Meni
❌
Početna strana
Algebra
Geometrija
Zadaci iz matematike
Testovi
Viša matematika
Program za rešavanje
GLAVNI MENI
1 razred
Sabiranje i oduzimanje do 10
Poređenje brojeva do 10
Sabiranje i oduzimanje do 20
Sabiranje i oduzimanje do 10 ili 20
2 razred
Sabiranje i oduzimanje do 100
Množenje do 5
Tablica množenja
Deljenje
3 razred
Sabiranje, množenje, deljenje
Zaokrugljivanje
Obim
4 razred
Sabiranje i oduzimanje do 1000
Sabiranje, množenje, deljenje
Sabiranje i oduzimanje
Površina kvadrata i pravougaonika
5 razred
Deljivost sa 2, 3, 4, 5, 9
Površina kvadrata i pravougaonika
Jednačine
Razlomci
Jednakost razlomaka
Najmanji zajednički sadržalac
Sabiranje i oduzimanje
Množenje i deljenje razlomaka
Operacije
Mešoviti brojevi
Decimalni brojevi
6 razred
Celi brojevi
Koordinatni sistem
Procenti
Tekstualni zadaci
Izrazi
Uprošćavanje algebarskih izraza
Polinomi
Razlaganje polinoma
Polinomi
7 razred
Kvadratne jednačine
Vijetove formule
Pitagorina teorema
8 razred
Sistem linearnih jednačina
Parametarska linearna jednačina
Eksponenti zadaci
Korenovanje
Stepenovanje
Racionalne nejednačine
Progresija
Aritmetička progresija
Geometrijska progresija
Progresija
Brojevni nizovi
Logaritmi
Logaritamski izrazi
Logaritamske jednačine
Logaritamske nejednakosti
Recipročne jednačine
Jednačine sa modulom
Nejednačine sa modulom
Iracionalne jednačine
Iracionalne nejednačine
Trigonometrija
Trigonometrija
Trigonometrijski identiteti
Trigonometrija
Trigonometrijske jednačine
Ekstremne vrednosti funkcija
Geometrija
Talesova teorema
Sinusna teorema
Kosinusna teorema
Eksponencijalne nejednačine
Eksponencijalne jednačine
Verovatnoća
Funkcije
Granična vrednost funkcije
Granična vrednost funkcije
Izvod funkcije
Nagib prave
Kompleksni brojevi
Inverzne trigonometrijske funkcije
Analitička geometrija
Analitička geometrija
Konusni preseci
Početna strana
Zadaci
Zadaci iz trigonometrije
Laki
Srednje teški
Teži
Zadaci iz trigonometrije - srednje teški zadaci sa rešenjima
Zadatak 1
Reši trigonometrijsku jednačinu: [tex]tg3x={\frac{1}{tg2x}}[/tex].
Rešenje:
[tex]tg3x=tan({\frac{\pi}{2}}-2x). 3x-({\frac{\pi}{2}}-2x)=\kappa\pi; 5x=\kappa\pi+{\frac{\pi}{2}}; x=\kappa{\frac{\pi}{5}}+{\frac{\pi}{10}}[/tex].
Zadatak 2
Dokaži trigonometrijski identitet: [tex]tg4\alpha-{\frac{1}{cos4\alpha}}={\frac{sin2\alpha-cos2\alpha}{sin2\alpha+cos2\alpha}}[/tex]
Rešenje:
[tex]tg4\alpha-{\frac{1}{cos4\alpha}}={\frac{tg4\alpha cos4\alpha-1}{cos4\alpha}}={\frac{sin4\alpha-1}{cos4\alpha}}={\frac{2sin2\alpha cos2\alpha-(sin^22\alpha+cos^22\alpha)}{cos^22\alpha-sin^22\alpha}}={\frac{-(cos^22\alpha-sin^22\alpha)^2}{(cos2\alpha-sin2\alpha)(cos2\alpha+sin2\alpha)}}={\frac{sin2\alpha-cos2\alpha}{sin2\alpha+cos2\alpha}}[/tex]
Zadatak 3
Reši trigonometrijsku jednačinu: [tex]sin^2x+cos2x={\frac{1}{4}}[/tex]
Rešenje:
[tex]{\frac{1-cos2x}{2}}+cos2x={\frac{1}{4}}; 1+cos2x={\frac{1}{2}}; cos2x=-{\frac{1}{2}}; 2x=2\kappa \pi \pm{\frac{2\pi}{3}}; x=\kappa \pi \pm{\frac{pi}{3}}[/tex].
