Zadaci iz trigonometrije - teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
[tex]\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x)^2-(\sin^2x)^2[/tex]
[tex]=(\cos^2 x+\sin^2 x)(\cos^2 x-\sin^2 x)[/tex]             [tex]/a^2-b^2=(a+b)(a-b)[/tex]

[tex]=\cos^2x-\sin^2x[/tex]         [tex]/\cos^2 x+\sin^2 x = 1[/tex]
[tex]=\cos^2x-(1-\cos^2x)[/tex]         [tex]/\sin^2 x = 1 - \cos^2 x[/tex]

[tex]=2\cos^2x-1[/tex]

Rešenje:
[tex]tg4\alpha-{\frac{1}{cos4\alpha}}={\frac{tg4\alpha cos4\alpha-1}{cos4\alpha}}={\frac{sin4\alpha-1}{cos4\alpha}}={\frac{2sin2\alpha cos2\alpha-(sin^22\alpha+cos^22\alpha)}{cos^22\alpha-sin^22\alpha}}={\frac{-(cos^22\alpha-sin^22\alpha)^2}{(cos2\alpha-sin2\alpha)(cos2\alpha+sin2\alpha)}}={\frac{sin2\alpha-cos2\alpha}{sin2\alpha+cos2\alpha}}[/tex]

Rešenje:
[tex]{\frac{1-cos2x}{2}}+cos2x={\frac{1}{4}}; 1+cos2x={\frac{1}{2}}; cos2x=-{\frac{1}{2}}; 2x=2\kappa \pi \pm{\frac{2\pi}{3}}; x=\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{3}}[/tex].

Rešenje:
[tex]sin5x-cos7x=0; sin5x-sin({\frac{\pi}{2}}-7x)=0; 2sin(6x-{\frac{\pi}{4}})cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0; sin(6x-{\frac{\pi}{4}})cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0[/tex]. [tex]sin(6x-{\frac{\pi}{4}})=0;6x-{\frac{\pi}{4}}=\kappa \pi;x=\kappa{\frac{\pi}{6}}+{\frac{\pi}{24}}[/tex].
[tex]cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0; x-{\frac{\pi}{4}}=2\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{2}}, x=2\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{2}}+{\frac{\pi}{4}}[/tex].

Rešenje:
Koristeći [tex]\cos^2 x=1-\sin ^2 x[/tex], dobijamo kvadratnu jednačinu po [tex]\sin x[/tex]:
[tex]1-\sin ^2 x+\sin x=\frac{5}{4}\iff 4\sin ^2 x-4\sin x+1=0\iff(2\sin x-1)^2=0[/tex]
Dakle, [tex]\sin x=\frac{1}{2}[/tex], tj. [tex]x=\frac{\pi}{6}+2k\pi[/tex] ili [tex]x=\frac{5\pi}{6}+2k\pi,\ k\in\mathbb{Z}[/tex].

Rešenje:
[tex]2\sin ^2x+3\sin x \cos x+7\cos ^2x=6(\sin ^2x+\cos ^2x), 4\sin ^2x-3\sin x \cos x-\cos ^2x=0[/tex] pa je [tex]\cos x\ne0[/tex]. Onda podeli obe strane sa [tex]\cos ^2x[/tex]
[tex]{\frac{4\sin ^2x}{\cos ^2x}}-{\frac{3\sin x \cos x}{\cos ^2x}}-{\frac{\cos ^2x}{\cos ^2x}}=0;[/tex]
[tex]4\operatorname{tg} ^2x-3\operatorname{tg} x-1=0;\operatorname{tg} x={\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{8}}={\frac{3\pm5}{8}}.[/tex]
[tex]a)\operatorname{tg} x =1; x=k\pi +{\frac{\pi}{4}}.[/tex]
[tex]b)\operatorname{tg} x=-{\frac{1}{4}}; x\approx180^{\circ}k-14^{\circ}2'.[/tex]

Rešenje:
Primeni formulu: [tex]sin\alpha cos\beta={\frac{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}{2}}; {\frac{sin4x+sin2x}{2}}={\frac{sin12x+sin2x}{2}}; sin4x=sin12x; sin12x-sin4x=0; 2sin4x cos8x=0[/tex]. a) [tex]sin4x=0; 4x=\kappa\pi; x=\kappa{\frac{\pi}{4}}[/tex]. b)[tex]cos8x=0; 8x=2\kappa\pi\pm{\frac{\pi}{2}}; x=\kappa{\frac{\pi}{4}}\pm{\frac{x}{16}}[/tex].

