Ekstremne vrednosti funkcija - srednje teški zadaci sa rešenjima

Rešenje:
Zapišemo f(x) kao [tex]f(x)=-x^2+18x+3=-x^2+2 \cdot 9 \cdot x-81+81+3=-(x^2-2 \cdot 9 \cdot x+9^2)+84=-(x-9)^2+84[/tex]. Pošto je [tex]-(x-9)^2 \le 0[/tex], [tex]f(x) \le 84[/tex] je ekvivalentno sa x=9.

Rešenje:
[tex]f(x)=\sqrt{2}|sinx+cosx|=\sqrt{2}|\sqrt{2}\frac{\sqrt{2}}{2}(sinx+cosx)|=2|\frac{\sqrt{2}}{2}sinx+\frac{\sqrt{2}}{2}cosx|=2|\sin\frac{\pi}{4}sinx+\cos\frac{\pi}{4}cosx|=2|cos(\frac{\pi}{4}-x)|[/tex]. Poznato nam je da je [tex]|cosu| \le 1[/tex], pa je [tex]2|cos(\frac{\pi}{4}-x)| \le 2 \cdot 1=2[/tex].

Rešenje:
[tex]1+|x-1| \ge 1[/tex], sa jednakošću za [tex]x=1[/tex]. Pa je [tex]|1+|x-1|| \ge |1|=1[/tex], pošto je 1 pozitivan broj.

Rešenje:
[tex]f(x)=x^2+2 \cdot \frac{5}{2}x+\frac{25}{4}-\frac{25}{4}+1=(x+\frac{5}{2})^2-\frac{21}{4}[/tex]. Pošto je [tex](x+\frac{5}{2})^2 \ge 0[/tex], minimalna vrednost za f(x) je [tex]-\frac{21}{4}[/tex].

Rešenje:
Ekstremumi funkcije [tex]f(x)[/tex] se dostižu za vrednosti x, za koje je njen prvi izvod nula. [tex]f'(x)=2x+8[/tex], što je nula za [tex]x=-4[/tex]. Pa je ekstremum za f(x) jednak [tex]f(-4)=(-4)^2+8 \cdot (-4)+15=16-32+15=-1[/tex]. Pošto je grafik f(x) parabola sa pozitivnim vodećim koeficijentom, ekstremum je minimum.

Rešenje:
Pošto je funkcija kvadratna funkcija sa negativnim vodećim koeficijentom, njen jedini extremum je maksimum. Takođe je dostignut kada je x jednako korenu jednačine [tex]f'(x)=0[/tex]. Izračunamo [tex]f'(x)=-2x-10[/tex], čiji je koren [tex]x=-5[/tex].

Rešenje:
[tex]f(x)[/tex] je funkcija četvrtog stepena sa pozitivnim vodećim koeficijentom, pa ona ima pozitivnu vrednost. Njen prvi izvod je [tex]f'(x)=x^3+3x^2+4x-8=x^3-x^2+4x^2+4x-8=x^2(x-1)+4(x^2+x-2)=x^2(x-1)+(4x+8)(x-1)=(x-1)(x^2+4x+8)[/tex]. Jedan koren izvoda je [tex]x=1[/tex]. Pošto je [tex]x^2+4x+8=x^2+4x+4+4=(x+2)^2+4>0[/tex], ne postoje drugi koreni. Pa je minimum dostignut za [tex]x=1[/tex] i on je [tex]f(1)=\frac{41}{4}[/tex].

Rešenje:
[tex]f'(x)=x^3-6x^2+11x-6=x^3-x^2-5x^2+5x+6x-6=x^2(x-1)-5x(x-1)+6(x-1)=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)[/tex]. Pošto je f(x) funkcija četvrtog stepena sa pozitivnim vodećim koeficijentom, onda ona dostiže svoju minimalnu vrednost u korenu od [tex]f'(x)[/tex]. Pošto [tex]f'(x)[/tex] ima tri korena ([tex]x_1=1,x_2=2,x_3=3[/tex]), zamenimo svaki od njih i izračunamo f(x): [tex]f(1)=\frac{23}{4}[/tex], [tex]f(2)=6[/tex] i [tex]f(3)=\frac{23}{4}[/tex]. Pa funkcija ima minimalnu vrednost za [tex]\frac{23}{4}[/tex], koja je dostignuta za [tex]x=1[/tex] i [tex]x=3[/tex].

Rešenje:
Zapišemo [tex]f(x)=cos^2x+2cosx+2(1-cos^2x)=cos^2x+2cosx+2-2cos^2x=-cos^2x+2cosx+2[/tex]. Sada zamenimo [tex]cosx=t \in [-1,1][/tex] i dobijemo [tex]g(t)=f(x)=-t^2+2t+2, t \in [-1;1][/tex]. Ali je [tex]g(t)=-t^2+2t+2=-t^2+2t-1+3=-(t-1)^2+3[/tex], što je maksimum za [tex]t=1[/tex] i t=1 pripada datom intervalu, pa je minimalna vrednost za f(x) jednaka 3.

Rešenje:
[tex]f(t)=log_2(t)[/tex] je strogo rastuća funkcija za sve [tex]t > 0[/tex], pa je njena minimalna vrednost dostignuta pri minimalnoj vrednosti argumenta. Ali [tex]|x|+2 \ge 2[/tex] (Pošto je [tex]|x|[/tex] ne-negativan), stoga [tex]log_2(|x|+2) \ge log_2(2)=1[/tex]