Zadatak 4
[tex]sin5x=cos7x[/tex]
Rešenje:
[tex]sin5x-cos7x=0; sin5x-sin({\frac{\pi}{2}}-7x)=0; 2sin(6x-{\frac{\pi}{4}})cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0; sin(6x-{\frac{\pi}{4}})cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0[/tex]. [tex]sin(6x-{\frac{\pi}{4}})=0;6x-{\frac{\pi}{4}}=\kappa \pi;x=\kappa{\frac{\pi}{6}}+{\frac{\pi}{24}}[/tex].
[tex]cos({\frac{\pi}{4}}-x)=0; x-{\frac{\pi}{4}}=2\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{2}}, x=2\kappa \pi \pm{\frac{\pi}{2}}+{\frac{\pi}{4}}[/tex].
Zadatak 5
Reši trigonometrijsku jednačinu:
[tex]sin^2+3sin x cos x+7cos^2x=6[/tex]
Rešenje:
[tex]2sin^2x+3sin x cos x+7cos^2x=6(sin^2x+cos^2x), 4sin^2x-3sin x cos x-cos^2x=0[/tex] pa je [tex]cos x\ne0[/tex]. Onda podeli obe strane sa [tex]cos^2x[/tex]
[tex]{\frac{4sin^2x}{cos^2x}}-{\frac{3sin x cos x}{cos^2x}}-{\frac{cos^2x}{cos^2x}}=0;
4tan^2x-3tg x-1=0;tan x={\frac{3\pm\sqrt{9+16}}{8}}={\frac{3\pm5}{8}}[/tex].
a)[tex]tan x =1; x=\kappa \pi \pm+{\frac{\pi}{4}}[/tex].
b)[tex]tan x=-{\frac{1}{4}}; x\approx180^{\circ}\kappa-13^{\circ}30\prime[/tex].
Zadatak 6
Reši trigonometrijsku jednačinu
[tex]sin3x cos x=sin7x cos5x[/tex].
Rešenje:
Primeni formulu: [tex]sin\alpha cos\beta={\frac{sin(\alpha+\beta)+sin(\alpha-\beta)}{2}}; {\frac{sin4x+sin2x}{2}}={\frac{sin12x+sin2x}{2}}; sin4x=sin12x; sin12x-sin4x=0; 2sin4x cos8x=0[/tex]. a) [tex]sin4x=0; 4x=\kappa\pi; x=\kappa{\frac{\pi}{4}}[/tex]. b)[tex]cos8x=0; 8x=2\kappa\pi\pm{\frac{\pi}{2}}; x=\kappa{\frac{\pi}{4}}\pm{\frac{x}{16}}[/tex].
Zadatak 7
Reši trigonometrijsku jednačinu: [tex]3cos x+2\sqrt{3sin x}={\frac{9}{2}}[/tex].
Rešenje:
Koristićemo formule da bismo izrazili[tex]sin x[/tex] i [tex]cos x[/tex] kroz [tex]tg{\frac{x}{2}}[/tex]. Moramo da rešimo kvadratnu jednačinu za [tex]tg{\frac{x}{2}}[/tex]: [tex]3{\frac{1-tg^2{\frac{x}{2}}}{1+tg^2{\frac{x}{2}}}}+2\sqrt{3}\cdot{\frac{2tg{\frac{x}{2}}}{1+tg^2{\frac{x}{2}}}}={\frac{9}{2}}; 15tg^2{\frac{x}{2}}-8\sqrt{3}tg{\frac{x}{2}}+3=0[/tex]. a)[tex]tg{\frac{\sqrt{3}}{3}}; {\frac{x}{2}}=\kappa\pi+{\frac{\pi}{6}}; x=2\kappa\pi+{\frac{\pi}{3}}[/tex]. b)[tex]tg{\frac{x}{2}}={\frac{\sqrt{3}}{5}}; {\frac{x}{2}}\approx180^{\circ}\kappa+13^{\circ}; x\approx360^{\circ}\kappa+26^{\circ}[/tex].
Zadatak 8
Reši trigonometrijsku jednačinu: [tex]sin(x)cos(x)cos(2x)={\frac{1}{8}}[/tex].