Rešenje:
Koristićemo formule da bismo izrazili [tex]sin x[/tex] i [tex]cos x[/tex] kroz [tex]tg{\frac{x}{2}}[/tex]. Moramo da rešimo kvadratnu jednačinu za [tex]tg{\frac{x}{2}}[/tex]: [tex]3{\frac{1-tg^2{\frac{x}{2}}}{1+tg^2{\frac{x}{2}}}}+2\sqrt{3}\cdot{\frac{2tg{\frac{x}{2}}}{1+tg^2{\frac{x}{2}}}}={\frac{9}{2}}; 15tg^2{\frac{x}{2}}-8\sqrt{3}tg{\frac{x}{2}}+3=0[/tex]. a)[tex]tg{\frac{\sqrt{3}}{3}}; {\frac{x}{2}}=\kappa\pi+{\frac{\pi}{6}}; x=2\kappa\pi+{\frac{\pi}{3}}[/tex]. b)[tex]tg{\frac{x}{2}}={\frac{\sqrt{3}}{5}}; {\frac{x}{2}}\approx180^{\circ}\kappa+13^{\circ}; x\approx360^{\circ}\kappa+26^{\circ}[/tex].

Rešenje:
Iskoristimo formulu [tex]sin\alpha cos\alpha={\frac{sin2\alpha}{2}}; {\frac{sin2x}{2}}cos2x={\frac{1}{8}}; sin2x cos2x={\frac{1}{4}}[/tex]. Koristeći [tex]sin\alpha cos\alpha={\frac{sin2\alpha}{2}}[/tex] još jednom dobijemo: [tex]{\frac{sin4x}{2}}={\frac{1}{4}}; sin4x={\frac{1}{2}}; 4x=n\pi+(-1)^n{\frac{\pi}{24}}[/tex].

Rešenje:
Dodaj na levu stranu jednačine [tex]2sin^2x cos^2x[/tex] i [tex]-2sin^2x cos^2x[/tex]:
[tex]sin^4x+2sin^2cos^2x+2cos^4x-2sin^2x cos^2x={\frac{5}{8}}; 1-2\cdot({\frac{sin2x}{2}})^2={\frac{5}{8}}; {\frac{sin^22x}{2}}={\frac{3}{8}}; sin^22x={\frac{3}{4}}; sin2x=\pm{\frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex].
[tex]sin2x={\frac{\sqrt{3}}{2}}; 2x=n\pi+(-1)^2{\frac{\pi}{3}}; x=n{\frac{\pi}{2}}+(-1)^n{\frac{\pi}{6}}[/tex].

Rešenje:
Ako je [tex]cos x=0[/tex] onda [tex]sin x =0[/tex]. Ali [tex]sin x[/tex] i [tex]cos x[/tex] ne mogu istovremeno biti nula. Podelimo obe strane jednačine sa [tex]cos x[/tex]:[tex]{\frac{sin x}{cos x}}-{\frac{cos x}{sin x}}=0;tan x=1; x=\kappa \pi+{\frac{\pi}{4}}[/tex]

Rešenje:
Podelimo levu i desnu stranu jednačine sa [tex]\sqrt{2}[/tex]: [tex]{\frac{1}{\sqrt{2}}}sin x+{\frac{1}{\sqrt{2}}}cos x=sin5x; cos{\frac{\pi}{4}}sin x+sin{\frac{\pi}{4}}cos x=sin5x; sin(x+{\frac{\pi}{4}})=sin5x; sin5x-sin(x+{\frac{\pi}{4}})=0; 2sin(2x-{\frac{\pi}{8}})cos(3x+{\frac{\pi}{8}})=0[/tex].
[tex]sin(2x-{\frac{\pi}{8}})=0; 2x-{\frac{\pi}{8}}=n\pi; x=n{\frac{\pi}{2}}+{\frac{\pi}{16}}[/tex].

Rešenje:
Pretvorimo levu stranu jednačine [tex]sin3x=sin({\frac{\pi}{2}}-2x)[/tex]. Onda [tex]3x-({\frac{\pi}{2}}-2x)=2\kappa\pi[/tex] i [tex]3x+({\frac{\pi}{2}}-2x)=(2\kappa+1)\pi[/tex]. Dakle [tex]x={\frac{2\kappa\pi}{5}}+{\frac{\pi}{10}}[/tex] i [tex]x=(2\kappa+1)\pi-{\frac{\pi}{2}}[/tex].

Rešenje:
[tex]tg3x=tan({\frac{\pi}{2}}-2x)\cdot 3x-({\frac{\pi}{2}}-2x)=\kappa\pi; 5x=\kappa\pi+{\frac{\pi}{2}}; x=\kappa{\frac{\pi}{5}}+{\frac{\pi}{10}}[/tex].

Rešenje:
Funkcija [tex]\cos x[/tex] opada na [tex]\left[0; \pi\right][/tex] i raste na [tex]\left[\pi; 2\pi\right][/tex]. Funkcija [tex]-\cos x[/tex] se ponaša obrnuto, a dodavanje [tex]-1[/tex] ne menja monotonost. Dakle, [tex]f[/tex] raste na [tex]\left[0; \pi\right][/tex] i opada na [tex]\left[\pi; 2\pi\right][/tex]. Na [tex]\left[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right][/tex] i [tex]\left[\frac{\pi}{2}; \frac{3\pi}{2}\right][/tex] ona menja smer (u [tex]0[/tex] i u [tex]\pi[/tex]), pa tu nije rastuća.

