z}{2}}={\frac{cos{\frac{x}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}+cos{\frac{y}{2}}sin{\frac{x}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{sin({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}+{\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}=cos{\frac{z}{2}}\cdot{\frac{sin{\frac{z}{2}}+sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}sin{\frac{z}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}\cdot{\frac{cos({\frac{x}{2}}+{\frac{y}{2}})+sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}={\frac{cos{\frac{z}{2}}}{sin{\frac{z}{2}}}}\cdot{\frac{cos{\frac{x}{2}}cos{\frac{y}{2}}}{sin{\frac{x}{2}}sin{\frac{y}{2}}}}=ctg{\frac{x}{2}}ctg{\frac{y}{2}}ctg{\frac{z}{2}}[/tex].

Rešenje:
5cosA +12sinA + 12 = 13(5/13 cosA +12/13sinA) + 12
Sada, za bilo koju vrednost B možemo dobiti sinB = 5/13 i možemo zameniti cosB = 12/13.
Vidimo da je naša pretpostavka tačna zato što zadovoljavamo uslov sin^2B + cos^2B = 1 pa tako dobijemo 13(sinBcosA +cosBsinA) + 12 =13(sin(A+B))+12.
Odatle znamo da je minimalna vrednost of sinx=-1 a veća je 1. Najveća vrednost je kada je sin(A + B) = 1 onda vrednost izraza postaje 13.1 + 12 = 25

Rešenje:
5cosA +12sinA + 12 = 13(5/13 cosA +12/13sinA) + 12
Sada, za bilo koju vrednost B možemo dobiti sinB =5/13 i možemo zameniti cosB = 12/13.
Vidimo da je naša pretpostavka tačna jer zadovoljava uslov da je sin^2B + cos^2B=1 pa onda dobijamo 13(sinBcosA +cosBsinA) + 12 =13(sin(A+B))+12. Odatle znamo da je minimalna vrednost od sinx=-1 i veća je 1 tako da najmanja vrednost izraza postaje kada je sin(A+B) =-1 onda vrednost celog izrazra postaje 13.(-1) + 12 = -13 +12 = -1

Rešenje:
[tex]\sin A = 1 - \sin^2 A[/tex]
[tex]\sin A = \cos^2 A[/tex]
[tex]\sin^2 A = \cos^4 A[/tex]
[tex]1 - \cos ^2 A = \cos^4 A[/tex]
[tex]1 = \cos^4 A + \cos^2 A[/tex]
[tex]1^3 = (\cos^4 A + \cos^2 A)^3[/tex] pomoću formule [tex](a+b)^3[/tex]
[tex]1 = \cos^{12} A + 3 \cos^{10} A +3 \cos^8 A + \cos^6 A [/tex]
Prebacivanjem broja 1 na drugu stranu dobijemo izraz koji je dat u pitanju. Poređenjem koeficijenata dobijamo [tex]a = 1[/tex], [tex]b = 3[/tex], [tex]c = 3[/tex], [tex]d = 1[/tex] otuda je vrednost [tex]b +\frac{c}{a}+b = \frac{3 + 3}{1 + 1} = \frac{6}{2} = 3[/tex]