Rešenje:
Iskoristimo formulu [tex]sin\alpha cos\alpha={\frac{sin2\alpha}{2}}; {\frac{sin2x}{2}}cos2x={\frac{1}{8}}; sin2x cos2x={\frac{1}{4}}[/tex]. Koristeći [tex]sin\alpha cos\alpha={\frac{sin2\alpha}{2}}[/tex] još jednom dobijemo: [tex]{\frac{sin4x}{2}}={\frac{1}{4}}; sin4x={\frac{1}{2}}; 4x=n\pi+(-1)^n{\frac{\pi}{24}}[/tex].
Zadatak 9
Reši trigonometrijsku jednačinu: [tex]sin^4x+cos^4x={\frac{5}{8}}[/tex].
Rešenje:
Dodaj na levu stranu jednačine [tex]2sin^2x cos^2x[/tex] i [tex]-2sin^2x cos^2x[/tex]:
[tex]sin^4x+2sin^2cos^2x+2cos^4x-2sin^2x cos^2x={\frac{5}{8}}; 1-2\cdot({\frac{sin2x}{2}})^2={\frac{5}{8}}; {\frac{sin^22x}{2}}={\frac{3}{8}}; sin^22x={\frac{3}{4}}; sin2x=\pm{\frac{\sqrt{3}}{2}}[/tex].
[tex]sin2x={\frac{\sqrt{3}}{2}}; 2x=n\pi+(-1)^2{\frac{\pi}{3}}; x=n{\frac{\pi}{2}}+(-1)^n{\frac{\pi}{6}}[/tex].
Zadatak 10
Reši [tex]sin x-cos x=0[/tex].
Rešenje:
Ako je [tex]cos x=0[/tex] onda [tex]sin x =0[/tex]. Ali [tex]sin x[/tex] i [tex]cos x[/tex] ne mogu istovremeno biti nula. Podelimo obe strane jednačine sa [tex]cos x[/tex]:[tex]{\frac{sin x}{cos x}}-{\frac{cos x}{sin x}}=0;tan x=1; x=\kappa \pi+{\frac{\pi}{4}}[/tex]
Zadatak 11
Reši trigonometrijsku jednačinu: [tex]sin x+cos x=\sqrt{2}sin5x[/tex].
Rešenje:
Podelimo levu i desnu stranu jednačine sa [tex]\sqrt{2}[/tex]: [tex]{\frac{1}{\sqrt{2}}}sin x+{\frac{1}{\sqrt{2}}}cos x=sin5x; cos{\frac{\pi}{4}}sin x+sin{\frac{\pi}{4}}cos x=sin5x; sin(x+{\frac{\pi}{4}})=sin5x; sin5x-sin(x+{\frac{\pi}{4}})=0; 2sin(2x-{\frac{\pi}{8}})cos(3x+{\frac{\pi}{8}})=0[/tex].
[tex]sin(2x-{\frac{\pi}{8}})=0; 2x-{\frac{\pi}{8}}=n\pi; x=n{\frac{\pi}{2}}+{\frac{\pi}{16}}[/tex].
Zadatak 12
Reši jednačinu: [tex]sin3x=cos2x[/tex].
Rešenje:
Pretvorimo levu stranu jednačine [tex]sin3x=sin({\frac{\pi}{2}}-2x)[/tex]. Onda [tex]3x-({\frac{\pi}{2}}-2x)=2\kappa\pi[/tex] i [tex]3x+({\frac{\pi}{2}}-2x)=(2\kappa+1)\pi[/tex]. Dakle [tex]x={\frac{2\kappa\pi}{5}}+{\frac{\pi}{10}}[/tex] i [tex]x=(2\kappa+1)\pi-{\frac{\pi}{2}}[/tex].
Laki
Srednje teški
Teži
Ovde pošalji zadatak.
Tekst zadatka:
Rešenje:
Odgovor:
Tvoje ime (ukoliko želiš da bude objavljeno):
Email (bićeš obavešten/a kada zadatak bude objavljen)
Beleške
: koristi [tex][/tex] (kao na forumu ako bi želeo/la da koristiš LaTeX).
Pravilne:
Pogrešne:
Nerešeni zadaci:
Kontakt imejl:
Autor
© 2005 - 2024