Rešenje:
Funkcija je neparna ako je njen domen simetričan u odnosu na [tex]0[/tex] i [tex]f(-x)=-f(x)[/tex]. Za [tex]f(x)=\frac{1-\cos 5x}{x}[/tex] domen je [tex]x\ne 0[/tex] i, pošto je kosinus paran,
[tex]f(-x)=\frac{1-\cos(-5x)}{-x}=-\frac{1-\cos 5x}{x}=-f(x)[/tex]
Ostale tri funkcije nisu ni parne ni neparne; na primer, za [tex]y=\sin (x+1)[/tex] je [tex]y(-1)=0[/tex], ali [tex]y(1)=\sin 2\ne 0[/tex].

Rešenje:
Koristimo
[tex]\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}[/tex]
Funkcija [tex]\cos 2x[/tex] ima osnovni period [tex]\frac{2\pi}{2}=\pi[/tex], pa [tex]y[/tex] ima period [tex]\pi[/tex]. Manjeg pozitivnog perioda nema: [tex]y=1[/tex] samo za [tex]x=k\pi[/tex], a susedne takve tačke su na rastojanju [tex]\pi[/tex]. Broj [tex]2\pi[/tex] je takođe period, ali nije osnovni.

Rešenje:
Pošto je [tex]\cos^2 x\le 1[/tex], važi [tex]y\le-2[/tex]. Najveća vrednost [tex]-2[/tex] dostiže se kada je [tex]\cos^2 x=1[/tex], tj. [tex]\cos x=\pm 1[/tex], odakle je [tex]x=k\pi[/tex]. Na [tex]\left[0; 3\pi\right][/tex] to su [tex]0; \pi; 2\pi; 3\pi[/tex], tj. [tex]4[/tex] vrednosti.

Rešenje:
Napišimo
[tex]\sin (2x+1)=\sin 2\left(x+\frac{1}{2}\right)[/tex]
Ako je [tex]g(x)=\sin 2x[/tex], onda je [tex]y=g\left(x+\frac{1}{2}\right)[/tex]. Grafik [tex]g(x+a)[/tex] za [tex]a\gt 0[/tex] je grafik [tex]g[/tex] pomeren za [tex]a[/tex] jedinica ulevo. Dakle, grafik se pomera za [tex]\frac{1}{2}[/tex] (a ne za [tex]1[/tex]) ulevo i [tex]m=-\frac{1}{2}[/tex].

Rešenje:
Po formuli za sinus trostrukog ugla [tex]\sin 3x=3\sin x-4\sin ^3 x[/tex], tj. [tex]y=\sin 3x[/tex]. Kada [tex]x[/tex] prolazi kroz sve realne brojeve, i [tex]3x[/tex] prolazi kroz njih, pa [tex]y[/tex] uzima sve vrednosti od [tex]-1[/tex] do [tex]1[/tex]: skup vrednosti je [tex]\left[-1; 1\right][/tex].

Rešenje:
Broj [tex]2\pi[/tex] je period funkcija [tex]\sin x[/tex] i [tex]\tg x[/tex], pa je period i funkcije [tex]y[/tex]. Napišimo
[tex]y=\frac{\sin x(1+\cos x)}{\cos x}[/tex]
Njene nule su [tex]x=k\pi[/tex]. Ako je [tex]T[/tex] period, onda je [tex]y(T)=y(0)=0[/tex], tj. [tex]T[/tex] je nula; manji pozitivan period može biti samo [tex]\pi[/tex]. Ali [tex]y\left(\frac{\pi}{4}\right)=1+\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] i [tex]y\left(\frac{5\pi}{4}\right)=1-\frac{\sqrt{2}}{2}[/tex] su različiti. Dakle, osnovni period je [tex]2\pi[/tex].

Rešenje:
[tex]2\cos^2 x+\sin 2x=1+\cos 2x+\sin 2x=1+\sqrt{2}\sin \left(2x+\frac{\pi}{4}\right)[/tex]
Sinus uzima sve vrednosti iz [tex]\left[-1; 1\right][/tex], pa je skup vrednosti [tex]\left[1-\sqrt{2}; 1+\sqrt{2}\right][/tex].

Rešenje:
Koristeći [tex]2\sin A\cos B=\sin (A+B)+\sin (A-B)[/tex], dobijamo:
[tex]y=2\left(\sin 2\alpha+\sin \frac{\pi}{3}\right)=2\sin 2\alpha+\sqrt{3}[/tex]
Za [tex]\alpha\in\left(-\frac{\pi}{6}; \frac{\pi}{3}\right)[/tex] je [tex]2\alpha\in\left(-\frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}\right)[/tex]. Tu [tex]\sin 2\alpha[/tex] uzima sve vrednosti iz [tex]\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}; 1\right][/tex]: vrednost [tex]1[/tex] dostiže se za [tex]2\alpha=\frac{\pi}{2}[/tex], a [tex]-\frac{\sqrt{3}}{2}[/tex] se ne dostiže. Dakle, [tex]y\in\left(0; 2+\sqrt{3}\right][/tex].